Bồi dưỡng toán

Bài tập chọn lọc – Hình học 7 - Tính chất ba đường phân giác của tam giác  Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. Đảo lại, điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó.  Trong một tam giác, ba đường phân giác cùng đi qua một điểm, điểm này cách đều ba cạnh của tam giác.  Hai đường phân giác của hai góc ngoài của tam giác và tia phân giác của góc trong không kề chúng cũng gặp nhau tại một điểm.  Đối với tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng đồng thời là đường phân giác của tam giác đó. VD : Cho ∆ABC có µ A = 120 0 , các đường phân giác AD và BE. Tính số đo của · BED Giải : Gọi Ax là tia đối của tia AB. Ta có · · BAD DAC= = 60 0 nên · CAx = 60 0 . Xét ∆ABD có AE là tia phân giác của góc ngoài đỉnh A, BE là tia phân giác của góc B, chúng cắt nhau tại E, nên DE là tia phân giác ngoài của góc Điểm Do đó : · µ µ · · · 0 1 1 ADC ABC BAD BED D B 30 2 2 − = − = = = 1. Cho góc vuông xOy và tam giác vuông cân ABC có µ A = 90 0 , B ∈ Ox, C ∈ Oy, A và O thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BC. Chứng minh rằng OA là tia phân giác của góc xOy. 2. Cho ∆ABC có AH ⊥ BC và · µ BAH 2.C= . Tia phân giác của của góc B cắt AC ở E. a) Tia phân giác của · BAH cắt BE ở I. Chứng minh rằng ∆AIE vuông cân. b) Chứng minh rằng HE là tia phân giác của · AHC . 3. Cho ∆ABC có µ A = 120 0 , đường phân giác AD. Đường phân giác của góc ngoài tại C cắt đường thẳng AB ở K. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Tính số đo của · BED . 4. Cho ∆ABC có µ A = 120 0 , các đường phân giác AD, BE, CF a) Chứng minh rằng DE là tia phân giác góc ngoài của ∆ADB. b) Tính số đo của góc · EDF . 5. Cho ∆ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH ⊥ AB. Gọi E là một điểm thuộc đoạn thẳng AH. Trên AC lấy điểm F sao cho · · AEF 2.EMH= . Chứng minh rằng FM là tia phân giác của · EFC . 6. Cho ∆ABC có các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I và ID = IE. Chứng minh rằng µ µ B C= hoặc µ µ B C+ = 120 0 . Nguyễn Xuân Đệ  1  1 2 ) ) x 1 2 A E D C B Bài tập chọn lọc – Hình học 7 - Tính chất ba đường phân giác của tam giác 1. GT · 0 xOy 90= ; ∆ABC vuông cân ; B ∈ Ox , C ∈ Oy KL OA là tia phân giác của · xOy Vẽ AH ⊥ Ox ; AK ⊥ Oy. Ta có · · HAK BAC= nên · · KAC HAB= (cùng phụ · CAH ) Do đó ∆KAC = ∆HAB (ch, gn) ⇒ AK = AH. Vậy OA là tia phân giác của · xOy (A nằm trong và cách đều hai cạnh Ox, Oy của · xOy ) 2. GT ∆ABC : AH ⊥ BC ; · µ BAH 2C= ; · · ABE HBE= KL a) · · BAI HAI= . Chứng minh rằng ∆AIE vuông cân. b) HE là tia phân giác của · AHC a) Có µ µ µ 1 1 2 C A A= = (vì · µ BAH 2C= ) ; µ µ µ µ 1 2 1 2 A A B B+ + + = 90 0 (vì AH ⊥ BC) ⇒ µ µ 1 2 A B+ = 45 0 ; µ µ 1 1 B C+ = 45 0 Mà : µ µ 1 1 2 I A B= + $ ; µ µ µ 1 1 1 E B C= + (góc ngoài của tam giác) ⇒ µ 1 1 I E= $ = 45 0 ⇒ ∆AIE vuông cân tại A. b) ∆ABH có AI là phân giác trong của góc A, mà AI ⊥ AE ⇒ AE là phân giác góc ngoài tại A ; Phân giác AE và BE cắt nhau tại E, nên HE là phân giác ngoài tại H của ∆ABH Hay HE là phân giác của · AHC . 