a/BF,CE và đường cao AK của tam giỏc ABC đồng quy tại H b/C/m : BH.HF=HC.HE c/Chứng tỏ 4 điểm : B;K;H;E cựng nằm trờn một đường trũn từ đú suy ra EC là phõn giỏc của KEF Bài 3 Cho nửa đ
Trang 1Baứi 1 :Cho nửỷa ủửụứng troứn ủửụứng kớnh AB=2R keỷ tieỏp tuyeỏn Ax vụựi nửỷa
ủửụứng troứn C laứ moọt ủieồm treõn nửỷa ủửụứng troứn sao cho cung AC baống cung CB Treõn cung AC laỏy ủieồm D tuyứ yự (D khaực A vaứ C).caực tia BC,BD caột Axx laàn lửụùt taùi E vaứ F.
a/ C.m ∆BAE vuoõng caõn
b/C/m tửự giaực ECDF noọi tieỏp
c/ Cho C ủi ủoọng treõn nửỷa ủửụứng troứn (C khaực A vaứ B ) vaứ D di ủoọng treõn cung AC (D khaực A vaứ C)
C/m BC.BE+BD.BF coự giaự trũ khoõng ủoồi
Bai2 Cho ∆ABC cú 3 gúc nhọn Vẽ (O) đường kớnh BC cắt AB tại E và cắt AC tại F.
a/BF,CE và đường cao AK của tam giỏc ABC đồng quy tại H
b/C/m : BH.HF=HC.HE
c/Chứng tỏ 4 điểm : B;K;H;E cựng nằm trờn một đường trũn từ đú suy ra EC
là phõn giỏc của KEF
Bài 3 Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh BC=2a và một điểm A nằm trờn nửa đường trũn sao cho AB=a, M là điểm trờn cung nhỏ AC ,BM cắt AC tại I.Tia BA cắt CM tại D
a/ C/m ∆AOB đều
b/Tứ giỏc AIMD nội tiếp đường trũn, xỏc định tõm K của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc đú
c/ Tớnh ADI
d/ Cho ABM = 450 Tớnh độ dài cung AI và diện tớch hỡnh quạt AKI của đường trũn tõm
K theo a
4 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O,R), cạnh AB cố định M là điểm
chính giữa cung AB(Không chứa D,C).Tia CM cắt AB tại K và cắt tia DA tại
E Tia DM cắt AB tại Q và cắt tia CB tại F.
a) Chứng minh: tứ giác DQKC nội tiếp
b) Chứng minh: hệ thức: MB2 =MK.MC
c) Chứng minh: EF // AB
d) Chứng minh: Khi điểm C di động trên cung AB (không chứa M) thì
tâm của hai đờng tròn ngoại tiếp 2 tam giác ABC và BKC chạy trên 2
đoạn thẳng cố định.
5 Cho đường trũn (C ) tõm O đường kớnh AB = 2R Trờn đường trũn (C ) lấy điểm C sao cho AC = R Vẽ OH AC ( H AC ) Gọi E là điểm chớnh giữa cung nhỏ BC Tia
AE cắt OH tại F Tia CF cắt đường trũn (C ) tại N ( N khỏc C )
a) Tớnh theo R diện tớch hỡnh quạt trũn OCEB
b) C/minh A OˆF A Nˆ F
c) C/minh tứ giỏc AFON nội tiếp được trong 1 đường trũn
Trang 2d) C/minh 3 điểm N,O,F thẳng hàng
6 Cho đường trũn (0) bỏn kớnh R và hai đường kớnh AB, CD vuụng gúc nhau Gọi I
là trung điểm của OC ; tia AI cắt đường trũn (0) tại M, tiếp tuyến của (0) tại C cắt đường thẳng AM tại E
a) Chứng minh tứ giỏc IOBM nội tiếp
b) Chứng minh CE = R
c) Chứng minh EB là tiếp tuyến của (0)
d) Tớnh diện tớch tam giỏc BME theo R
:7Cho nửa đường trũn tõm O , đường kớnh AB C là một điểm thuộc nửa đường trũn cú hỡnh chiếu xuống AB là H thuộc đoạn OB D là một điểm trờn đoạn AH Đường vuụng gúc với AB tại D cắt AC ở E cắt tia CB ở F và cắt tia tiếp tuyến tại C với nửa đường trũn
ở K
a Chứng minh cỏc tứ giỏc ADCF và BCED nội tiếp Xỏc định tõm I và J của hai đường trũn đú
b Chứng minh BE vuụng gúc với AF
c Chứng minh IJ là trung trực của CD
d Chứng minh KCE cõn
