ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2010 Môn Toán – ĐỀ 02 I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 có đồ thị là (C m ); ( m là tham số) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. 2. Xác định m để (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0;1), D, E sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại D và E vuông góc với nhau. Câu II (2 điểm) 1.Giải phương trình sau: sin( 2 π + 2x)cot3x + sin( π + 2x) – 2 cos5x = 0 . 2. Giải phương trình 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + . Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = ( ) 1 2 0 4 d 4 5 x x x x + + + ∫ Câu IV(1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, · 0 60ABC = ;SD =a 3 và vuông góc với đáy. Gọi I, H lần lượt là trực tâm của các tam giác ACD và SAC. Tính thể tích khối tứ diện HIAC. Câu V (1 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: x + y + z = xyz. Tìm GTNN của A = )1()1()1( zxy zx yzx yz xyz xy + + + + + . II. PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2) 1.Theo chương trình Chuẩn Câu VIa.( 2 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho ΔABC biết A(5; 2). Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của ΔABC. 2. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: (d 1 ): = = = 4z ty t2x và ( d 2 ) : 3 0 x t y t z = − = = .Chứng minh rằng (d 1 ) và ( d 2 ) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d 1 ) và ( d 2 ). Câu VII.a (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập hợp số phức: 2 2 ( )( ) 0z i z z+ − = . 2. Theo chương trình Nâng cao. Câu VIb.(2điểm) 1. Trong mpOxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 – 6x + 5 = 0. Tìm M thuộc trục tung sao cho qua M kẻ được hai tiếp tuyến của (C) mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60 0 . 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2 ; 1 ; 0) và đường thẳng d có phương trình: x 1 y 1 z 2 1 1 − + = = − .Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d. Câu VIIb. (1 điểm) Giải hệ phương trình 3 3 log log 2 2 2 4 4 4 4 2 ( ) log ( ) 1 log 2 log ( 3 ) xy xy x y x x y = + + + = + + . Hết ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI THỬ 02 Câu Ý Nội dung Điể m I 1 y = x 3 + 3x 2 + mx + 1 (C m ) 1. m = 3 : y = x 3 + 3x 2 + 3x + 1 (C 3 ) + TXĐ: D = R + Giới hạn: lim , lim x x y y →−∞ →+∞ = −∞ = +∞ + y’ = 3x 2 + 6x + 3 = 3(x 2 + 2x + 1) = 3(x + 1) 2 ≥ 0; ∀x * Bảng biến thiên: + y” = 6x + 6 = 6(x + 1) y” = 0 ⇔ x = –1 tâm đối xứng I(-1;0) * Đồ thò (C 3 ): 1đ 2 Phương trình hoành độ giao điểm của (C m ) và đường thẳng y = 1 là: x 3 + 3x 2 + mx + 1 = 1 ⇔ x(x 2 + 3x + m) = 0 ⇔ = + + = 2 x 0 x 3x m 0 (2) * (C m ) cắt đường thẳng y = 1 tại C(0;1), D, E phân biệt: ⇔ Phương trình (2) có 2 nghiệm x D , x E ≠ 0.⇔ ≠ ∆ = − > ⇔ < + × + ≠ 2 m 0 9 4m 0 4 m 0 3 0 m 0 9 Lúc đó tiếp tuyến tại D, E có hệ số góc lần lượt là: k D =y’(x D )= + + = − + 2 D D D 3x 6x m (3x 2m); k E = y’(x E ) = + + = − + 2 E E E 3x 6x m (3x 2m ). Các tiếp tuyến tại D, E vuông góc khi và chỉ khi: k D k E = –1. ⇔ (3x D + 2m)(3x E + 2m) = 9x D x E +6m(x D + x E ) + 4m 2 = –1 ⇔ 9m + 6m × (–3) + 4m 2 = –1; (vì x D + x E = –3; x D x E = m theo đònh lý Vi- ét). ⇔ 4m 2 – 9m + 1 = 0 ⇔ m = ( ) m 1 9 65 8 ĐS: m = ( ) ( ) − = m 1 1 9 65 hay m 9 65 8 8 0,5 0,5 II 1 ĐK: sin3x ≠ 0. Khi đó pt cos3x cos2 sin 2 2 cos5 0 cos 2 cos3 sin 2 sin 3 2 sin3 cos5 0 sin 3 2 2 cos5 (1 2 sin 3 ) 0 ; ; ( ) 10 2 12 3 4 3 x x x x x x x x x x k k k x x x x x k Z π π π π π π ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = + = + = + ∈ 0,5 0,5 2 Đặt: 2 2 2 2 2 1 0 3 2 0 2 2 3 0 2 0 u x v x x p x x q x x = − ≥ = − − ≥ = + + ≥ = − + ≥ Điều kiện: 2 2 2 1 0 3 2 0 x x x − ≥ − − ≥ (*) 0,5 A S C D B H' O N K H I Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định. Hết . sau: sin( 2 π + 2x)cot3x + sin( π + 2x) – 2 cos5x = 0 . 2. Giải phương trình 2 2 2 2 2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − + . Câu III (1 điểm) Tính tích phân: I = ( ) 1 2 0 4 d 4. − = ⇔ = + = + = + ∈ 0,5 0,5 2 Đặt: 2 2 2 2 2 1 0 3 2 0 2 2 3 0 2 0 u x v x x p x x q x x = − ≥ = − − ≥ = + + ≥ = − + ≥ Điều kiện: 2 2 2 1 0 3 2 0 x x x − ≥ − − ≥ . 8 0,5 0,5 II 1 ĐK: sin3x ≠ 0. Khi đó pt cos3x cos2 sin 2 2 cos5 0 cos 2 cos3 sin 2 sin 3 2 sin3 cos5 0 sin 3 2 2 cos5 (1 2 sin 3 ) 0 ; ; ( ) 10 2 12 3 4 3 x x x x x x x x x x k k k x x x x x k Z π