Chuyên đ ề 1 : CĂN BẬC HAI. CĂN B ẬC BA I)Mục tiêu: +Củng cố và vận dụng các phép tính và phép biến đổi căn bậc hai làm các dạng bài tập về biểu thức chứa căn bậc hai. +Học sinh thực hiện thành thạo các dạng toán về căn bậc hai. +Rền kỹ năng thực hiện các phép tính về căn bậc hai. +Học sinh nắm được cách biến đổi biểu thức chứa căn bậc hai.Tìm TXĐ,tìm GTLN và GTNN,c/mđẳng thức và hằng đẳng thức…. II)Chuẩn bị: +GV: Đề cương ôn tập. +HS: Ôn lại toàn bộ kiến thức về căn bậc hai. III)Lên lớp: A) LÝ THUYẾT: 1) A có nghĩa 0A ⇔ ≥ 2) ( ) ( ) 2 2 0 ; 0 x a x a x a a ≥ = ⇔ ≥ = = 3) Hằng đẳng thức: 2 ; 0 ; 0 A A A A A A ≥ = = − < 4) Quy tắc khai phương một tích: ( ) ; 0, 0AB A B A B = ≥ ≥ 5)Quy tắc nhân các căn thức bậc hai: ( ) . . ; 0, 0A B A B A B = ≥ ≥ 6) Quy tắc khai phương một thương: ( ) ; 0, 0 A A A B B B = ≥ > 7) Quy tắc chia hai căn thức bậc hai: ( ) ; 0, 0 A A A B B B = ≥ > 8) Công thức biến đổi đơn giản căn thức bậc hai: * Đưa thừa số ra ngoài dấu căn : ( ) 2 ; 0A B A B B= ≥ * Đưa thừa số vào trong dấu căn : ( ) 2 ; 0A B A B B= ≥ *Khử mẫu của biểu thức lấy căn: ( ) 2 1 ; 0, 0 A AB AB AB B B B B = = ≥ ≠ *Trục căn thức ở mẫu: 1 A B A B A B = − ± m 1 Tuần 1 : CĂN BẬC HAI. CĂN B ẬC BA Bài tập 1: Tìm x, y để biểu thức : đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải : Ta có: Dấu “=” xảy ra <=> y = -1 và 3 ≥ x ≥ -1. Bài tập 2 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của : Lời giải : Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Tập xác định của hàm số là 0 ≤ x ≤ 2 . Ta có : với mọi x thuộc tập xác định. Vì y ≥ 0 nên từ y 2 ≥ 2 => y ≥ 2 Đẳng thức xảy ra <=> x = 0 hoặc x = 2. Do đó GTNN của y là . Bài tập 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x 4 - 4x 3 + 8x. Lời giải : Ta có : y = (x 4 - 4x 3 + 4x 2 ) - 4(x 2 - 2x) = (x 2 - 2x) 2 - 4(x 2 - 2x) = [ (x 2 - 2x) - 2] 2 - 4 ≥ - 4 với mọi x. Đẳng thức xảy ra : Do đó giá trị nhỏ nhất của y là -4<=> *Bài tập về nhà: 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 Tuần 2 : CĂN BẬC HAI. CĂN B ẬC BA ( tiếp ) Bài tập 5 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Căn thức có nghĩa <=> 4 - x 2 ≥ 0 <=> x 2 ≥ 4 <=> |x| ≤ 2 <=> - 2 ≤ x ≤ 2 . Ta có : áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x 2 và b = 4 - x 2 ta có Từ (1) và (2) ta có : |y| ≤ 2 => - 2 ≤ y ≤ 2 GTLN của y là 2 GTNN của y là -2 Bài tập 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : * y = |x - 2003| + |x + 2003| Lời giải : Áp dụng bất đẳng thức (**) với a = x + 2003 và b = 2003 - x ta có : y = |x - 2003| + |x + 2003| = |2003 - x| + |x + 2003| ≥ |(2003 - x) + (x + 2003)| = 2006 Đẳng thức xảy ra <=> (2003 - x)(x + 2003) ≥ 0 <=> - 2003 ≤ x ≤ 2003. Do đó y đạt giá trị nhỏ nhất là 4006 <=> - 2003 ≤ x ≤ 2003 . Bài tập 7 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = - 2001 x 2 + 2002 x - 2003. Lời giải : Như phần kiến thức đã trình bày ở trên, ta viết : với mọi x. Đẳng thức xảy ra<=> x = 1001/2001 Nên y đạt giái trị nhỏ nhất là - 3006002/2001 Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2 + y 2 - xy - x + y + 1 Lời giải : Ta viết : 4 Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của P là 2/3. *Bài tập về nhà: 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Tuần 3 : CĂN BẬC HAI. CĂN B ẬC BA ( tiếp ) Bài t ập 9 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. 5 Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc : Gii : Ta cú : a 2 + 1 = a 2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b 2 + 1 = b 2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c 2 + 1 = c 2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b). Suy ra Vỡ vy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca) = 2. Bài tập 10: Cho 2 2 a xy (1 x )(1 y )= + + + . Hãy tính giá trị của biểu thức : 2 2 A x 1 y y 1 x= + + + theo a Giải: Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a x y (1 x )(1 y ) 2xy (1 x )(1 y ) x y 1 y x x y 2xy (1 x )(1 y ) y(1 x ) x (1 y ) 2xy (1 x )(1 y ) 1 (x 1 y y 1 x ) 1 = + + + + + + = + + + + + + + = + + + + + + + = + + + + Suy ra : A 2 = a 2 1 ( với a 1) Vậy : 2 2 A a 1;A a 1= = Bài tập 11: Cho 3 số dơng x , y , z thoả mãn điều kiện : xy + yz + xz = 997 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (997 y )(997 z ) (997 x )(997 z ) (997 y )(997 x ) N x y z 997 x 997 y 997 z + + + + + + = + + + + + Giải: Ta có: 997 + x 2 = xy + xz + yz + x 2 = x(x+y) + z(x+y) = (x + y ) (x + z) 997 + y 2 = xy + xz + yz + y 2 = y(x+y) + z(x+y) = (x + y ) (y + z) 997 + z 2 = xy + xz + yz + z 2 = y(x+z) + z(x+z) = (z + y ) (x + z) 6 Vậy : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (997 y )(997 z ) (x y)(x z)(y z) (y z) 997 x (x y)(x z) (997 z )(997 x ) (x z) 997 y (997 y )(997 x ) (x y) 997 z N x (y z) y (x z) z (y x) z(x y) y(x z) x(y z) 2(xy yz xz) 2.997 1994 + + + + + = = + + + + + + = + + + + = + + = + + + + + = + + + + + = + + = = Bài tập 12 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức; yz x 1 xz y 2 xy z 3 M xyz + + = Giải: Điều kiện để hàm số có nghĩa là: x 1 , y 2 , z 3 áp dụng bất đẳng thức CôSi cho hai số không âm ta đợc : LN 1 x 1 x x 1 1(x 1) 2 2 1 1 2 y 2 y y 2 . 