8 Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R, hai điểm C và D thuộc đường trũn, B là trung điểm của cung nhỏ CD Kẻ đường kớnh BA ; trờn tia đối của tia AB lấy điểm
S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H
a) Chứng minh : BMDBAC , từ đú suy ra tứ giỏc AMHK nội tiếp
b) Chứng minh : HK // CD
c) Chứng minh : OK.OS = R2
9 Cho đờng tròn (O,R) có đờng kính AB ; điểm I nằm giữa hai điểm A và O Kẻ đờng thẳng vuông góc với AB tại I , đờng thẳng này cắt đờng tròn (O;R) tại M và N Gọi S là
đ-ờng thẳng AB và AM lần lợt ở K và H Hãy chứng
minh :
a) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK =
HA.HM
b) KM là tiếp tuyến của đờng tròn (O;R)
c) Ba điểm H , N, B thẳng hàng
Bài 10 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB Kẻ
tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn
Gọi C là điểm trên nửa đờng tròn sao cho cung CB
bằng cung CA, D là một điểm tuỳ ý trên
cung CB ( D khác C và B ) Các tia AC, AD cắt tia Bx
theo thứ tự
ở E và F
a, Chứng minh tam giác ABE vuông cân
b, Chứng minh FB2 FD.FA
c, Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đợc đờng tròn
O
x
E
F D C
B A
Trang 3a, Ta có CA CB (gt) nên sđCA sđCB= 0 0
180 : 2 90
CAB 1
2
2
( CABlà góc nội tiếp chắn cung CB) E 45 0
Tam giác ABE có 0
ABE 90 ( tính chất tiếp tuyến) và 0
CAB E 45 nên tam giác
ABE vuông cân tại B (1đ)
b, ABFvà DBF là hai tam giác vuông ( 0
ABF 90 theo CM trên, 0
ADB 90 do
là góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn nên 0
BDF 90 ) có chung góc
AFB nên ABF BDF (0,75đ)
suy ra FA FB
FB FD
hay 2
FB FD.FA (0,25đ)
c, Ta có CDA 1
2
2
CDF CDA 180 ( 2 góc kề bù) do đó
CDF 180 CDA 180 45 135 (0,25đ)
CDF CEF 135 45 180 nên tứ giác CDFE nội tiếp
đợc (0,25đ)
Bài 11 Cho tam giaực ABC coự A = 900 ; AB = 3 cm ; AC = 4 cm Veừ ủửụứng cao AH ; hai tia Hx ; Hy vuoõng goực vụựi nhau vaứ caột caực caùnh AB ; AC laàn lửụùt taùi M ; N
a Chửựng minh tửự giaực AMHN noọi tieỏp Xaực ủũnh taõm O cuỷa ủửụứng troứn naứy
b ẹửụứng troứn ( O ) caột BC taùi ủieồm thửự hai laứ D Chửựng minh 3 ủieồm A ; O ;
D thaỳng haứng
c Tớnh theồ tớch cuỷa hỡnh sinh ra khi cho tam giaực ABC quay moọt voứng quanh
BC
Baứi 12 ( 3,5 ủieồm ) : Hỡnh veừ ủuựng yeõu caàu caõu 1 ( 0,5 ủ )
a Chửựng minh tửự giaực AMHN noọi tieỏp ( 1,25 ủ )
MAN + MHN = 1 V + 1 V = 2 V
Suy ra : Tửự giaực AMHN noọi tieỏp
Trung ủieồm cuỷa MN laứ taõm cuỷa ủt ngoaùi tieỏp tửự giaực
b Chửựng minh 3 ủieồm A ; O ; D thaỳng haứng ( 0,75 ủ )
AHD = 1 V à AD laứ ủửụứng kớnh ủt ( O ) vaọy A ; O ; D thaỳng haứng
c Tớnh theồ tớch cuỷa hỡnh sinh ra khi cho tam giaực ABC quay moọt voứng quanh BC : ( 1
ủ )
Khi cho tam giaực ABC quay quanh BC moọt voứng thỡ hỡnh sinh ra laứ hai hỡnh noựn chung ủaựy ( AH laứ baựn kớnh ủaựy chung )
3
1
3
1
3
BC = AB2 AC2 32 42 5(cm)
Trang 4AH BC = AB AC ú AH = 2 , 4 ( )
5
4 3
cm
V = 2 , 4 5 9 , 6
3
Baứi 13 : Cho tam giaực vuoõng ABC coự caùnh huyeàn BC baống 2a vaứ goực B baống 600 Treõn caùnh AC
