Vật lí thống kê ĐHSP

Trạng thái vi mô: Đối với vật lí thống kê trạng thái vi mô của hệ chính là trạng thái riêng lẻ cấu thành hệ và trạng thái của hệ xem như đã biết nếu như ta biết vị rí và chuyển động của

VẬT LÝ THỐNG KÊ NỘI DUNG:

I LÝ THUYẾT: Những luận đề cơ bản của VLTK

1 Trạng thái vi mô, trạng thái vĩ mô:

a Trạng thái vi mô:

Đối với vật lí thống kê trạng thái vi mô của hệ chính là trạng thái riêng lẻ cấu thành

hệ và trạng thái của hệ xem như đã biết nếu như ta biết vị rí và chuyển động của tất

cả các hạt trng hệ

b Trạng thái vĩ mô của hệ:

Là những thông số đươckj đo bằng thực nghiệm thực nghiệm thông thường và nó là một thông số hữu hạn đặc trưng cho cacs trạng thái vi mô trong hệ

Ví dụ: T, p, V, của khối khí là những thông số vĩ mô

c Quan hệ giữa trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô:

Mỗi trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ướng với một số rất lớn các trạng thái vi mô Các trạng thái vi mô này biến đổi liên tục theo thời gian

Ví dụ : Bất kì một trạng thái vĩ mô nào của một khối khí ở nhiệt độ và áp suất không

đổi đều tương ứng với một tập hợp các vị trí của phân tử Nên theo thời gian trạng thái vi mô và vĩ mô coa quan hệ với nhau.

d Xác suất nhiệt động W T :

Các trạng thái vĩ mô khác nhau tương ứng với các trạng thái vi mô, một trạng thái vĩ

mô càng bền nếu như số trạng thái vi mô tương ứng với nó thực hiện được càng lớn Xác suất nhiệt động của một trạng thái vĩ mô, của một trạng thái nhất định của hệ là trạng thái vi mô tương ứng với số trạng thái vĩ mô đó

2 Phương pháp cơ bản của vật lí thống kê:

- Trạng thái vi mô của hệ: Tập hợp các xung lượng, toạ độ suy rộng (q1…qfN, p1…pfN) với f là bậc tự do của hệ, N là số hạt

- Thông số vĩ mô F là tập hợp các trạng thái vĩ mô theo thời gian các trạng thái vi mô biến đổi

- Mặt khác trạng thái vĩ mô phải đo bằng thực nghiệm → trung bình theo thời gian nhiều lần theo thời gian tổng quát:

1 fN, fN,

F q q p p t dt t

= ∫

- Phương pháp thống kê: Nghiên cứu những tính chất đặc thù cho số đông, cho số lớn các hạt trong hệ, các quy luật, các tính chất này mang tính chất khách quan ngẫu nhiên → thông số vĩ mô → F

1 fN, fN,

F q q p p t dt t

= ∫

- Phương pháp cơ bản của vật lí thống kê: Phương pháp Gipps

T hay thế nghiên cứu một hệ nhiều hạt bằng một tập hợp nhiều hạt tương tự như đã cho biến đổi theo thời gian Tập hợp hệ được gọi là tập hợp thống kê Các hệ này tương tự nhau về loại hạt và số hạt ở các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở các trạng thái vi mô khác nhau, đồng thời phải đảm bảo mỗi một hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn cũng sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi, tcs là lần lượt trong các trạng thái vi mô dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp

3 Cách mô tả thống kê hệ nhiều hạt –xác suất trạng thái

a Cách mô tả thống hệ kê nhiều hạt:

Một điểm pha trong không gian pha sẽ được biểu diễn là một hệ trong tập hợp thống

kê Vậy tập hợp thống kê là tập hợp các diểm biểu diễn pha của từng hệ riêng biệt (hay còn gọi là tập hợp pha)

b Xác suất trạng thái:

Giả sửta có n hệ trong tập hợp thống kê, các hệ này đều bình đẳng như nhau Gọi ρ

là mật độ phân bố các hệ: ρ ρ = (q q1, 2 , p p1 2 , )t

dX một yếu tố thể tích bao quanh một điểm pha ở thời điểm t

Trong tập hợp thống kê, tại thời điểm t cũng có một số hệ có điểm biểu pha dX Goi

dn là số lượng các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn pha dX:

dn= ρdX

Suy ra xác suất để hệ có điểm biểu diễn pha của mình ở trong dX là:

dn W=

n

n

ρ

=

Đặt ( , )X t

n

ρ

ω = được gọi là mật độ xác suất pha ⇒dW= ω ( , )X t dX

Nghĩa là: mỗi trạng thái vi mô của hệ mà ta khảo sát được đặc trưng bằng một xác suất Nếu khi hệ nằm trong 1 trạng thái vĩ mô nào đó ta có thể biết được một số các thông số vĩ mô

Điều kiện chuẩn hoá: ( , )

( )

X

d = ⇒ ω

∫ phải thoả mãn điều kiện chuẩn hoá

 Ý nghĩa của hàm phân bố thống kê: Khi biết hàm phân bố thống kê ta có thể tìm được trị trung bình của một đại lượng vật lí bất kì:

( , )

F =∫Fd =∫Fω dX

4 Không gian pha:

a Không gian pha:

 Khái niệm: Là không gian quy ước trong vật lí thống kê để biểu diễn sự biến

đổi của hệ nhiều hạt theo thời gian Toạ độ của không gian pha là các toạ độ và xung lượng suy rộng của tất các hạt cấu thành hệ

b Các yếu tố cơ bản của không gian pha:

 Điểm pha: Là tập hợp tất cả các trạng thái vi mô, các hạt cấu thành hệ Vậy

điểm pha chính là các toạ độ và xung lượng suy rộng cấu thành hệ

 Quỹ đạo pha: Khi trạng thái của hệ thay đổi theo thời gian thì điểm pha cũng

dịch chuyển trong không gian pha Đường cong biểu diễn sự dịch chuyển trong không gian pha gọi là quỹ đạo pha

Chú ý: Trong không gian pha các quỹ đạo pha là không cắt nhau

 Siêu diện năng lượng: Hệ cô lập, năng lượng đượcbảo toàn → hàm của

( ,q p& &k k), ( , ) onst

k k

q p

E& & =c Ta có thể xem như đây là một phương trình liên hệ

tất cả các thông số vi mô trong không gian pha Đó là một mặt gọi là siêu diện năng lượng gồm: (2fn - 1)chiều

 Thể tích pha: Trong không gian pha ta tưởng tượng như trong không gian ba

chiều Khi nghiên cứu sự phân bố các điểm pha của tập hợp thống kê trong không gian pha cũng có một thể tích nào đó Ta gọi đó là thể tích pha Yếu tố thể tích nguyên tố pha dX là một hkoảng đủ nhỏ của các thông số trạng thái vi

mô mà chúng ta khảo sát khi chúng ta chia nhỏ thể tích pha Vậy dX là tập hợp

ác trạng thái vi mô của hệ: dX =dq dq1 fN;dp dp1 fN

5 Định lí Liuvin:

a Định li Liuvin: Trong không gian pha thể tích pha nguyên tố không thay đổi về độ

lớn chỉ thay đổi về hình dạng Nghĩa là: dX1 =dX2 =const

II BÀI TẬP: Chương IV, V, VI

Chương IV:

Câu 1: Vẽ quỹ đạo pha của dao động tử điều hoà một chiều (dao động tử điều hoà là

một chất điểm có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi –

kx dọc theo 1 đường thẳng)

Chọn toạ độ suy rộng q x≡

Xung lượng suy rộng: p mv= ;

Động năng: 1 2 2

d

p

m

= = ; Thế năng: 1 2

2

Hàm Hamintơn:

2

2

1

(1)

d

H

q

q

∂

 = − = −



&

&

&&

&

Nghiệm của (1) có dạng: q q0 sin( t ) k

m

Từ q p p mq

m

& & mà q q= 0 sin(ω ϕt+ )⇒ =q q& 0 ω osc (ω ϕt+ )⇒ =p m q cω 0 os(ω ϕt+ )

2

2 2

0 0

2 0

sin sin

1

q

t q

m q

ω ϕ

ω ϕ

ω





0 0

1

⇔ + = (2) trong đó p0 =m qω 0

(2) có dạng quỹ đạo của elip nên quỹ đạo pha của dao động tử điều hoà là một elip

p

q

Câu 2: Vẽ quỹ đạo pha đối với hạt chuyển động theo quán tính:

Giải:

- Chuyển động theo quán tính là chuyển động với vận tốc không đổi v c= onst

- Chọn toạ độ suy rộng q x≡

- Xung lượng suy rộng: p mv= ; Động năng: 1 2 2

d

p

m

= =

- Thế năng:Chọn mốc thế năng ∞ nên U = 0

⇒Hàm Hamintơn: 0 2

2

d

p

m

0

onst

H p

q

p c

q

∂

 = − =



&

&

onst

p c= nên quỹ đạo pha là một đường thẳng vuông góc với trục p và song sonh

với trục q

p

onst

p c=

q

Câu 3: Vẽ quỹ đạo pha đối với hạt tự do

Giải:

Chọn toạ độ suy rộng q≡ y; Gốc tai O; Xung lượng suy rộng: p mv= ;

Động năng: 1 2 2

d

p

m

= = ; Thế năng: U =mgh mgy=

d

= + = + = +

H

q

q

∂

 = − = −





&

dp

(1) dt

p& = ⇒dp= pdt& ⇒ =p ∫pdt& = −∫mgdt= −mgt

O

(2)

−

Từ (1) và (2) ta có:

2

2

1

(3)

(3) có dạng 1 parabol

q

Câu 4: Hãy nghiệm lại định li Liuvin đối với chất điểm chuyển động theo quán tính

p+dp0

p0 D C D’ C’

q0 q0+dq0 q q+dq

Giải:

Xét ở thời điểm t0 thể tích pha là hình chữ nhật ABCD có các toạ độ:

q0, q0 + dq0, p0, p0 + dp0 Ở thời điểm t thể tích pha là hình A’B’C’D’ Dễ chứng minh được A’B’C’D’ là hình bình hành vì p càng lớn thì v càng lớn nên A’, B’ di chuyển nhanh hơn D’, C’ Từ hình vẽ ta có:

- Diện tích hình chữ nhật ABCD là: S ABCD =dq dp0 0

p

p

q

- Diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: ' ' ' ' 0 0

2

A B C D

dq dq

- Ta lại có: dq q= C' −q D' (1)

1

2

0

p p

Từ (2) và (3) ⇒q C' −q D' =dq0 (4) So sánh (4) và (1) suy dq dq= 0

Vậy diện tích S A B C D' ' ' ' =dq dp 0 =dq0 dp0 =S ABCD (d pcm)

Câu5: Tính thể tích pha đối với:

a Dao động tử điều hoà

b Hạt chuyển động tương đối tính trong thể tích V có năng lượng liên hệ với xung lượng bằng hệ thức E c p= 2 +m c2 2

Giải:

Quỹ đạo pha của dao động tử điều hoà có dạng elip nên thể tích pha bằng diện tích giới hạn bởi elip

d

p

m

2 2

0 0

sin



0

2 2

m

ω

ω

= ⇒ = Từ (*) p0 m q0 m 2E2 2mE

m

ω

Thể tích pha Γ chính là diện tích hình eplip: q p0 0 2E2 2mE 2 E

m

π

P P+dp

q0

q0+dq0

p+dp

p+dp

Câu 6: Nghiệm lại định lí Liuvin đối với hạt rơi tự do

Giải

Chọn gốc toạ độ ở độ cao h, chiều dương hướng từ trên xuống

Hàm hamintơn của chất điểm có khối lượng m chuyển động trong trường trọng lực:

2 d

2

t

P

m

= + = + − Ta có:

k

H

q

∂

∂

Ta lại có:

0

t P

t

d

d

0

1

(2) 2

t q

t

Từ (1) và (2) 22

2

p q gm

⇒ = (3) Quỹ đạo là một parabol

p

A B

C D A’ B’

C’ D’

q

Để nghiệm lại định lí Liuvin, ta xét thể tích chiếm bởi các điểm pha ở thời điểm t0

Đó là hình chữ nhật ABCD, được xác định bởi các toạ độ:

q q0 , 0 +dq p p0 , 0 , 0 +dp0

Ở thời điểm t thể tích pha là hình A’B’C’D’ Dễ dàng chứng minh được A’B’C’D’

P0 P0+dp0

là hình bình hành Vì xung lượng càng lớn vận tốc càng lớn nên B’C’ chuyển động nhanh hơn A’D’

Ta có: Diện tích hình ABCD : AB.BC= dq dp0 0

Diện tích hình A’B’C’D’ A’B’.C’D’ = dq dp.

Từ hình vẽ: ⇒dq q= D' −q A'

.

o

o A

p p

dp= p −p với :p B' = p B +mgt (vì xung lượng K2−K1 = ∆F t F là trọng lực P)

B

Tương tự: p A' = p A+mgt= p0 +mgt ⇒dp= p B' −p A' =dp0

Vậy: dp dq dp dq = 0 o thể tích pha được bảo toàn

Câu 7: Hãy tìm biểu thức của không gian pha µ của một phân tử khí lí tưởng phụ

thuộc vào năng lượng của phân tử

Giải:

Không gian pha µ của 1 phân tử khí lí tưởng là không gian 6 chiều, có các toạ độ x,

y, z, px, py, pz Thể tích nguyên tố của không gian pha đó là:

x

d Γ = dx.dy.dz.dp dp dp y z = Γ Γd p.d q (với dΓ =q dx dy dz dV = )

Vì năng lượng của khí lí tưởng chỉ là động năng nên

2

d

1

p

Từ (1) ta thấy phương trình có dạng mặt cầu Mà dΓ =p dp dp dp x. y. z ⇒ Γd p có thể xem

như là thể tích của tầng cầu tạo bởi hai hình cầu có bán kính p và p + dp

Mặt khác :

2

2

p

mdE

mE

0

4

3

E

p q

dΓ = Γ Γ =d dV πm mEdE ⇒ Γ =V πm m∫ EdE = πV mE

Vậy khi E tăng thì Γtăng

Câu 8: Hãy CM rằng thể tích pha của không gian pha K của khí lí tưởng gồm N hạt

có khối lượng m đựng trong hình cầu có thể tích V và có năng lượng toàn phần có trị

số bằng Γ =const.V N( 2mE) 3N

Giải:

Không gian pha của khí lí tưởng đơn nguyên tử gồm N hạt là không gian 6N chiều (2fN chiều f = 3) Thể tích nguyên tố của không gian pha đó là:

1 3 1 3

dΓ = Γ Γ = Γd d Γ Γ Γ

Ta có: 1 3

N

N

dΓ = Γd Γ ⇒ Γ =V

p

dΓ là thể tích của tầng cầu 3N chiều nằm giữa hai siêu diện năng lượng từ p đên p +

dp

Ta tính với trường hợp 1 hạt Ta có: 1 4 3

3

p

Vậy thể tích pha của không gian pha K của khí lí tưởng gồm N hạt là:

4

3

N

Chương 5:

Câu 1: Ở độ cao nào, ở nhiệt độ 00 C áp suất không khí giảm đi 3 lần

Giải:

