Đề thi vào lớp chuyên (vòng 1) - năm 2000 -2001 Trờng Lam Sơn Bài 1 (2điểm): Xét biểu thức : A= 1 - + x x x x 21 1 14 5 21 2 : 144 1 ++ xx x a, Rút gọn A và nêu các điêù kiện phải có của x. b, Tìm giá trị của x để A = - 2 1 Bài 2 : (2 điểm ) : Giải hệ phơng trình : x 1 - y 1 - z 1 =1 y 1 - z 1 - x 1 =2 z 1 - x 1 - y 1 =3 Bài 3: (1.5điểm) Tìm các hệ số p; q của phơng trình x 2 +px+q =0 sao cho nó có các nghiệm x 1 ;x 2 thoả mãn : x 1 - x 2 =5 x 3 1 - x 3 2 =35 Bài 4: (1.5điểm): Cho a,b,c,d là các số thực dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : . 2222 ad d dc c cb b ba a + + + + + + + > 2 1 . Khi nào dấu = xảy ra . Bài 5 : (3 diểm ): Cho một nửa đờng tròn (o) đờng kính AB ; một điểm M nằm trên cung AB và một điểm C nằm trên đờng kính AB sao cho CA< CB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M ng- ời ta kẻ các tia Ax ,By vuông góc với AB.Đờng thẳng đi qua M vuông góc với MC cắt Ax ,By theo thứ tự tại P và Q.Gọi R là giao điểm của AM với CP ; S là giao điểm của BM với CQ. a, Chứng minh các tứ giác APMC ;BQMC nội tiếp đợc . b, Chứng minh RS // AB c,Tứ giác ARSC có thể là hình bình hành đợc không ? Tại sao ? Hớng dẫn chấm:2000-2001 Bài 1 (2điểm ) : Câu a: 1điểm Điều kiện : x> 0 4x-1 0 x 1, 4 1 ,0 xx 0.25đ x-1 0 Ta có : A =1- + x x x x 21 1 14 5 21 2 : 144 1 ++ xx x = 1- 1 )2( . )12)(21( )21(5)12(2 2 + + ++ x xx xx xxx = 1- 1 )21( . )12)(21( 1 2 + + x x xx x = 1- 12 21 + x x = x21 2 0.75đ Câu b : 1 điểm : A= - 2 1 x21 2 = - 2 1 4= 2 x -1 x= 4 25 1đ Bài 2 : 2điểm Điều kiện : x,y z 0 0.25đ Cộng các vế của các pt ta có : x 1 + y 1 + z 1 = - 6 (*) 0.25đ Kết hợp (*) với pt thứ nhất ta có: x 2 = -5 x= - 5 2 0.5đ Tơng tự kết hợp (*) với pt (2) ta có: y=- 2 1 ; z=- 3 2 0.75đ Vậy hệ pt đã cho có nghiệm (x,y,z)= (- 5 2 ,- 2 1 ,- 3 2 ). 0.25đ Bài 3:1.5điểm : Ta phải có :p 2 - 4q 0 (1) 0.25đ Và : x 1 -x 2 =5 (x 1 +x 2 ) 2 - 4x 1 x 2 =25 x 3 1 - x 3 2 =35 (x 1 -x 2 )[(x 1 +x 2 ) 2 -x 1 x 2 ] =35 025đ Do đó theo định lý Vi ét ta có : P 2 -4p =25 p 2 -4q =25 5(p 2 -q) = 35 p 2 -q = 7 0.5đ Giải hệ này ta đợc :p=1 ;q=-6 ; hoặc p= -1 ,q =-6 thoả mãn điều kiện (1) ,0.5đ Bài 4: 1.5điểm : Ta chứng minh với mọi x,y dơng ta có bất đẳng thức : (*) 4 3 2 yx yx x + Dấu =xảy ra khi : x=y Thật vậy (*) tơng đơng với : 4x 2 3x 2 +3xy-xy-y 2 x 2 +y 2 2xy đúng đpcm. 0.5đ áp dụng BĐT(*)cho các số hạng của vế trái ta có: . 2222 ad d dc c cb b ba a + + + + + + + [ ] 2 1 24 )3()3()3()3( = +++ = +++ dcbaaddccbba 0.5đ Dấu = xảy ra khi :a = b = c= d = 4 1 0.5đ Bài 5 :3điểm : Câu a : 1điểm : P M R Q A B Ta có : PC= P M C =1v Tứ giác APMC nội tiếp đợc vì có tổng 2 góc đối bằng 2 v. (0.5đ) Ta có:góc QBM = góc QMC =1v Tứ giác BQMC nội tiếp đợc vì có tổng 2 góc đối bằng 2v. (0.5đ) Câu b :1điểm : Ta chứng minh tứ giácRMSCnội tiếp + Ta có trong đờng tròn ngoại tiếp tứ giác PACM có :PCA = PMA (cùng chắn 1cung ) +Trong đờng tròn ngoại tiếp tứ giác QBMC có QCB = QMB (cùng chắn 1cung) +Do đó ta có :RCS =180 0 - (PCA +QCB)=180 0 - (PMA +QMB )=AMB =1v Từ đó ta có : RCS +RMS = RCS +AMB =1v+1v=2v,suy ra tứ giácRMSC nội tiếp đợc (0.5 đ) +Trong đờng tròn (RMSC)có : RMC = RSC (cùng chắn 1 cung ) (1) +Trong đờng tròn (QMCB) có : QCB = QMB (cùng chắn 1 cung ) (2) Ta có : RMC = QMB (cùng phụ với CMB) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra RSC = SCB . Hai góc này ở vị trí so le nên RS//AB (0.5đ) Câuc : 1 điểm : Giả sử ARSC là hình bình hành , ta chứng minh RC//MB .Thật vậy do AR//SC nên ta có : MAC = SCB (so le) mà RAC +SCB =1v . MBC +MAC =1v ,nên suy ra : MBC =RAC ,suy ra : RC//MB (0.5đ) áp dụng định lý Ta lét với RS//AB ; RA//SC ; RC//MB ta có : 1= + + ==== CBCA ACBC CB AC RM AR SM BS CA BC Hay AC =CB . Trái với giả thiết .Vậy ARSC không thể là hình bình hành .(0.5đ) . Đề thi vào lớp chuyên (vòng 1) - năm 2000 -2001 Trờng Lam Sơn Bài 1 (2điểm): Xét biểu thức : A= 1 - + x x x x. . b, Chứng minh RS // AB c,Tứ giác ARSC có thể là hình bình hành đợc không ? Tại sao ? Hớng dẫn chấm:2000-2001 Bài 1 (2điểm ) : Câu a: 1điểm Điều kiện : x> 0 4x-1 0 x 1, 4 1 ,0 xx . RA//SC ; RC//MB ta có : 1= + + ==== CBCA ACBC CB AC RM AR SM BS CA BC Hay AC =CB . Trái với giả thi t .Vậy ARSC không thể là hình bình hành .(0.5đ)