laỏy moọt ủieồm M ( M khaực A;C) Veừ ủửụứng troứn taõm I ủửụứng kớnh MC ẹửụứng troứn naứy caột tia
BM taùi D vaứ caột caùnh BC taùi ủieồm thửự hai laứ N
a Chửựng minh tửự giaực ABCD noọi tieỏp ủửụùc trong moọt ủửụứng troứn
b Chửựng minh DB laứ tia phaõn giaực cuỷa goực ADN
c Khi tửự giaực ABCD laứ hỡnh thang , tớnh dieọn tớch hỡnh troứn taõm I theo a
Hỡnh veừ ủuựng ủeỏn yeõu caàu caõu a cho (0,5ủieồm)
a Cm tửự giaực ABCD noọi tieỏp : (1ủieồm)
BAC = 900 ( gt) (0,25ủieồm)
BDC = 900 (goực noọi tieỏp chaộn nửừa ủửụứng troứn (I) ) (0,5ủieồm)
Suy ra : Tửự giaực ABCD noọi tieỏp (0,25ủieồm)
b Cm tia DB laứ tia phaõn giaực cuỷa goực ADN : ( 0,75 ủieồm )
Xeựt ủửụứng troứn (I) ta coự :
BDN = ACB ( cuứng chaộn cung MN) (0,25ủieồm)
Xeựt dửụứng troứn ngoaùi tieỏp tửự giaực ABCD coự :
BDA = ACB ( cuứng chaộn cung AB ) (0,25ủieồm)
Suy ra : BDN = BDA
Vaọy DB laứ tia phaõn giaực cuỷa goực ADN (0,25ủieồm)
c Tớnh dieọn tớch hỡnh troứn taõm I theo a : (0,75ủieồm)
Khi tửự giaực ABCD laứ hỡnh thang ta coự : AD // BC suy ra MBC = MCB (= ADB) ∆ BMC caõn taùi M maứ MN BC neõn N laứ trung ủieồm cuỷa BC
∆ MNC vuoõng taùi N MC = NC : cos C = a:cos 300 =
3
3
2a (0,5ủieồm)
S(O) = (MC :2)2 = (
3
3
a )2 =
3
2
a
(ủvdt) (0,25ủieồm)
Bài 14
Cho C là một điểm chính giữa của nửa đờng tròn (O;R) đờng kính AB Lấy Dcung BC Gọi H,K lần lợt là giao điểm của AD và BC ,AC và BD
a.Chứng minh rằng tứ giác HCKD nội tiếp đờng tròn
b.Chứng minh rằng KH AB
a Chúng minh CK.DA= CA.DK
b Biết BAD=150 Tính theo R diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây CD và cung CD
Trang 5-Vẽ hình chính xác dùng cho câu a (0,5 điểm)
a.Chứng minh đợc tứ giác nội tiếp (1 điểm)
b +Chứng minh H là trực tâm của ABK (0,25 điểm)
+Chứng minh KH AB (0,25 điểm)
c Chứng minh đợc DC là phân giác của góc ADK (0,25 điểm)
Từ đó suy ra đpcm (0,25 điểm)
d Tính đợc CAD = 300 (0,25 điểm)
Tính đợc diện tích viên phân (0,25 điểm)
Bài 15:
Cho đường trũn (O) và một điểm A nằm bờn ngoài đường trũn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường trũn (O) và cỏt tuyến ADE khụng đi qua tõm O Gọi H là trung điểm của DE
a Chứng minh tứ giỏc ABOC nội tiếp đường trũn và xỏc định tõm (O’)
b Chứng minh H thuộc đường trũn (O’)
c Chứng minh AH là tia phõn giỏc của éBHC
d BH cắt đường trũn (O) ở K Chứng minh AE // CK
- Cho tam giaực ABC vuoõng taùi A coự AB > AC, D laứ moọt ủieồm naốm giửừa A vaứ B - ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh BD caột BC taùi E, AE vaứ CD caột ủửụứng troứn laàn lửụùt taùi G vaứ F Chửựng minh:
a EBD ủoàng daùng ABC
b Caực tửự giaực ADEC vaứ AFBC noọi tieỏp
c AC // FG
d D laứ taõm ủửụứng troứn noọi tieỏp AEF
Baứi 16: Cho ủửụứng troứn taõm O ủửụứng kớnh AB = 2R Goùi d laứ moọt tieỏp tuyeỏn cuỷa
ủửụứng troứn taùi A Treõn ủửụứng troứn laỏy moọt ủieồm M khaực A, B Tửứ M keỷ MP vuoõng goực
AB vaứ MQ vuoõng goực vụựi d Veừ tieỏp tuyeỏn taùi M caột d ụỷ T
a Tửự giaực APMQ laứ hỡnh gỡ ?
