Phòng GD-ĐT h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm 120 phút ) Bài : (2 điểm) 1 1 2011 2011 2011 2011 + + + + &B= + + + + 1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100 A Chứng minh : số nguyên B b/ Tìm giá trị lớn biểu thức : C = 24 − − 24 x a/ Cho A = Bài : (4 điểm) a b c = = 2009 2010 2011 Tính giá trị biểu thức : M = ( a − b ) ( b − c ) − ( c − a ) a/ Cho ba số a,b,c thoả mãn : b/ Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thoả mãn xy = 3(y-x) Bài : (3 điểm) x +5 Cho hai đa thức : B = x3 − x − x + a/ Tìm đa thức C ( x ) = A ( x ) − B ( x ) A = x3 − b/Tìm nghiệm C(x) Bài : (2 điểm) 100 99 So sánh A & B Biết A = ( 10099 + 9999 ) & B = ( 100100 + 99100 ) Bài : (5 điểm) Cho tam giác ABC có trung tuyến BD CE cắt tạu G Trên tia đối tia DB lấy M cho D trung điểm BM Trên tia đối tia CE lấy N cho E trung điểm CN Chứng minh a/ A trung điểm đoạn NM b/ BD + CE > BC c/ Các đường thẳng AG, BN , CM đồng quy Bài : (2 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có góc A 30 độ , nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A vẽ tam giác BCD Chứng minh : AD = AB + AC HẾT gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm) Phòng GD-ĐT h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm 120 phút ) Bài : (2 điểm) 1 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + + − 1.2 3.4 5.6 99.100 99 100 1 1 1 = + + + + ÷− + + + + ÷ 99 100 A= a/ Cho = 1 + + + + 100 ÷− + + + + 100 ÷ 1 1 1 1 1 = + + + + ÷− 1 + + + + ÷ 100 50 1 1 = + + + + ÷ 100 51 52 53 2011 2011 2011 2011 1 1 B= + + + + = 2011 + + + + ÷ 51 52 53 100 100 51 52 53 A Do = 2011 số nguyên B b/ Tìm giá trị lớn biểu thức : C = 24 − − 24 x Với x ta có : − 24 x ≥ → −4 − 24 x ≤ Do C = 24 − − 24 x ≤ 24 C = 24 − 24x = → x = 24 Vậy giá trị lớn C = 24 x = 24 Bài : (4 điểm) a b c = = Suy : 2009 2010 2011 a b c a −b b−c c−a a −b b −c c −a = = = = = = = = 2009 2010 2011 2009 − 2010 2010 − 2011 2011 − 2009 −1 −1 c−a a −b = − Từ suy : c−a b−c = − a/ Từ Do ( a − b ) ( b − c ) ( c − a) =− → 4( a − b) ( b − c) = ( c − a) Ta có M = ( a − b ) ( b − c ) − ( c − a ) = → M = b/ Tìm cặp số (x;y) nguyên dương thoả mãn xy = 3(y-x) xy = ( y − x ) → y − x − xy = → → ( y + 3) ( − y ) = Vì x, y nguyên dương nên y + ước , y + > → y + = → y = Khi x = Khi x = , y = thoả mãn Vậy (x;y) = (2;6) Bài : (3 điểm) a/ Kết C ( x ) = A ( x ) − B ( x ) = x + x − x + = x −1 = b/ C(x) = x + x − = → ( x + ) ( x − 1) = → Vậy đa thức C(x ) có hai nghiệm x = x = -2 Bài : (2 điểm) n +1 n Hs chứng minh toán tổng quát ( a n + b n ) > ( a n +1 + b n +1 ) với a,b nguyên dương Thật không tính tổng quát , giả sử a > b Ta có : (a (a n + bn ) n +1 ( = a n + bn ) (a n n ) ( + bn > an + bn ) = ( a +b ) Vậy ( a + b ) > ( a + b ) n +1 + b n b n n n n +1 n +1 n +1 n +1 ) n ( ) n ( a n = a n + b n a = a n +1 + b n a n n +1 n Áp dụng với a = 100 ; b = n = 99 ta có điều phải chứng minh Bài : (5 điểm) a/ A trung điểm đoạn NM Chứng minh AM = AN Chứng minh A,M,N thẳng hàng b/ Chứng minh BG + GC > BC Suy : BD + CE > BC → BD + CE > BC c/ Gọi I giao điểm BM CN Chứng minh tam giác ABN tam giác CIB (g.c.g) Từ chứng minh B trung điểm IN Tương tự C trung điểm IM Suy G trọng tâm tam giác IMN Suy GI trung tuyên tam giác IMN mà A trung điểm MN nên IG qua A hay A,G,I thẳng hàng Kết luận : Các đường thẳng AG, BN , CM đồng quy ) n > Bài : (2 điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C vẽ đoạn thăngAE cho AE vuông vớí AC AE = AC Chứng minh tam giác AEC cân có góc 60 độ Suy góc ACE 60 độ Chứng minh tam giác ACD tam giác ECB (c.g.c) Lí luận BE = AB + AE Rồi suy điều phải chứng minh HẾT gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm) ...Phòng GD-ĐT h.Lập Thạch - Vĩnh Phúc ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HSG TOÁN LỚP Ngày thi : 06-5-2011 ( Thời gian làm 120 phút ) Bài : (2 điểm) 1 1 1 1 1 1 + + +... ( x − 1) = → Vậy đa thức C(x ) có hai nghiệm x = x = -2 Bài : (2 điểm) n +1 n Hs chứng minh toán tổng quát ( a n + b n ) > ( a n +1 + b n +1 ) với a,b nguyên dương Thật không tính tổng quát... ACD tam giác ECB (c.g.c) Lí luận BE = AB + AE Rồi suy điều phải chứng minh HẾT gv: Nguyễn Quang Sáng (sưu tầm)