2(y 2) . 2 2 2 2 2 1 1 3 z 3 z z 3 . 3(z 3) . 2 3 3 2 3 x y z 1 1 1 M (1 ) 2x 2 2 2y 2 3z 2 3 1 1 1 SuyraM (1 ) x 2;y 4;z 6 2 2 3 + = = + = = + = = + + = + + = + + = = = *Bi tp v nh: 1. Tỡm giỏ tr ln nht ca hm s 2. Tỡm giỏ tr nh nht ca: P = x 2 + 2y 2 - 2xy + 2(x - 2y + 1) chuyên đề 2: ph ơng trình vô tỷ I)Mục tiêu: + HS nắm vững các dạng phơng trình và cách giải phơng trình đó. Ngoài ra còn mở rộng các phơng trình đó khó hơn, phức tạp hơn đối với học sinh khá giỏi. 7 +HS nắm vững các dạng phwơng trình vô tỉ, kiến thức vận dụng giải phơng trình vô tỉ, phơng pháp giải cho từng đối tợng học sinh để giúp các em giải đợc các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa toán 9 và sách tham khảo. + Bài tập về phơng trình vô tỉ nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hành giải ph- ơng trình, rèn luyện cho học các thao tác t duy so sánh, khái quát hoá, trừu tợng hoá, tơng tự hoá .Rèn luyện những đức tính nhanh nhẹn, cẩn thận, sáng tạo + HS nắm vững các dạng phơng trình vô tỉ và cách giải từng dạng bài nhằm mục đích giúp cho học sinh giải phơng trình vô tỉ dễ dàng hơn từ đó gây niềm hứng thú học tập cho học sinh. II)Chuẩn bị: Các kiến thức cơ bản về căn thức - Một số âm không có căn bậc hai Điều kiện của ẩn là biểu thức chứa trong căn bậc chẵn là một số không âm. - Đặt điều kiện để phép nâng lên kuỹ thừa bậc chẵn cả hai vế phơng trình đảm bảo nhận đợc phơng trình tơng đơng: f(x) 0, g(x) 0 k xf 2 )( = g(x) f(x) = [ ] )(xg 2k Một số công thức căn quan trọng A nếu A 0 A 2 = A = -A nếu A 0 ( A ) 2 = A với A 0 BA = 22 22 BAABAA + Với A > 0, A 2 > B > 0 AB = A . B (A 0, B 0) Tuần 4 : ph ơng trình vô tỷ A) Phơng pháp nâng lên luỹ thừa g(x) 0 (1) )(xf = g(x) f(x) = [ ] 2 )(xg (2) Để làm mất căn bậc n trong phơng trình ta nâng cả hai vế lên luỹ thừa n Chú ý: n chẵn chỉ thực hiện khi hai vế không âm Bài tập 1 : Giải phơng trình: 2 + 12 x = x (1) Giải: (1) 12 x = x 2 (2) Điều kiện: x 2 (*) Với điều kiện (*) thì hai vế của (2) không âm, bình phơng hai vế ta đợc: 2x 1 = (x 2) 2 