Chương 6: Phương pháp Spline ứng dụng trong bài toán xấp xỉ Đường cong spline đi qua n điểm cho trước mà mỗi đoạn là nh ững đường bậc ba độc lập có độ dốc và độ cong liên tục tại mỗi điểm kiểm soát hay điểm nút. Với n điểm ta có n-1 đường cong (tức là mỗi đường cong bậc ba sẽ đi qua 2 điểm ), mỗi đường cong tồn tại 4 vectơ hệ số hay 4(n-1) hệ số cho n-1 đường cong và 2(n-1) điều kiện biên tức mỗi đường cong được xác định bởi hai điều kiện bi ên tại điểm đầu và điểm cuối của đường cong trong đó có n-2 điều kiện về độ dốc được xác định bởi phương tr ình đạo hàm bậc nhất thay cho tiếp tuyến tại điểm cùng n-2 điều kiện về độ cong được xác định bởi phương tr ình đạo hàm bậc hai tại các điểm nối giữa các đường cong với nhau. Hay nói cách khác thuật ngữ spline trong trường hợp này dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm thông qua các đoạn cong tham biến bậc ba với các điều kiện tại các điểm nối. Ở đây chỉ c òn lại hai điều kiện cần phải được thỏa mãn đó là phải đưa vào độ dốc hay vectơ tiếp tuyến tại hai điểm đầu và điểm cuối của đường cong spline. Việc đưa vào đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai tại các điểm nối giữa các đường cong ở đây để đảm bảo cho đường cong được li ên tục và trơn đều tại mọi điểm. Dùng phương pháp Spline như trên ta có thể xấp xỉ một đường cong bất k ì được cho bởi các điểm gián đoạn về những đường cong bậc ba spline xác định. Từ đó có thể áp dụng chúng vào nhiều mục đích khác nhau. Bài toán xấp xỉ Spline cũng như các dạng liên đới tương tự được nhiều tác giả ứng dụng và đạt được nhiều kết quả rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực đặc biệt là trong kỹ thuật. Mặc dù vậy mô hình toán Spline chỉ khả dụng khi bề mặt xấp xỉ được cho trước. Điều này trong mục đích thiết kế đường hình tàu th ủy, khả năng đáp ứng của thuật toán xấp xỉ Spline bị hạn chế đáng kể. Cách thành lập các điều kiện biên trong phương pháp Spline cụ thể như sau: Một đường cong spline được cho bởi n điểm gián đoạn. Như đ ã nói ở trên ta sẽ có được n-1 đường cong bậc ba spline thành lập nên đường cong đó, với 4(n -1) hệ số cần phải xác định tức là cần phải thiết lập được một hệ gồm 4(n-1) phương trình. Và các phương trình này được xác định bởi các điều kiện biên . T ại mỗi diểm nối giữa các đường cong ta sẽ có 4 phương trình gồm: 2 phương trình qua điểm đó và một phương trình đạo hàm bậc nhất, một phương trình đạo hàm bậc hai tại điểm đó. Còn l ại hai điểm đầu và cuối của đường cong cần xấp xỉ, mỗi điểm thiết lập được hai phương trình: một phương trình qua điểm và một phương tr ình tiếp tuyến (phương trình hệ số góc ). Tóm lại ta có n điểm được xác lập bởi (n-1) đường cong với (n-2) điểm nối. Tại các điểm nối có 4(n-2) phương trình và 4 phương trình tại hai điểm đầu và cuối của đường cong cần xấp xỉ. 4(n-2) + 2 + 2 = 4(n-1) phương trình Phương trình bậc ba tổng quát có dạng: Y i = k oi + k 1i x + k 2i x 2 + k 3i x 3 (x, y) là các tọa độ điểm tương ứng của đường cong xấp xỉ. Đường cong bậc ba thứ i: i = 1÷ (n -1) + Đạo hàm bậc nhất : Y i ’ = k 1i + 2k 2i x + 3k 3i x 2 + Đạo hàm bậc hai: Y i ’’ = 2k 2i + 6k 3i x Vi ệc đảm bảo tính liên tục của đường cong đến đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai tại các điểm nối có thể dễ dàng đạt được bằng cách đặt y i ’ (j) và y i ’’ (j) lần lượt là đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai tại điểm cuối của đường cong thứ i bằng với y (i+1) ’ (j) và y (i+1) ’’ (j) là đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai tại điểm đầu của đường cong i+1 (j là điểm nối giữa đường cong i và đường cong i+1, (j=1÷n-2). + Phương trình đạo hàm bậc nhất tại điểm nối: y i ’ (j) = y (i+1) ’ (j) k 1i + 2k 2i x j + 3k 3i x j 2 = k 1(i+1) + 2k 2(i+) x j + 3k 3(i+) x j 2 Phương trình đạo hàm bâc hai tại điểm nối: y i ’’ (j) = y (i+1) ’’ (j) 2k 2i + 6k 3i x j = 2k 2(i+1) + 6k 3(i+1) x j Từ hệ phương trình điều kiện biên nêu trên ta thiết lập được một ma trận cấp 4(n-1) với ma trận biến là: [X] = [ k 0i k 1i k 2i k 3i ] [A].X = [B] [A], [B]: là các ma tr ận hằng số [X] = [A] -1 .[B] Khi n càng l ớn thì ta sẽ có một ma trận A cấp rất lớn, bất tiện trong việc lập trình trên máy tính. Vì vậy ta phải dùng phương pháp dời trục tọa độ để chia nhỏ đường cong Spline thành các đoạn cong với số điểm nằm trong một khoảng giới hạn nào đó. Khi đó cấp của ma trận A sẽ giảm thuận lợi cho ciệc lập trình. Như vậy nếu dùng phương pháp này trong việc lập trình sẽ gặp một trở ngại thứ hai đó là: cứ dời trục tọa độ ta phải đi xác y1 y2 y3 y4 y5 yn-2 yn-1 1 2 3 4 5 n-2 n-1 n y'n-1 y'1 j định hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó, khó có thể thực hiện được. V ì thế chúng tôi đã đi đến một phương pháp thứ hai cũng dựa trên cơ sở của phương pháp thứ nhất như đã trình bày khá cụ thể ở trên. Cách thành l ập các điều kiện biên của phương pháp cụ thể như sau: Đường cong Spline được cho bởi các điểm gián đoạn; ta sẽ có (n-2) đường cong tức là mỗi đường cong bậc ba sẽ đi qua 3 điểm gián đoạn đ ã cho. Ứng với 4(n-2) hệ số cần phải xác định và tương ứng với hệ 4(n-2) phương trình cần được thiết lập dựa vào những điều kiện biên như phương pháp một. Điểm nối ở đây được xác định theo nguy ên tắc chấp nối với mục đích giảm sai số, đảm bảo độ trơn đều cho đường cong và độ chính xác cho phương pháp. Khi đó điểm giữa của đường cong thứ i sẽ tr ùng với điểm đầu của đường cong thứ i+1 tại điểm nối. V à số điểm nối lúc này sẽ là (n-3) ứng với (n-2) đường cong. Tại vị trí các điểm nối ta cũng có được 4 phương trình như phương pháp thứ nhất, ta vẫn lấy 1 phương tr ình qua điểm và 1 phương trình tiếp tuyến (phương trình hệ số góc) tại điểm đầu tiên c ủa đường cong ( điểm góc ). Riêng đối với hai điểm cuối của đường cong (n -2), lúc này điểm kề cuối của đường cong này không ph ải là điểm nối nên ta chỉ lấy 2 phương trình qua điểm tại 2 điểm đó. Với phương pháp nêu trên có thể đi xấp xỉ một đường cong về dạng spline bậc ba khá chính xác, mặc dù vẫn có sai số nhưng rất nhỏ, khi ta chia khoảng cách của các đường cong bậc ba càng nh ỏ thì sai số càng ít. Và một điều rất quan trọng trong phương pháp này là ta ứng dụng được thuật toán Spline trong tính toán các đại lượng hình học hình cong phẳng, sẽ giải quyết rất nhiều vấn đề về việc xác định các yếu tố hình học tàu thủy. Vì thời gian cho phép nên đề t ài chỉ ứng dụng trực tiếp thuật toán trên trong việc tính tay đ òn ổn định tày thủy. . tr ình đạo hàm bậc hai tại các điểm nối giữa các đường cong với nhau. Hay nói cách khác thuật ngữ spline trong trường hợp này dùng để chỉ phương pháp biểu diễn đường cong mềm thông qua các đoạn. biên . T ại mỗi diểm nối giữa các đường cong ta sẽ có 4 phương trình gồm: 2 phương trình qua điểm đó và một phương trình đạo hàm bậc nhất, một phương trình đạo hàm bậc hai tại điểm đó. Còn l ại. spline thành lập nên đường cong đó, với 4(n -1) hệ số cần phải xác định tức là cần phải thiết lập được một hệ gồm 4(n-1) phương trình. Và các phương trình này được xác định bởi các điều kiện