1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Chuyên đề 2 BDHSG toán 8

11 368 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 11
Dung lượng 449,5 KB

Nội dung

Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số Chuyên đề 2 Biến đổi biểu thức đại số a biển đổi biểu thức nguyên I. Một số hằng đẳng thức cơ bản 1. (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 ; (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca ; 2 1 2 n (a a a )+ + + = = + + + + + + + + + + + + 2 2 2 1 2 n 1 2 1 3 1 n 2 3 2 n n 1 n a a a 2(a a a a a a a a a a a a ) ; 2. (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 = a 3 b 3 3ab(a b); (a b) 4 = a 4 4a 3 b + 6a 2 b 2 4ab 3 + b 4 ; 3. a 2 b 2 = (a b)(a + b) ; a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) ; a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b + a n 3 b 2 + + ab n 2 + b n 1 ) ; 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) a 5 + b 5 = (a + b)(a 4 a 3 b + a 2 b 2 ab 3 + b 5 ) ; a 2k + 1 + b 2k + 1 = (a + b)(a 2k a 2k 1 b + a 2k 2 b 2 + a 2 b 2k 2 ab 2k 1 + b 2k ) ; II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b) n Tam giác Pascal Đỉnh 1 Dòng 1 (n = 1) 1 1 Dòng 2 (n = 2) 1 2 1 Dòng 3 (n = 3) 1 3 3 1 Dòng 4 (n = 4) 1 4 6 4 1 Dòng 5 (n = 5) 1 5 10 10 5 1 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm các số 1 ; dòng k + 1 đợc thành lập từ dòng k (k 1), chẳng hạn ở dòng 2 ta có 2 = 1 + 1, ở dòng 3 ta có 3 = 2 + 1, 3 = 1 + 2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, Khai triển (x + y) n thành tổng thì các hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên. Ngời ta gọi bảng trên là tam giác Pascal, nó thờng đợc sử dụng khi n không quá lớn. Chẳng hạn, với n = 4 thì : (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 và với n = 5 thì : (a + b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 10ab 4 + b 5 II. Các ví dụ Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau : A = (x + y + z) 3 (x + y z) 3 (y + z x) 3 (z + x y) 3 . Lời giải A = [(x + y) + z] 3 [(x + y) z] 3 [z (x y)] 3 [z + (x y)] 3 = [(x + y) 3 + 3(x + y) 2 z + 3(x + y)z 2 + z 3 ] [(x + y) 3 3(x + y) 2 z + 3(x + y)z 2 z 3 ] [z 3 3z 2 (x y) + 3z(x y) 2 (x y) 3 ] [z 3 + 3z 2 (x y) + 3z(x y) 2 + (x y) 3 ] = 6(x + y) 2 z 6z(x y) 2 = 24xyz Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a 2 4b). Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x 2 + y 2 ; b) x 3 + y 3 ; c) x 4 + y 4 ; d) x 5 + y 5 Lời giải a) x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = a 2 2b b) x 3 + y 3 = (x + y) 3 3xy(x + y) = a 3 3ab c) x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 ) 2 2x 2 y 2 = (a 2 2b) 2 2b 2 = a 4 4a 2 b + 2b 2 d) (x 2 + y 2 )(x 3 + y 3 ) = x 5 + x 2 y 3 + x 3 y 2 + y 5 = (x 5 + y 5 ) + x 2 y 2 (x + y) Hay : (a 2 2b)(a 3 3ab) = (x 5 + y 5 ) + ab 2 x 5 + y 5 = a 5 5a 3 b + 5ab 2 Chú ý : a 6 + b 6 = (a 2 ) 3 + (b 2 ) 3 = (a 3 ) 2 + (b 3 ) 2 a 7 + b 7 = (a 3 + b 3 )(a 4 + b 4 ) a 3 b 3 (a + b) = (a 2 + b 2 )(a 5 + b 5 ) a 2 b 2 (a 3 + b 3 ) Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức : a) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) ; 1 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Lời giải a) a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b) 3 + c 3 3abc 3a 2 b 3ab 2 = (a + b + c)[(a + b) 2 (a + b)c + c 2 ] 3ab(a + b + c) = (a + b + c) [(a + b) 2 (a + b)c + c 2 3ab] = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) b) (a + b + c) 3 a 3 b 3 c 3 = [(a + b + c) 3 a 3 ] (b 3 + c 3 ) = (b + c)[(a + b + c) 2 + (a + b + c)a + a 2 ] (b + c)(b 2 bc + c 2 ) = (b + c)(3a 2 + 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)] = 3(a + b)(b + c)(c + a) Ví dụ 4. Phân tích biểu thức sau thành nhân tử : A = x 3 3(a 2 + b 2 )x + 2(a 3 + b 3 ) Lời giải Đặt S = a + b và P = ab, thì a 2 + b 2 = 2 S 2P- ; a 3 + b 3 = 3 S 3SP- . Vì vậy : A = x 3 3( 2 S 2P- )x + 2( 3 S 3SP- ) = 3 3 2 3 (x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + - = 2 2 2 (x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + - = 2 2 (x S)(x Sx 2S 6P)- + - + = (x a b)[x 2 + (a + b)x 2(a + b) 2 + 6ab] = (x a b)[x 2 + (a + b)x 2(a 2 Ví dụ 5. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) Lời giải Vì x + y + z = 0 nên x + y = z (x + y) 3 = z 3 Hay x 3 + y 3 + 3xy(x + y) = z 3 3xyz = x 3 + y 3 + z 3 Do đó : 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) = (x 3 + y 3 + z 3 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = x 5 + y 5 + z 5 + x 3 (y 2 + z 2 ) + y 3 (z 2 + x 2 ) + z 3 (x 2 + y 2 ) Mà x 2 + y 2 = (x + y) 2 2xy = z 2 2xy (vì x + y = z). Tơng tự : y 2 + z 2 = x 2 2yz ; z 2 + x 2 = y 2 2zx. Vì vậy : 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) = x 5 + y 5 + z 5 + x 3 (x 2 2yz) + y 3 (y 2 2zx) + z 3 (z 3 2xy) = 2(x 5 + y 5 + z 5 ) 2xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) Suy ra : 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) (đpcm) Bài tập 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 3 + 4x 2 29x + 24 ; b) x 4 + 6x 3 + 7x 2 6x + 1 ; c) (x 2 x + 2) 2 + (x 2) 2 ; d) 6x 5 + 15x 4 + 20x 3 + 15x 2 + 6x + 1 ; e) x 6 + 3x 5 + 4x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 3x + 1. 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) x 8 + x 4 + 1; b) x 10 + x 5 + 1 ; c) x 12 + 1 ; 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (x + y + z) 3 x 3 y 3 z 3 ; b) (x + y + z) 5 x 5 y 5 z 5 . 4. Cho a + b + c = 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 14. Tính giá trị của biểu thức : A = a 4 + b 4 + c 4 . 5. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức : B = (x 1) 2007 + y 2008 + (z + 1) 2009 . 6. Cho a 2 b 2 = 4c 2 . Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a 5b) 2 . 7. Chứng minh rằng nếu (x y) 2 + (y z) 2 + (z x) 2 = = (x + y 2z) 2 + (y + z 2x) 2 + (z + x 2y) 2 thì x = y = z. 8. a) Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax + by) 2 và x, y khác 0 thì a b x y = . 2 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số b) Chứng minh rằng nếu (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = (ax + by + cz) 2 và x, y, z khác 0 thì a b c x y z = = . 9. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : a) 5(x 3 + y 3 + z 3 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = 6(x 5 + y 5 + z 5 ) ; b) x 7 + y 7 + z 7 = 7xyz(x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ) ; c) 10(x 7 + y 7 + z 7 ) = 7(x 2 + y 2 + z 2 )(x 5 + y 5 + z 5 ). 10. Chứng minh các hằng đằng thức sau : a) (a + b + c) 2 + a 2 + b 2 + c 2 = (a + b) 2 + (b + c) 2 + (c + a) 2 ; b) x 4 + y 4 + (x + y) 4 = 2(x 2 + xy + y 2 ) 2 . 11. Cho các số a, b, c, d thỏa mãn a 2 + b 2 + (a + b) 2 = c 2 + d 2 + (c + d) 2 . Chứng minh rằng : a 4 + b 4 + (a + b) 4 = c 4 + d 4 + (c + d) 4 12. Cho a 2 + b 2 + c 2 = a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a 2 + b 9 + c 1945 . 13. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau : a 3 3a 2 + 5a 17 = 0 và b 3 3b 2 + 5b + 11 = 0. Hãy tính : D = a + b. 14. Cho a 3 3ab 2 = 19 và b 3 3a 2 b = 98. Hãy tính : E = a 2 + b 2 . 15. Cho x + y = a + b và x 2 + y 2 = a 2 + b 2 . Tính giá trị của các biểu thức sau : a) x 3 + y 3 ; b) x 4 + y 4 ; c) x 5 + y 5 ; d) x 6 + y 6 ; e) x 7 + y 7 ; f) x 8 + y 8 ; g) x 2008 + y 2008 . B biển đổi phân thức hữu tỉ Ví dụ 5. a) Chứng minh rằng phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản nN ; b) Cho phân số 2 n 4 A n 5 + = + (nN). Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân số A cha tối giản. Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó. Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) 5(3n + 1) d hay 1 d d = 1. Vậy phân số 3n 1 5n 2 + + là phân số tối giản. b) Ta có 29 A n 5 n 5 = - + + . Để A cha tối giản thì phân số 29 n 5+ phải cha tối giản. Suy ra n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29. Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29 n + 5 = 29k (k N) hay n = 29k 5. Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009 1 k 69 hay k {1; 2;; 69} Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài. Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690. Ví dụ 6. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Lời giải 3 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số Ta có : 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + 1 1 1 1 0 a b c a b c + + - = + + a b a b 0 ab c(a b c) + + + = + + c(a b c) ab (a b). 0 abc(a b c) + + + + = + + (a + b)(b + c)(c + a) = 0 a b 0 b c 0 c a 0 ộ + = ờ ờ + = ờ ờ + = ở a b b c c a ộ =- ờ ờ =- ờ ờ =- ở đpcm. Từ đó suy ra : 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 1 1 1 a b c a ( c) c a + + = + + = - 2009 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 a b c a ( c) c a = = + + + - + 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Ví dụ 7. Đơn giản biểu thức : 3 3 3 4 2 2 5 1 1 1 3 1 1 6 1 1 A (a b) a b (a b) a b (a b) a b ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = + + + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ + + + . Lời giải Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a 2 + b 2 = (a + b) 2 2ab = 2 S 2P- a 3 + b 3 = (a + b) 3 3ab(a + b) = 3 S 3SP- . Do đó : 1 1 a b S ; a b ab P + + = = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 a b S 2P ; a b a b P + - + = = 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 a b S 3SP . a b a b P + - + = = Ta có : A = 3 2 3 3 4 2 5 1 S 3SP 3 S 2P 6 S . . . S P S P S P - - + + = 2 2 4 2 2 2 2 4 2 3 4 2 4 4 3 4 3 S 3P 3(S 2P) 6 (S 3S P) (3S P 6P ) 6P S S P S P S P S P S P - - - + - + + + = = Hay A = 3 3 3 1 1 . P a b = Ví dụ 8. Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của x : (x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a) S(x) (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) - - - - - - = + + - - - - - - . Lời giải Cách 1 2 2 2 x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca S(x) (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) - + + - + + - + + = + + - - - - - - = Ax 2 Bx + C 4 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số với : 1 1 1 A (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + - - - - - - ; a b b c c a B (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) + + + = + + - - - - - - ; ab bc ca C (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + - - - - - - Ta có : b a c b a c A 0 (a b)(b c)(c a) - + - + - = = - - - ; (a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c) B (a b)(b c)(c a) + - + + - + + - = - - - 2 2 2 2 2 2 b a c a a c 0 (a b)(b c)(c a) - + - + - = = - - - ; ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c) C (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) - + - + - - + - + - + - = = - - - - - - (a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a) 1 (a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a) - - + - - - - - = = = - - - - - - . Vậy S(x) = 1x (đpcm). Cách 2 Đặt P(x) = S(x) 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2. Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm. Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x). Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x. Suy ra S(x) = 1 x đpcm. Ví dụ 9. Cho 1 x 3 x + = . Tính giá trị của các biểu thức sau : a) 2 2 1 A x x = + ; b) 3 3 1 B x x = + ; c) 4 4 1 C x x = + ; d) 5 5 1 D x x = + . Lời giải a) 2 2 2 1 1 A x x 2 9 2 7 x x ổ ử ữ ỗ = + = + - = - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ; b) 3 3 3 1 1 1 B x x 3 x 27 9 18 x x x ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + = + - + = - = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ; c) 2 4 2 4 2 1 1 C x x 2 49 2 47 x x ổ ử ữ ỗ = + = + - = - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ; d) 2 3 5 2 3 5 1 1 1 1 A.B x x x x D 3 x x x x ổ ửổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + + = + + + = + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứố ứ D = 7.18 3 = 123. Ví dụ 10. Xác định các số a, b, c sao cho : 2 2 2 ax b c (x 1)(x 1) x 1 x 1 + = + + - + - . Lời giải 5 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số Ta có : 2 2 2 2 2 ax b c (ax b)(x 1) c(x 1) (a c)x (b a)x (c b) x 1 x 1 (x 1)(x 1) (x 1)(x 1) + + - + + + + - + - + = = + - + - + - Đồng nhất phân thức trên với phân thức 2 2 (x 1)(x 1)+ - , ta đợc : a c 0 a 1 b a 0 b 1 c b 2 c 1 ỡ ỡ + = =- ù ù ù ù ù ù ù ù - = =- ớ ớ ù ù ù ù - = = ù ù ù ù ợ ợ . Vậy 2 2 2 x 1 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 - - = + + - + - . Bài tập 16. Cho phân thức 3 2 3 2 n 2n 1 P n 2n 2n 1 + - = + + + . a) Rút gọn P ; b) Chứng minh rằng nếu n là số nguyên thì giá trị của phân thức tìm đợc trong câu a) tại n luôn là một phân số tối giản. 17. a) Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n : 12n 1 ; 30n 2 + + 3 4 2 n 2n ; n 3n 1 + + + 2 2n 1 2n 1 + - . b) Chứng minh rằng phân số 7 2 8 n n 1 n n 1 + + + + không tối giản với mọi số nguyên dơng n. c) Tính tổng các số tự nhiên n nhỏ hơn 100 sao cho 2 n 5 n 1 + + là phân số cha tối giản. 18. Tính các tổng sau : a) 2 2 2 3 5 2n 1 A (1.2) (2.3) [n(n 1)] + = + + + + ; b) n 2 4 2 1 1 1 1 B 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + + + + + ; c) 1 1 1 1 C 1.4 4.7 7.10 (3n 1)(3n 4) = + + + + + ; d) 1 1 1 D 1.3 2.4 n.(n 2) = + + + + ; e) 1 1 1 1 E 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n 1)n(n 1) = + + + + - + ; f) 2 n 1.2! 2.3! n.(n 1)! F 2 2 2 + = + + + (k! = 1.2.3k) 19. Tính các tích sau : 6 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số a) 2 2 2 2 1 1 1 1 G 1 1 1 1 2 3 4 n ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ = - - - - ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ ; b) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 5 (2n 1) H . . . . 2 1 4 1 6 1 (2n) 1 - = - - - - ; c) 1 1 1 I 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 n ổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = - - - ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứ ố ứ + + + + + + ; d) 1 1 1 1 K 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 n(n 2) ổ ử ổ ửổ ửổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ = + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ố ứố ứố ứ ố + ứ . 20. Tính : 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 3 5 2007 4 4 4 4 L 1 1 1 1 2 4 6 2008 4 4 4 4 ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ = ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ . 21. Tính 1999 1999 1999 1999 1 1 1 1 1 2 3 1000 M 1000 1000 1000 1000 1 1 1 1 1 2 3 1999 ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ = ổ ửổ ửổ ử ổ ử ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ + + + + ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ ố ứ 22. Thực hiện các phép tính : a) 1 1 1 A (c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a) = + + - - - - - - ; b) 1 1 1 B a(a b)(a c) b(b a)(b c) c(c a)(c b) = + + - - - - - - ; c) 2 2 2 a b c C (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = + + - - - - - - ; d) 3 3 3 a b c C (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) = + + - - - - - - 23. Rút gọn : 2 2 2 2 2 2 (a b c )(a b c) (bc ca ab) A (a b c) (ab bc ca) + + + + + + + = + + - + + . 24. Rút gọn : 3 3 4 2 2 4 3 3 4 2 2 4 (a 2b) (a 2b) 3a 7a b 3b B : (2a b) (2a b) 4a 7a b 3b + - - + + = + - - + + . 25. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức sau với x = 1,76 và y = 0,12 : 2 2 4 2 2 2 2 2 2 x y x y y 2 4x 4x y y 4 x 1 : : 2y x x xy 2y x y xy x 2x y 2 ộ ự ổ ử - + + - + + - + ữ ỗ ờ ỳ ữ - ỗ ữ ờ ỳ ỗ ữ ỗ - - - + + + + + ố ứ ở ỷ . 7 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số (Trích đề thi HSG toàn quốc 1963) 26. Rút gọn : 3 2 2 2 2 2 3 a 1 2(a 1) 4(a 1) a 36a 144a 36a 144 a 2a 1 a 4 a a 2 a 3a 2 a 27 ộ ự - - + - - + ờ ỳ + - + ờ ỳ - + - + - - + + ở ỷ . 27. Thực hiện các phép tính : a) 2 2 2 x yz y zx z xy y z z x x y 1 1 1 x y z - - - + + + + + + + + ; b) 2 2 2 a(a b) a(a c) b(b c) b(b a) c(c a) c(c b) a b a c b c b a c a c b (b c) (c a) (a b) 1 1 1 (a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) + + + + + + + + + - - - - - - + + - - - + + + - - - - - - ; c) 3 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 a b 2c b c 2a c a 2b (a b) (c a)(c b) (b c) (a b)(a c) (c a) (b c)(b a) a b a ab b b c b bc c c a c ca a + - + - + - + + - - - - - - - - - + + + - + + - + + - + + . 28. a) Biết a 2b = 5, hãy tính giá trị của biểu thức : 3a 2b 3b a P 2a 5 b 5 - - = + + - ; b) Biết 2a b = 7, hãy tính giá trị của biểu thức : 5a b 3b 3a Q 3a 7 2b 7 - - = - + - ; c) Biết 10a 2 3b 2 + 5ab = 0 và 9a 2 b 2 0, hãy tính : 2a b 5b a R 3a b 3a b - - = + - + . 29. Cho a + b + c = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau : a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 A a b c b c a c a b = + + + - + - + - ; b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c B a b c b c a c a b = + + - - - - - - ; c) a b b c c a c a b C c a b a b b c c a ổ ửổ ử - - - ữ ữ ỗ ỗ = + + + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứố ứ - - - . 30. Cho 3 số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức : a b c 1 1 1 b c a ổ ửổ ửổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ . 31. Cho 3 số a, b, c khác nhau đôi một thỏa mãn điều kiện a b b c c a c a b + + + = = . Tính giá trị của biểu thức : b c a 1 1 1 a b c ổ ửổ ửổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ + + + ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứố ứố ứ . 32. a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng : 8 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c ổ ử ữ ỗ + + = + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . b) Tính D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 2007 2008 2009 = + + + + + + + + + + + + 33. Đơn giản các biểu thức sau : a) 3 4 4 4 3 3 5 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A (a b) a b (a b) a b (a b) a b ổ ử ổ ử ổ ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ = - + - + - ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ố ứ + + + . b) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a(2b a ) b(2a b ) B a a b a b ộ ự ộ ự - - ờ ỳ ờ ỳ = + - ờ ỳ ờ ỳ + + ở ỷ ở ỷ . 34. a) Chứng minh rằng nếu abc = 1 thì 1 1 1 1 1 a ab 1 b bc 1 c ca + + = + + + + + + . b) Cho abcd = 1, hãy tính : a b c d 1 a ab abc 1 b bc bcd 1 c cd cda 1 d da dab + + + + + + + + + + + + + + + 35. Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2 a b c + + = và a + b + c = abc thì 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = . (Trích đề thi HSG toàn quốc 1970) 36. Cho x y z 0 a b c + + = và a b c 2 x y z + + = . Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 2 2 a b c x y z + + . 37. Cho a b c a b c b c a c a b + + = + + . CMR tồn tại hai trong ba số a, b, c bằng nhau. 38. Rút gọn biểu thức : 2 2 2 2 2 2 (a b) (b c) (c a) a b b c c a (a b)(b c)(c a) - + - + - + + + - - - - - - . 39. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hệ thức : a b c b c a c a b 0. ab bc ca + - + - + - - - = Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0. 40. Rút gọn biểu thức : 2 2 2 1 1 1 1 1 1 B (ab bc ca) abc a b c a b c ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ = + + + + - + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ . 41. Cho a, b, c khác nhau đôi một và 1 1 1 0. a b c + + = Rút gọn các biểu thức : a) 2 2 2 1 1 1 M a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + ; b) 2 2 2 bc ca ab N a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + ; 9 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số c) 2 2 2 2 2 2 a b c P a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + 42. Xác định a, b, c sao cho : a) 2 2 1 a bx c x(x 1) x x 1 + = + + + ; b) 2 1 a b x 4 x 2 x 2 = + - - + ; c) 2 2 1 a b c (x 1) (x 2) x 1 (x 1) x 2 = + + + + + + + . 43. Rút gọn biểu thức : 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 7 1 11 1 2007 1 A . . . 5 1 9 1 13 1 2009 1 - - - - = - - - - 44. Rút gọn biểu thức : n 1 n 2 n 3 2 1 1 1 1 : 1 2 3 n 2 n 1 2 3 n ổ ử ổ ử - - - ữ ữ ỗ ỗ + + + + + + + + ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ - - . 45. Rút gọn biểu thức : 1 1 1 1 A 1(2n 1) 3(2n 3) (2n 3).3 (2n 1).1 1 1 1 B 1 3 5 2n 1 + + + + - - - - = + + + + - . 46. Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn hai điều kiện abc = 1 và 1 1 1 a b c a b c + + = + + . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1. 47. Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2008 và 1 1 1 1 x y z 2008 + + = . Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 2008. 48. Giả sử a, b, c là ba số khác nhau thỏa mãn a b c 0 b c c a a b + + = - - - . Chứng minh rằng : 2 2 2 a b c 0 (b c) (c a) (a b) + + = - - - . 49. Cho a b c 1 b c c a a b + + = + + + . Chứng minh rằng 2 2 2 a b c 0 b c c a a b + + = + + + . 50. Cho a + b + c = 0, x + y + z = 0 và a b c 0 x y z + + = . Chứng minh rằng ax 2 + by 2 + cz 2 = 0. 51. Cho x 2 4x + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức A = x 5 + 5 1 x và B = x 7 + 7 1 x . 52. Cho 2 x 2008. x x 1 = - + Tính 2 4 2 x M x x 1 = + + và 2 4 2 x N x x 1 = - + . 53. Cho dãy số a 1 , a 2 , a 3 , sao cho : 1 2 1 a 1 a a 1 - = + ; 2 3 2 a 1 a a 1 - = + ; ; n 1 n n 1 a 1 a a 1 - - - = + . 10 [...].. .Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số a) Chứng minh rằng a1 = a5 b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 1 08 11 . : a) 2 2 2 1 1 1 M a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + ; b) 2 2 2 bc ca ab N a 2bc b 2ca c 2ab = + + + + + ; 9 Chuyên đề bồi dỡng Hsg môn toán 8 phần đại số c) 2 2 2 2 2 2 a b c P a 2bc b 2ca c 2ab =. ra : 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 1 1 1 1 1 1 1 a b c a ( c) c a + + = + + = - 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 1 1 1 a b c a ( c) c a = = + + + - + 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 20 09 1. ứ . b) Tính D 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 4 3 4 5 20 07 20 08 20 09 = + + + + + + + + + + + + 33. Đơn giản các biểu thức sau : a) 3 4 4 4 3 3 5 2 2 1 1 1 1 1 1 1

Ngày đăng: 06/07/2014, 22:00

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w