Gọi p là áp suất ở độ cao h1 Ta có: 1 23

1 0

-mgh

kT

p2 là áp suất ở độ cao h2 mà áp suât giảm đi 3 lần so với p1

2 0

-mgh

kT

Theo đề ra ta có: 1 ( )

2 1 2

23

3 3

23

1,37.10 273.ln 3

29.10

.9,8 6,02.10

−

−

Vì

A

m

N

µ

= , µ: khối lượng mol phân tử, ΝΑ: số Avôgađrô

m

µ ν

µ

A

m

N

µ

=

Câu 2:Biết phân tử lượng của không khí là 29, dựa vào công thức 0

-mgz exp

kT

 

Hãy tìm tỉ số của phân tử trong 1 cm3 chia cho sốhạt n0 ở nhiệt độ 273K ở độ cao 1km, 10km, 80km

Giải:

-mgz

kT

Vậy tỷ số phân tử chia co n0 là:

0

-mgz exp kT

mgz kT N

e n

−

Thay các giá trị z = 1km, 10km, 80km và chú ý

A

m N

µ

= và k= 1,37.10 − 23J K/

Ta sẽ có:

1km: 1

0

0,88

N

0

0, 28

N

0

5.10

N n

−

=

Chú ý: Số hạt trong thể tích V là: .

.

N nV

N n S

=



 =

 với n: mật độ hạt, V: thể tích, S diện tích (Với bài này ta có: N = n.1)

Câu 3: So sánh số toàn phần các phân tử khí ở trên mặt đất trong cột không khí có

đáy 1cm2 với số phân tử trong cột cao 1km, 10km, 80km (00 C)

Giải:

Số phân tử tổng cộng (toàn phần) ở cột có đáy S = 1cm2 (tính từ mặt đất đến h bằng

vô cùng)

∞ ∞

∞ =∫ =∫ (với n: mật độ, dz: chiều cao, S: diện tích)

0

∞

∞

Tương tự ta có:

1

0

mg

Để so sánh số phân tử toàn phần n0 với số phân tử trong các cột khí ở các độ cao khác

nhau ta so sánh tỷ số sau

0

N n

1km: 1

0

0,12

N

0

0,72

N

0

0,99995

N

Câu 4:

a Tính độ cao trung bình của cột không khí trên mặt đất đến độ cao h Từ đố suy ra

ở độ cao h bằng vô cực

b Tính thế năng trung bình của các phân tử khí lí tưởng ở trong bình trụ cao h Từ

đó suy ra ở độ cao h bằng vô cực

Giải

a Công thức tính trị trung bình chung:F =∫F( ) ( )X ω X dX (ω ( )X : Hàm phân bố)

Công thức tính trị trung bình của độ cao: z=∫z ω( )X .dX

( )X

ω là hàm phân bố Bônxoman Do xét trong trường thế nên ta có dX = dz

từ điều kiện chuẩn hoá ta được: 0

mgz z.exp

-kT 1

(1)

h

dz

∫

Ta đi tính tích phân:

0

mgz exp

-kT

h

∫

Đặt:

du dz

u z

mgz

kT

=



0  kT  mg  kT  0 mg  kT 

=

0

.

h

0

.

h

h o

z

mg

z

∫

0

mgh kT mgh

o

kT h e mg

− 

 ÷

 

− 

 ÷

 



.

mgh kT

z

− 

 ÷

 

−   

1

mgh kT

e

 

 ÷

 

∞

−

−

b Áp dụng câu a ta có:

1

mgh kT

z mg

e

 

 ÷

 

−

Mặt khác:

1 exp 1

mgh kT

mgh mg

 

 ÷

 

−

Nhận xét: Khi biết thế năng trung bình ta có thể suy ra độ cao trung bình và ngược lại

Chương VI:

Câu 1: Đại lượng 12 k

k

H q q

∂

được gọi là virian đối với bậc tự do thứ k Chứng minh

rằng giá trị trung bình của virian của một bậc tự do bằng 1

2KT , nếu h→ ∞khiq→ ±∞

Ta có: 1 2 1

-H

ψ θ

+∞

−∞

∫ ∫ ∫

-H

k

q

ψ θ

θ

+∞

−∞

∫ ∫ ∫

-H

k

q

ψ

θ

Với A = k exp -H x

k

q

ψ θ

+∞

−∞

∫

Ta tính A Đặt: -H -H

x k

q

=

∂



-H

H

+∞

+∞

−∞

−∞

+∞

+∞

−∞

−∞

∫

∫

Tích phân đầu khi H exp H 0

θ

→ ∞ → − =

  do đó:

-H

θ

+∞

−∞

∫

-H

k

H

q

ψ

θ

+∞

−∞

-H

θ

+∞

−∞

k

H

∂

∂

Câu 2: Sử dụng về định lí phân bố đều của động năng theo bậc tự do và định lí

virian dưới dạng: i i

∂ ∂ tính năng lượng trung bình của dao động tử điều

hoà

Giải:

Hàm Hamintơn của dao động tử điều hoà là: 2 1 2

p

m

Ta lại có: 2 1 2

(3)

p

m

Theo định lí virian: 1 1 1 1 1

Vậy E kT=

Câu 3: Tính thế năng trung bình của dao động tử có thế năng U = ax 4 theo định lí virian

Giải:

d

1

2

Theo định lí virian ta có: 1 1 3

.4ax

4

4

kT

⇒ = Thay (2) vào (1) ta có: 1 1 3

Câu 4: Sử dụng định lí virian, tìm năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong

trường lực có thế năng 2

( )

n q

U = αq (n là số tự nhiên)

Giải:

(1) 2

n d

E H= =E + =U kT+ αq theo định li virian:

2

∂

Thay (2) vào (1) ta có: 1 1 1 1

kT

Câu 5: Tìm biểu thức của thế nhiệt động Gipp theo tích phân trạng thái

Giải

Thế nhiệt động Gipp: G = U – TS + pV (U: nội năng, S entropi)

Ta có: U – TS = F (F: năng lượng tự do)

Mà F = KT.lnZ (Z: tích phân trạng thái)

.

Vì ln 1 lnln

T

Vậy biểu thức của thế nhiệt động Gipp theo tích phân trạng thái

Câu 6: Tìm biểu thức entropi theo tích phân trạng thái.

Giải:

Ta có phương trình cơ bản của nhiệt động lực học: TdS =dU – pdV

Mà TdS = d(TS) – SdT ⇒d TS( ) −SdT =dU−pdV ⇔d U TS( − ) = pdV SdT−

Đặt F = U – TS (F: năng lượng tự do)

Lấy vi phân toàn phần của (1) ta có:

(2)

So sánh (1) và (2) ta có:

V

F S

T

∂

⇒ = −∂ ÷ Mà ta lại có: F = −kTlnZ

ln ln

ln

V

Z

T

∂

Câu 7: Tìm biểu thức entanpi theo tích phânn trạng thái

Giải:

Ta có hàm entanpi: H U= +pV (Trong đó U: nội năng, H: hàm entanpi)

ln

T

Z

V

∂

∂

Câu 8: Tìm biểu thức của nhiệt dung đẳng tích theo tích phân trạng thái

Giải:

Ta có :

2 2

V

F

T

 ∂ 

= − ∂ ÷

  mà F = −kTlnZ

2 2 2

2

ln

ln

ln

2

V

V V

V

V



Câu 9: Chất khí nằm trong trường lực thế năng U( )ϕ =acos ϕ, trong đó ϕ là góc giữa

trục phân tử cuả chất khí và phương của trường Hãy tìm sự phân bố của các phân tử khí theo phương và tìm trị trung bình cuả cosϕ, từ đó suy ra U

Giải:

Ta có: Hàm phân bố: dW = ω ( )X dX Suy ra hàm phân bố trong trường trọng lực với thế

năng Ut có dạng: dW=Aexp U t dW =Aexp( ) U( os )c ( os )

ϕ