b Goùi M laứ giao ủieồm cuỷa AM vaứ PQ Chửựng minh O, I, T thaỳng haứng vaứ tửự giaực MIQT noọi tieỏp
c Khi M di ủoọng treõn ủửụứng troứn, tỡm quú tớch ủieồm I
d Khi daõy cung AM caờng cung 31 ủửụứng troứn Tớnh theo R theồ tớch hỡnh sinh
ra khi cho tửự giaực APMT quay moọt voứng quanh caùnh AP
AB và AC cắt đường trũn lần lượt tại E và F ; BF cắt CE tại H
a Chứng minh tứ giỏc AEHF nội tiếp đường trũn Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn này
b AH cắt BC tại K Chứng minh tứ giỏc AEKC nội tiếp Từ đú suy ra: éBEK = éBCA
c Chứng minh: FB là tia phõn giỏc của éEFK
Trang 6d Nếu ÐABC = 600, BC = 2a, hãy tính theo a diện tích quạt OBE và hình viên phân tạo bởi cung nhỏ EC và dây EC
18 Cho ABC cân ở A nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm trên cung AC Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua AM
a Chứng minh: ABC cân
b Chứng minh: ÐACB = ÐAMD
c Khi M chuyển động trên cung AC thì điểm D chuyển động trên đường nào?
d Đường kính kẻ từ A của đường tròn (O) cắt BC tại H Tính thể tích của hình sinh ra khi AB quay xung quanh trục AH Biết BC = 6cm, AH = 8cm
19) Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên cạnh Ox (A nằm giữa O và B), điểm
M bất kì trên cạnh Oy Đường tròn (O’) đường kính AB cắt tia MA, MB lần lượt tại điểm thứ hai là C và E OE cắt (O’) tại F, CF cắt Ox tại H Chứng minh:
a Tứ giác MOAE nội tiếp
b OE.OF = OA.OB
c H là trung điểm của CF
d Tìm vị trí điểm M để tứ giác OMFC là hình bình hành
điểm thuộc dây cung BC (M khác B và C) Đường thẳng AM cắt (O) tại N và cắt OC tại
E Từ C vẽ CK vuơng gĩc với AN tại K
a Chứng minh các tứ giác OENB và OACK nội tiếp
b Chứng minh: ÐCAK = ÐKON
c Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp KON
B) trên đường trịn Tiếp tuyến tại A của đường trịn cắt đường thẳng BC tại D Gọi I là trung điểm của AD
a Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường trịn (O)
b Chứng minh:
b1 Tứ giác OAIC nội tiếp và xác định tâm K của đường trịn ngoại tiếp tứ giác OAIC
b2 ÐIKC = 2ÐABC
c Gọi M là giao điểm của AC và OI Khi C di động trên (O) thì M chuyển động trên đường nào?
d Khi ÐABC = 300 Tính theo R diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi các đoạn thẳng AD, CD và cung nhỏ AC của (O)
tự A, M, E, B Hai đường thẳng AM và BE cắt nhau tại C; AE và BM cắt nhau tại D Chứng minh:
a Tứ giác MCED nội tiếp Xác định tâm I của đường trịn ngoại tiếp tứ giác đĩ
b CD AB
c IE là tiếp tuyến của (O ; R)
d Cho ÐBAM = 450 và ÐBAE = 300 Tính độ dài đường trịn tâm I bán kính IC theo R
Trang 723) Cho ủửụứng troứn (O), ủửụứng kớnh AB = 2R Goùi d laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa ủửụứng troứn taùi
A Treõn ủửụứng troứn laỏy M (M khaực A, B) Tửứ M keỷ MH vuoõng goực vụựi AB, MK vuoõng goực vụựi d Veừ tieỏp tuyeỏn Mx caột d taùi C
a Chửựng minh tửự giaực AHMK laứ hỡnh chửừ nhaọt
b Goùi I laứ giao ủieồm cuỷa AM vaứ HK Chửựng minh: O, I, C thaỳng haứng vaứ tửự giaực MHOI noọi tieỏp
c Khi M di ủoọng treõn ủửụứng troứn (O) thỡ I di ủoọng treõn ủửụứng naứo?
d Giaỷ sửỷ soỏ ủo cung MB = 600 Tớnh theo R dieọn tớch xung quanh vaứ theồ tớch cuỷa hỡnh sinh ra khi cho tửự giaực AHMC quay moọt voứng xung quanh caùnh AB
-Bài 24) Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R Trờn tia đối của tia BA lấy điểm C
sao cho BC =
2
1
R Từ C vẽ đường thẳng d BC Gọi M là điểm tuỳ ý trờn d (M khỏc C) Tia MB và MA cắt (O) theo thứ tự tại E và F (khỏc B và A)
a Chứng minh cỏc tứ giỏc MFBC và MAEC nội tiếp
b Chứng minh: AM.AF = 5R2
c Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc MFBC Khi M di động trờn d thỡ I di động trờn đường nào?
d Cho MAC = 300 Tớnh diện tớch hỡnh viờn phõn giới hạn bởi dõy AF và cung AF của (O)
-Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O;R), có Aˆ = 60o Hai đờng cao AE, BF cắt nhau tại H
1 Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp
2 Chứng minh CAE đồng dạng với CBF
3 Kéo dài AE cắt (O) tại K Chứng minh BHK cân