x 2 6x + 5 = 0 (3) có dạng a + b + c = 1 6 + 5 = 0 8 Phơng trình (3) có 2 nghiệm: x 1 = 1 (Không thoả mãn điều kiện (*) x 2 = 5 Thoả mãn điều kiện (*) Vậy Phơng trình (1) có một nghiệm x = 5 Giải phơng trình (2) đối chiếu với điều kiện (1) chọn nghiệm thích hợp suy ra nghiệm của phơng trình ban đầu Bài tập 2 : Giải phơng trình: 13 x = 2 có TXĐ: x 3 1 3x-1 = 4 3x = 5 x = 3 5 TXĐ Vậy nghiệm của phơng trình là x = 3 5 Bài tập 3: Giải phơng trình: 4+x = x 2 (1) Giải: TXĐ x 4 x 2 0 (1) x + 4 = (x-2) 2 x 2 x 2 5x = 0 x 2 x = 0 x = 5 x = 5 TXĐ Vậy x= 5 là nghiệm của phơng trình (1) B) Phơng trình đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối VD 1: Giải phơng trình: 44 + xx + 44 xx = 4 (1) -Giải- Điều kiện: x 4 ta có: (1) 4444 ++ xx + 4444 + xx = 4 2 )24( +x + 2 )24( x = 4 4x + 2 + 24 x = 4 (2) * Nếu 4x - 2 0 4x 2 x 8 (2) 4x + 2 + 4x - 2 = 4 4x = 2 x 4 = 4 x = 8 (Thoả mãn ĐK x 8) Vậy x = 8 là nghiệm của phơng trình (1) * Nếu 4x - 2 < 0 4x < 2 4 x < 8 (2) 4x + 2 + 2 - 4x = 4 (Phơng trình có vô số nghiệm) 4 x < 8 là nghiệm của phơng trình (2). Vậy nghiệm của phơng trình (1) là: 4 x 8 9 VD 2: Giải phơng trình: x+3 = 3 - x26 (1) x+3 + x26 = 3 Giải: x+3 0 x -3 ĐK: -3 x 3 (*) 6-2x 0 3 x - Với điều kiện (*) phơng trình có hai vế không âm nên bình phơng hai vế ta đ- ợc: x + 3 + 6 2x + 2 )26)(3( xx + = 9 2 )26)(3( xx + = x (2) Để (2) có nghĩa thì x 0 (**) Bình phơng hai vế của (2) ta có: 4(-2x 2 + 18) = x 2 9x 2 = 72 x 2 = 8 x = 2 2 x = -2 2 x = 2 2 Đối chiếu với điều kiện trên ta thấy x = -2 2 không thoả mãn điều kiện (*) và(**), còn x= 2 2 thoả mãn điều kiện(*) và (**). Vậy nghiệm phơng trình (1) là x = 2 2 VD 3 : Giải phơng trình: 1+x + 2x + 2 2 xx = 13 2x Giải: x + 1 0 Điều kiện : x 2 0 2 x 2 13 (*) 13 2x 0 Đặt t = 1+x + 2x (t > 0) Ta có: t 2 = x + 1 + x 2 + 2 )2)(1( + xx t 2 2x + 1 = 2 2 2 xx t + t 2 2x + 1 = 13 2x t 2 + t 12 = 0 Phơng trình có hai nghiệm là: t 1 = 3 (Thoả mãn t > 0) và t 2 = - 4 (Không thoả mãn t > 0) Với t = 3 1+x + 2x = 3 2 2 2 xx = 10 2x 2 2 xx = 5 x (3) Điều kiện của (3) là x 5 (**) Với điều kiện (**) hai vế của (3) đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc: x 2 x 2 = x 2 - 10x + 25 9x = 27 x = 3 (Thoả mãn điều kiện (*) và (**)) Vậy nghiệm của phơng trình (1) là x = 3 10 [...]