Đề và hướng dẫn chấm: Chuyên Nga-Pháp - Lam sơn

Đề thi vào lớp chuyên Nga - Pháp Trờng Lam sơn - Năm học :2000-2001 Bài 1 : 2 điểm Cho 2 số : x 1 = 2 12 + , x 2 = 2 12 a, Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là x 1 và x 2. b,Tính : x 3 1 +x 3 2 . Bài 2 : 2điểm : Xét biểu thức : A = y 2 - 5xy +6x 2 a, Phân tích A thành nhân tử . b, Tìm các cặp số (x;y) thoả mãn điều kiện : x- y +1 = 0 và A = 0 Bài 3 : 2điểm : Cho a,b c là 3 số dơng và bca 211 =+ . Chứng minh BĐT : 4 22 + + + bc bc ba ba Bài 4: 2.5điểm :Giải hệ phơng trình : x 3 +y 3 =1 x 5 +y 5 = x 2 +y 2 Bài 5 : 2.5điểm : Cho góc xOy và một đờng tròn tiếp xúc với 2 cạnh của góc đó tại Avà B .Qua A kẻ đờng thẳng song song với OB cắt đờng tròn tại điểm C . Gọi K là trung điểm của đoạn OB . Đ- ờng thẳng AK cắt đờng tròn tại điểm E. a,Chứng minh:ba điểm O , E , C thẳng hàng. b, Đờng thẳng AB cắt OC tại điểm D. Chứng minh : DC DE OC OE = Hớng dẫn chấm Toán (Chuyên Nga -Pháp ) 2000-2001 Bài 1: 2điểm : Câu a: 1 điểm : Ta có: x 1 x 2 = 4 1 ; x 1 +x 2 = 2 (0.25đ) Vậy pt bậc 2 có 2 nghiệm là 2 số đã cho là : x 2 - 2 x + 4 1 =0 4x 2 - 4 2 x +1 = 0 . (0.75đ) Câu b :1điểm : Ta có : x 3 1 + x 3 2 = (x 1 +x 2 )[(x 1 +x 2 ) 2 - 3x 1 x 2 ] (0.5đ) = 4 1 22 = 4 27 ( 0.5đ) Bài 2: 2điểm : Câu a : 1điểm: Ta có : A =y 2 -2xy - 3xy +6x 2 = y(y -2x) - 3x(y -2x) = (y -2x)(y - 3x) (1đ) Câu b : 1điểm : Ta có A = 0 y-2x =0 y - 3x = 0 (0.25đ) Do đó để thoả mãn đk bài toán ta phải có 2 hệ pt sau : y - 2x = 0 y - 3x = 0 x-y + 1 = 0 (1) x - y + 1 = 0 (2) (0.25đ) Hệ (1) có nghiệm x=1 ; y = 2 (0.25đ) Hệ (2) có nghiệm x= 2 1 ; y = 2 3 (0.25đ) Bài 3: 2điểm : Ta có : bca 211 =+ b = ca ac + 2 (0.5đ) Khi đó BĐT cần chứng minh trở thành : 4 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + ca ac c ca ac c ca ac a ca ac a 4 2 3 2 3 2 2 2 2 + + + c acc a aca 1+ 4 2 3 + c a a c 2+ c a a c (1đ) BĐT cuối cùng suy ra đpcm. (0.5đ) Bài 4: 1.5điểm: Hệ đã cho tơng đơng với : x 3 + y 3 = 1 x 5 + y 5 =(x 2 + y 2 )(x 3 +y 3 ) x 3 +y 3 = 1 (1) x 2 y 2 (x+y0 =0 (2) (0.5đ) Xảy ra các trờng hợp sau : + Nếu x = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc y = 1 (0.25đ) +Nếu y = 0 thì kết hợp với (1) ta đợc x = 1 (0.25đ) +Nếu x + y = 0 x = - y x 3 +y 3 = 0 nên (1) không thoả mãn (0.25đ) Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm là :(x= 0;y = 1) ;(x= 1;y= 0) (0.25đ) Bài 5: 2.5điểm : Câu a: 1.5điểm : Ta cã ∆EBK ~∆KAB (v× cã gãc AKB chung gãc EBK = gãc KAB (cïng ch¾n cung BE ).Suy ra: OK KA KF OK KAKEOKKAKEKB KB KA KE KB =⇒=⇒=⇒= 22 mµ gãc OKA chung ⇒ ∆EKB ~∆KAB ⇒ gãc EOK =gãc OAK (1) (0.5®) ta l¹i cã : gãc OAK = gãc ACE (cïng ch¾n cung AE)(2) Tõ (1) vµ (2)suy ra : Gãc EOK =gãc ACE (0.5®) XÐt ∆OEK vµ ∆AEC Ta suy ra :gãc OEK = gãc AEC A C suy ra O,E,Ccòng th¼ng hµng(0.5®) C©u b: 1®iÓm: Qua E kÎ ®êng th¼ng // víi OB I E H c¾t AO t¹i I,c¾tAB t¹i H O B Ta cã : EI =EH (1) (0.25®) MÆt kh¸c )3();2( AC EH DC DE AC IE OC OE == (0.5®) Tõ (1) ,(2)vµ (3)ta cã : DC DE OC OE = (®pcm) . =y 2 -2 xy - 3xy +6x 2 = y(y -2 x) - 3x(y -2 x) = (y -2 x)(y - 3x) (1đ) Câu b : 1điểm : Ta có A = 0 y-2x =0 y - 3x = 0 (0.25đ) Do đó để thoả mãn đk bài toán ta phải có 2 hệ pt sau : y - 2x. Đề thi vào lớp chuyên Nga - Pháp Trờng Lam sơn - Năm học :200 0-2 001 Bài 1 : 2 điểm Cho 2 số : x 1 = 2 12 + , x 2 = 2 12 a, Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là x 1 và x 2. . DC DE OC OE = Hớng dẫn chấm Toán (Chuyên Nga -Pháp ) 200 0-2 001 Bài 1: 2điểm : Câu a: 1 điểm : Ta có: x 1 x 2 = 4 1 ; x 1 +x 2 = 2 (0.25đ) Vậy pt bậc 2 có 2 nghiệm là 2 số đã cho là : x 2 - 2 x + 4 1 =0