SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II, NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN - LỚP 12. (Thời gian làm bài 90 phút) PHẦN CHUNG (Dành cho tất cả các học sinh) Câu 1 (4 điểm). Tính các tích phân sau: a. ( ) 1 2 0 1x dx− ∫ b. 6 0 sin 2x dx π ∫ c. 1 0 x xe dx ∫ . d. ( ) 3 2 2 1 1x dx x − ∫ Câu 2 (2 điểm). a. Tìm phần thực, phần ảo của số phức 3 4 4 i z i − = − . b. Tìm nghiệm phức của phương trình ( ) 2 4 0i z− − = . Câu 3 (3 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0; 2), ( ) 2; 2;4B − − . a. Viết phương trình đường thẳng AB. b. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng AB sao cho góc giữa đường thẳng OM và đường thẳng AB bằng 45 0 . c. Viết phương trình mặt phẳng (P), chứa đường thẳng AB và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) bằng 2 . PHẦN RIÊNG (Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần: Phần A hoặc phần B). Phần A (Theo chương trình Cơ bản) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: lny x= và y = 1. Phần B (Theo chương trình Nâng cao) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 3 ln , , 0 3 3 x y x y y e e = = + = − − . SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT PHAN ĐĂNG LƯU ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II, NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN - LỚP 12. (Thời gian làm bài 90 phút) PHẦN CHUNG (Dành cho tất cả các học sinh) Câu 1 (4 điểm). Tính các tích phân sau: a. ( ) 1 2 0 1x dx− ∫ b. 6 0 sin 2x dx π ∫ c. 1 0 x xe dx ∫ . d. ( ) 3 2 2 1 1x dx x − ∫ Câu 2 (2 điểm). a. Tìm phần thực, phần ảo của số phức 3 4 4 i z i − = − . b. Tìm nghiệm phức của phương trình ( ) 2 4 0i z− − = . Câu 3 (3 điểm). Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0; 2), ( ) 2; 2;4B − − . a. Viết phương trình đường thẳng AB. b. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng AB sao cho góc giữa đường thẳng OM và đường thẳng AB bằng 45 0 . c. Viết phương trình mặt phẳng (P), chứa đường thẳng AB và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) bằng 2 . PHẦN RIÊNG (Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần: Phần A hoặc phần B). Phần A (Theo chương trình Cơ bản) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: lny x= và y = 1. Phần B (Theo chương trình Nâng cao) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: 3 ln , , 0 3 3 x y x y y e e = = + = − − . ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM Nội dung Điểm Câu 1 4.0 a. Tính I = ( ) 1 2 0 1x dx− ∫ 1.0 I = ( ) 1 2 0 1 ( 1)x d x− − ∫ = ( ) 1 3 0 1 3 x − ÷ ÷ 0. 5 Tính toán ta có kết quả I = 1 3 . 0.5 b. Tính J = 6 0 sin 2x dx π ∫ 1.0 J = 6 6 0 0 1 1 sin 2 2 cos2x 2 2 x d x π π = − ∫ 0.5 Tính toán ta có kết quả J = 1 4 . 0.5 c. Tính 1 0 x xe dx ∫ 1.0 1 1 1 0 0 0 x x x xe dx xe e dx= − ∫ ∫ 0.5 = e - 1 0 x e = 1 0.5 d. Tính K = ( ) 3 2 2 1 1x dx x − ∫ 1.0 K = 2 2 2 3 2 2 2 2 1 1 1 3 3 1 3 1 1 3 3 3ln 2 x x x x dx x dx x x x x x x − + − = − + − = − + + ÷ ÷ ∫ ∫ 0.5 Thay số vào ta có kết quả K = 3ln2 - 2 0.5 Câu 2. 