... (x+1)2 ⇔ 9x = -9 ⇔ x = -1 (Tho¶ m·n ®iỊu kiƯn(*) ; (**)) Tn 7 : «n tËp vỊ c¨n bËc hai Bµi 1: Cho biĨu thøc C =( x x + 9 3 x +1 1 + ):( − ) 9 x x−3 x x +3 x 1) Rót gän biĨu thøc C 17 víi x > 0 vµ x ≠ 9 2) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A víi x = 1 9+ 4 5 3) T×m x ®Ĩ C < - 1 4) Chøng minh r»ng: C > − 5) T×m x sao cho C = − 3 víi x > 0 vµ x ≠ 9 2 1 2 Híng dÉn: x x + 9 3 x +1 1 + a) C = 3 + x 9 − x... Víi §K : x>0 ; x ≠ 4 ; x ≠ 9 ta cã: P > 0 ⇔ Cã x > 0 ⇒ 4x > 0.VËy 4x x −3 4x > 0; x > 0; x ≠ 4; x ≠ 9 x −3 4x > 0 ⇔ x − 3 > 0 ⇔ x > 3 ⇔ x > 9 ( T/m®k ) x −3 VËy víi x > 9 th× P > 0 T¬ng tù P < 0 khi x < 9 kÕt hỵp víi ®k Ta cã : P < 0 ⇔ 0 < x < 9 vµ x ≠ 4 3) P = -1 ⇔ 4x = −1 §K x > 0 ; x ≠4 ; x ≠ 9 x −3 ⇔ 4x + x - 3 = 0 ⇔ 4x + 4 x - 3 x - 3 = 0 ⇔ ( x + 1)(4 x − 3) = 0 3 9 Cã x > 0 ⇒ x + 1 > 1 > 0 ⇔... 4 3 1 VËy: Aln = − ⇔ x = 4 4 2) a = 23 Tn 9 : «n tËp vỊ c¨n bËc hai Bµi 1: Cho biĨu thøc x x 4x P=( + ): víi x > 0 ; x ≠ 9 x −3 x +3 x 9 1) Rót gän biĨu thøc P 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ P = 5 Híng dÉn: 1) Rót gän x x 4x P= + ÷: x −3 x +3÷ x 9 = x ( ( ) x +3 + x x +3 )( ( x −3 x −3 ) ) ×x − 9 = 4x 2x x − 9 x × = = x x 9 2 x x 2) víi x > 0 ; x ≠ 9 Ta cã: P = 5 ⇔ x = 5 ⇔ x = 25 ( T/m®k) Bµi... Bµi 4: Cho biĨu thøc 19 P=( 2 x x +3 x + x −3 3x + 3 - x 9 ):( 2 x −2 - 1) x −3 1) Rót gọn P 2) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc P khi x = 4 - 2 3 3) T×m x để P < - 1 2 4) T×m gÝa trị nhỏ nhất của biĨu thøc P Híng dÉn: 1) Rót gọn P : Đk: x ≥ 0; x ≠ 9 2 x ( x − 3) + x ( x + 3) − (3x − 3) 2 x − 2 − x + 3 P= : x 9 x −3 = = −3 x −3 x +1 2 x − 6 x + x + 3 x − 3x − 3 : = ( x + 3)( x − 3) x 9 x −3 1 −3 − 3( x +... = x −3 −3 −3 − 3(2 − 3 ) 3( 3 − 2) = 3( 3 -2) x +3 3 − 1 + 3 2 + 3 (2 + 3 )(2 − 3 ) 4−3 3 −3 1 1 1 3) Víi x ≥ 0; x ≠ 9 th× :P < - 2 x +3 x +3 2 2 P= 6 > = x + 3 = = = x < 3 x < 9 Kết hợp điều kiện: 0 ≤ x < 9 th× P ≤ - 4) T×m gÝa trị nhỏ nhất của P Víi x ≥ 0; x ≠ 9 ta cã : P = −3 3+3 Ta cã: - 3 < 0 và x + 3 > 0 ∀ x thoả m·n điều kiện = > P < 0 mọi x thoả m·n điều kiện - P nhỏ nhất... 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh: 9x - 12 x - 2 7 y + y2 + 11 = 0 (1) Gi¶i: §iỊu kiƯn: x ≥ 0 Ta cã 9x - 12 x - 2 7 y + y2 + 11 = 0 ⇔ [( 3 x )2 – 2 3 x + 4] + (y2 - 2 7 + 7) = 0 ⇔ (3 x - 2)2 + (y - 7 )2 = 0 (2) 2 2 Ta cã (3 x - 2) ≥ 0 víi mäi x ≥ 0 vµ (y - 7 ) ≥ 0 víi mäi y (3 x - 2)2 ≥ 0 Do ®ã (2) ⇔ (y - 7 )2 ≥ 0 ⇔ 3 x =2 y= 7 ⇔ x = y= ⇔ x= y= VËy nghiƯm ph¬ng tr×nh lµ: x = 2 3 7 4 9 7 4 ; y= 9 7 Tn 6 : ph¬ng tr×nh... x ÷: x − 3 x − x ÷ ÷ ÷ = = ( ( ) 3 ( )( x +3 ) ) (3+ x) (3− x) b) C < -1 ⇔ ⇔ ⇔ ( ) ( x 3− x + x + 9 3 x +1− x − 3 x x −3 3 x −x+x +9 : = 2 x +4 3+ x 3− x x x −3 3+ x 3− x 2 ( −3 x x +2 4− x 2 ( x +2 2 ( ( ( − x 3− x −3 x x +2 2 ( x +2 ) ) ) = 2 ( ( −3 x x +2 )( ) ) < −1( x > 0;x ≠ 9 ) ) −3 x + 2 x + 4 ) +1< 0 ⇔ ) < 0 ⇒ 4 − x < 0 (v× 2 2 ( x +2 ) ( 0 víi mäi x thc TX§) ⇔ x >... khi p = 2010 − 2 20 09 M =( 3) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa p ®Ĩ M = - víi p ≥ 0 ; p ≠ 1 1 2 1 2 1 5) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa p ®Ĩ M > 2 4) T×m c¸c gi¸ trÞ cđa p ®Ĩ M < 6) Chøng minh r»ng: M < 1 víi p ≥ 0 ; p ≠ 1 7) T×m c¸c gi¸ trÞ p nguyªn ®Ĩ M cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn 8) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cđa p Híng dÉn: p −1 1) M = p +1 2) p = ( 20 09 − 1) 2 ⇒ 7) M = 1 − ⇔ p = 20 09 − 1 ⇒ M = 2 Do ®ã... ®Ĩ M cã gi¸ trÞ lµ sè nguyªn 8) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa M vµ gi¸ trÞ t¬ng øng cđa p Híng dÉn: p −1 1) M = p +1 2) p = ( 20 09 − 1) 2 ⇒ 7) M = 1 − ⇔ p = 20 09 − 1 ⇒ M = 2 Do ®ã M nguyªn ⇔ p +1 20 09 − 2 20 09 20 09 p + 1 lµ íc cđa 2 p + 1 = -1 ; 1 ; -2 ; 2 ⇔ p = 0 2 ln ⇔ ( p + 1) nn ⇔ p +1 Do ®ã víi p = 0 th× M nhá nhÊt = - 1 Bµi 4: Cho biĨu thøc 8) M = 1 − A= ( 2 VËy M nn ⇔ p +1 1 1− x + 1 1+ x ):( 1 1−... b¸n kÝnh cđa ®êng trßn” *) Bµi tËp : 1) Cho D ABC vu«ng t¹i A cã AB = 6 cm, AC = 8 cm; B¸n kÝnh ®êng trßn ngo¹i tiÕp D ®ã b»ng : a) 9 cm c) 5 cm Ho¹t ®éng cđa trß HS lÇn lỵt tr¶ lêi c¸c c©u hái cđa GV - §N ®êng trßn (SGK /97 ) - VÞ trÝ t¬ng ®èi cđa ®iĨm M vµ (O;R) (SGK /98 ) - §êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt cđa ®êng trßn - Qua 1 ®iĨm x¸c ®Þnh ®ỵc v« sè ®êng trßn t©m cđa chóng lÊy t ý trªn mỈt ph¼ng - Qua . 2 2 (99 7 y ) (99 7 z ) (x y)(x z)(y z) (y z) 99 7 x (x y)(x z) (99 7 z ) (99 7 x ) (x z) 99 7 y (99 7 y ) (99 7 x ) (x y) 99 7 z N x (y z) y (x z) z (y x) z(x y) y(x z) x(y z) 2(xy yz xz) 2 .99 7 199 4 + +. xy + yz + xz = 99 7 Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (99 7 y ) (99 7 z ) (99 7 x ) (99 7 z ) (99 7 y ) (99 7 x ) N x y z 99 7 x 99 7 y 99 7 z + + + +. + = + + + + + Giải: Ta có: 99 7 + x 2 = xy + xz + yz + x 2 = x(x+y) + z(x+y) = (x + y ) (x + z) 99 7 + y 2 = xy + xz + yz + y 2 = y(x+y) + z(x+y) = (x + y ) (y + z) 99 7 + z 2 = xy + xz + yz