I Tiến trình dạy học
Tuần 11: Phương trỡnh trựng phương
Phương trỡnh trựng phương:
ax4 + bx2 + c = 0 (1)
Đặt ẩn phụ t = x2 ≠ 0 thỡ Pt(1) ⇔ at2 + bt + c = 0 (2)
Mỗi nghiệm t > 0 của (2) cho hai nghiệm của (1).
Nghiệm t = 0 của (2) sẽ cho một nghiệm x = 0 của (1). Tất nhiờn t < 0 sẽ khụng cho nghiệm của (1).
Bài tập 1 : Biện luận số nghiệm của phương trỡnh :
x4 - mx2 + 3m - 8 = 0 (3)
Giải :
Đặt t = x2 (Đ K :x2≥0) thỡ Pt(3) ⇔ t2 - mt + 3m - 8 = 0 (4)
Số nghiệm của (3) phụ thuộc vào dấu cỏc nghiệm của (4), tức là phụ thuộc vào dấu của cỏc biểu thức :
Δ = m2 - 12m + 32 ; P = 3m - 8 ; S = m Ta lập bảng biện luận :
Bài tập 2: Tỡm m để phương trỡnh:
x4 - 2mx2 + m2 - 3 = 0 (5) cú đỳng ba nghiệm phõn biệt.
Giải :
Đặt t = x2 (Đ K : x2≥0) thỡ: Pt(5) ⇔ t2 - 2mt + m2 - 3 = 0 (6)
Phương trỡnh (5) cú đỳng ba nghiệm phõn biệt ⇔ phương trỡnh (6) cú nghiệm t1, t2 thỏa mĩn 0 = t1 < t2
⇔ P = 0 & S > 0
Bài tập 2 :Tỡm m để phương trỡnh sau cú ớt nhất bốn nghiệm nguyờn : m
2 |x + m| + m3 + |m x + 1| = 1. 2
Giải :
Trước hết cần lưu ý : |a| + |b| ≥ |a + b| ≥ a + b với mọi a, b và |a| + |b| = a + b
Ta cú : (1) <=> |m2x + m3| + |m2x + 1| = 1 - m3
<=> |-m2x - m3| + |m3x + 1| = (-m2x - m3) + (m2x + 1)
* Với m = 0 thỡ (2) đỳng với mọi x nờn (1) cú vụ số nghiệm nguyờn. * Với m ≠ 0 thỡ :
Suy ra : (1) cú nghiệm <=>- 1/m2 ≤ - m <=> m3 ≤ 1
Khi đú (1) <=> x Є [- 1/m2; - m]
Do đú với m ≤ 1 và m ≠ 0, (1) cú ớt nhất 4 nghiệm nguyờn <=> [- 1/m2; - m] phải chứa ớt nhất 4 số nguyờn :
• Với m = 1 thỡ [- 1/m2; - m] chỉ chứa một số nguyờn là -1 (loại).
• + Với 0 < m < 1 thỡ : Do đú : [- 1/m2; - m] chứa ớt nhất 4 số nguyờn <=> - 1/m2 ≤ - 4 <=> -1/2 ≤ m ≤1/2. + Với -1 < m < 0 thỡ : Do đú : [- 1/m2; - m] chứa ớt nhất 4 số nguyờn
+ Với m = -1 thỡ : [- 1/m2; - m] chỉ chứa 3 số nguyờn là -1, 0, 1 (loại).
+ Với m < -1 thỡ :
Do đú : [- 1/m2; - m] chứa ớt nhất 4 số nguyờn <=> -m ≥ 3 <=> m ≤ -3.
* Kết luận : Để phương trỡnh (1) cú ớt nhất 4 nghiệm nguyờn thỡ : *Bài tập về nhà : Chứng minh rằng phương trỡnh :