2.0 a. Tìm phần thực, phần ảo của số phức 3 4 4 i z i − = − . 1.0 ( ) ( ) 3 4 4 3 4 16 13 4 17 17 i i i i z i − + − − = = = − 0.5 16 13 17 17 i= − . Vậy phần thực là 16 17 ; phần ảo là 13 17 − . 0.5 b. Tìm nghiệm phức của phương trình ( ) 2 4 0i z− − = . 1.0 Gọi z = x + iy (x, y là các số thực) là nghiệm của phương trình. Suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 4 2i z i x iy x y x y i− − = − − − = − − − + 0.5 Do đó ( ) 2 4 0i z− − = trở thành ( ) 2 4 2 0x y x y i− − − + = suy ra hệ 2 4 0 2 0 x y x y − − = + = . 0.25 Giải hệ ta có 8 5 x = , 4 5 y = − . Vậy nghiệm của phương trình là 8 4 5 5 z i= − 0.25 Câu 3. 3.0 a. A(0; 0; 2), ( ) 2; 2;4B − − . Viết phương trình đường thẳng AB. 1.0 ( ) 2; 2;2AB − − uuur là véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB. 0.5 Do đó phương trình đường thẳng AB là 2 2 2 2 x t y t z t = = = − . 0.5 b. Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng AB sao cho góc giữa đường thẳng OM và đường thẳng AB bằng 45 0 . 1.0 Điểm M thuộc đường thẳng AB nên tọa độ điểm ( ) 2 ; 2 ;2 2M t t t− . Suy ra ( ) 2 ; 2 ;2 2OM t t t− uuuur 0.25 Gọi α là góc giữa đường thẳng AB và đường thẳng OM suy ra 2 . 8 4 os 8 8 4.2 2 AB OM t c AB OM t t α − = = − + uuur uuuur uuur uuuur 0.5 Từ giả thiết α =45 0 , ta có 2 2 2 1 2 0 2 2 2 1. 2 t t t t t − = ⇔ − = − + . Vậy ( ) 0;0;2M A≡ hoặc ( ) 2; 2;0M 0.25 c. Viết phương trình mặt phẳng (P), chứa đường thẳng AB và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P) bằng 2 . 1.0 Gọi phương trình mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + D = 0 (ĐK A 2 + B 2 + C 2 > 0). Vì mặt phẳng (P) đi qua các điểm A(0; 0; 2), ( ) 2; 2;0M và khoảng cách từ O đến (P) bằng 2 nên ta có hệ: 2 2 2 2 0 2 2 0 (*) 2 C D A B D D A B C + = + + = = + + 0.5 Hệ (*) 2 2 2 2 2 D C A B C A B C = − ⇔ + = + = Vì nếu C = 0 thì A = B = 0 nên C khác 0. Do đó chọn C = 1 suy ra A = B = 1 2 và D = -2. Vậy PT (P): 1 1 2 0 2 2 x y z+ + − = . 0.5 Câu IVa ( Theo chương trình Cơ bản) 1.0 Hoành độ giao điểm của đồ thị lny x= và đường thẳng y = 1 là nghiệm PT ln 1x = (*). (*) ln 1 1 x e x x e = ⇔ = ± ⇔ = 0.5 Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 2 e e e e e e e e S x dx x dx x dx x x dx x x dx e e = − = + + − = + − + − + = + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 0.5 Câu IVb ( Theo chương trình nâng cao) 1.0 Hoành độ giao điểm của đồ thị y = lnx và đường thẳng 3 3 3 x y e e = + − − là nghiệm PT 3 ln 3 3 x x e e = + − − . Sử dụng tính đơn điệu của hàm số, ta chứng minh được PT có nghiệm duy nhất x = e. Hoành độ giao điểm của đồ thị y = lnx, 3 3 3 x y e e = + − − với đường thẳng y = 0 là x = 1; x = 3. 0.5 Do đó 3 3 2 1 1 1 3 3 5 ln ln 3 3 2( 3) 3 2 e e e e e x x x e S xdx dx x x dx e e e e − = + + = − + + = ÷ ÷ − − − − ∫ ∫ ∫ 0.5