3. GT ∆ABC : µ A = 120 0 ; AD là phân giác ; CK là phân giác ngoài tại C ; { E} = DK ∩ AC KL · BED = ? ∆ADC có K là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên DK là phân giác trong : µ µ 1 2 D D= ∆ADB có E là giao điểm của hai đường phân giác ngoài nên BE là phân giác trong : µ µ 1 2 B B= Do đó : · µ µ · · · 0 1 1 ADC ABC BAD BED D B 30 2 2 − = − = = = 4. GT ∆ABC : µ A = 120 0 ; AD, BE, CF là phân giác KL a) DE là tia phân giác ngoài của ∆ADB. b) Tính số đo của · EDF a) Vì · BAC = 120 0 nên µ µ µ 1 2 3 A A A= = = 60 0 . ∆ABD có AE là tia phân giác góc ngoài đỉnh A, BE là tia phân giác góc trong đỉnh B nên DE là tia phân giác góc ngoài đỉnh D. b) Chứng minh tương tự, DF là tia phân giác ngoài đỉnh D của ∆ACD. Vậy · EDF = 90 0 . Nguyễn Xuân Đệ  2  y x A O K H C B 1 2 1 A 3 1 1 2 I H E C B 1 1 2 4 A 3 1 2 I K E D C B 2 1 1 x 1 2 2 A F 3 1 E D C B 2 Bài tập chọn lọc – Hình học 7 - Tính chất ba đường phân giác của tam giác 5. GT ∆ABC cân tại A ; MB = MC ; MH ⊥ AB ; E ∈ AH, F ∈ AC : · · AEF 2.EMH= KL FM là phân giác của · EFC Đặt · EMH = α thì · AEF 2= α . Ta có : µ 1 E = 90 0 – α nên µ µ · ( ) 0 0 0 0 2 1 E 180 E AEF 180 90 2 90= − − = − −α − α = −α ⇒ µ µ 1 2 E E= ∆AMB = ∆AMC (ccc) ⇒ AM là tia phân giác của µ A ∆AEF có EM là tia phân giác của góc ngoài đỉnh E, AM là tia phân giác của góc trong đỉnh A, chúng cắt nhau tại M nên FM là tia phân giác của · EFC . 6. GT ∆ABC : BD, CE là phân giác {I} = BD ∩ CE ; ID = IE KL µ µ B C= hoặc µ µ B C+ = 120 0 . Cách 1 : (hình a, b) Kẻ IH ⊥ AB, IK ⊥ AC. Ta có ∆IHE = ∆IKD (ch, cgv) ⇒ · · IEH IDK= (1) Xét bốn trường hợp sau : a) H thuộc đoạn BE, K thuộc đoạn CD (hình a) Từ (1) ⇒ µ µ µ µ C B A A 2 2 + = + do đó µ µ B C= b) H thuộc đoạn AE, K thuộc đoạn AD. Chứng minh tương tự như phần a ta được µ µ B C= . c) H thuộc đoạn AE, K thuộc đoạn AD (hình b) Từ (1) ⇒ µ µ µ µ µ µ µ C B B C A C A 2 2 2 2 + = + ⇒ = + ⇒ µ µ µ µ µ µ µ 0 2A B C 3A A B C 180= + ⇒ = + + = ⇒ µ µ µ 0 0 A 60 , B C 120= + = d) H thuộc đoạn AE, K thuộc đoạn CD. Chứng minh tương tự như phần c ta được µ µ B C+ = 120 0 . Cách 2 : (hình c, d) Không mất tính tổng quát, giả sử AD ≥ AE. Xét hai trường hợp sau : a) Trường hợp AD = AE (hình c) ∆ADI = ∆AEI (ccc) ⇒ · · ADI AEI= ∆ADB và ∆AEC có µ A chung, · · ADI AEI= nên µ µ µ µ 1 1 B C B C= ⇒ = b) Trường hợp AD > AE (hình d). Lấy F trên AD sao cho AF = AE. ∆AFI = ∆AEI (cgc) ⇒ IF = IE ; $ µ 1 1 F E= Do IE = ID nên IF = ID, do đó $ µ 1 1 F D= ⇒ µ µ 1 1 D E= , tức là µ µ µ µ B C A B 2 2 + = + Biến đổi như ở cách 1 ta được µ µ B C+ = 120 0 . Nguyễn Xuân Đệ  3  || || 1 A F M H E C B 2 ( Hình b A I K H E D C B / A _ I K H E D C B Hình a ( 1 1 Hình d A F * * 1 I E D C B 1 2 Hình c A * * 2 I E D C B 1