SSKN môn Toán THCS

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Phần I: Lý do nghiên cứu 1-Cơ sở lý luận: Trong quỏ trỡnh phỏt triển ,xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người .Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng được bổ xung và đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội .Vì vậy mỗi người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi ,sáng tạo ,đổi mới phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi mới của Đảng và Nhà nước đặt ra. Trong chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng .đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. Khi giải toán về phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về căn thức, phương trình, hệ phương trình, các phộp biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ năng từ đơn giản đến phức tạp. “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ ”giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán.Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức,thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. 2.Cơ sở thực tiễn: Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phương trình vô tỉ như thế nào?có những phương pháp nào? Các bài toán về phương trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều trong các đề thi học sinh giỏi các cấp. Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên. Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ hiện nay còn ít giáo viên nghiên cứu. Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS. Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS II-Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu về “phương pháp giải phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS”. Giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả. + Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học phần phương trình vô tỉ trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượngdạy và học môn toán. + Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công về phương trình vô tỉ. III- Nhiệm vụ nghiên cứu : 1. Nghiên cứu về tình hình dạy học và học vấn đề này ở nhà trường. 2. Hệ thông hoá một số phương pháp giải phương trình vô tỉ. 3. Tìm hiểu mức độ và kết quả đật được khi triển khai đề tài. 4. Phân tích rut ra bài học kinh nghiệm. IV- Phạm vi và đối tượng nghiên cứu : 1. Đối tượng nghiên cứu: a. Các tài liệu b. Giáo viên, học sinh khá giỏi ở trường THCS Nguyễn Viết Xuân. 2. Phạm vi nghiên cứu : Các phương pháp để giải phương trình vô tỉ thường gặp ở THCS. PHầN II: Nội dung A- Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ: * Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở đây tôi chỉ đề cập đến những phương trình mà ẩn nằm dưới dấu căn bậc hai và căn bậc ba) * Phương trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hướng chung để giải quyết phương trình vô tỉ là làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ. Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS I- Phương pháp nâng lên luỹ thừa : 1. Kiến thức vận dụng: + (A ± B) 2 = A 2 ± 2AB + B 2 + (A ± B) 3 = A 3 ± 3A 2 B + 3AB 2 ± B 3 + [ ]      = ≥ ≥ ⇔= 2 )()( 0)( 0)( )()( xgxf xg xf xgxf + 3 3 mAmA =⇔= 2. Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: xx =−+ 122 (1) Giải Điều kiện căn có nghĩa: 012 ≥− x (2) 2 1 ≥⇔ x (1) 212 −=−⇔ xx (3) Với điều kiện 02 ≥−x (4) (3) ⇔ 2x - 1 = (x-2) 2 (5) 056 4412 2 2 =+−⇔ +−=−⇔ xx xxx Giải ra ta được x 1 =1 không thoả mãn (4) x 2 = 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phương trình: x = 5 Ví dụ 2: Giải phương trình: 23151 −=−−− xxx (1) Phương trình (1) có nghĩa: 0 023 015 01 ≥⇔      ≥− ≥− ≥− ⇔ x x x x (2) (1) 15231 −+−=−⇔ xxx Hai vế đều dương, bình phương hai vế ta được    −=+− ≥− ⇔ +−=−⇔ −−+−+−=− )3()72()21315(4 072 21315272 )15)(23(215231 22 2 xxx x xxx xxxxx Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Giải (3) ta được: 7 2 ≤x không thoả mãn (1). Vậy phương trình vô nghiệm. Ví dụ3: Giải phương trình 121 =−−+ xx (1) Giải Điều kiện: 2≥x (2) Viết PT (1) dưới dạng 121 +−=+ xx (3) Hai vế của (3) không âm, bình phương hai vế ta được 22121 −++−=+ xxx 31212222 =⇔=−⇔=−⇔−=⇔ xxxx thoả mãn điều kiện (2) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x= 3 Lưu ý: + Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK x+1 2−≥ x (Đk này luôn đúng) + Nếu biến đổi (1) thành 112 −+=− xx rồi bình phương hai vế ta phải đặt ĐK 2 0 2x x− ≥ ⇔ ≥ Ví dụ 4: Giải phương trình: 33 721 xx −−=+ (1) Giải: 33 33 33 2)71( 2271)1( =−++⇔ =−++⇔ xx xx Giải (1) 7;1 0)7)(1( 0)7)(1( 21 3 =−=⇔ =−+⇔ =−+⇔ xx xx xx Là nghiệm của phương trình Chú ý: Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS - Khi bình phương hai vế của phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương Trước khi lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế các trường hợp hoặc có lời giải ngắn gọn. Ví dụ5: Giải pt: 844 2 =++− xxx (1) Giải: 8)2( 2 =+− xx 2−⇔ x + 8=x Nếu 2≥x thì 582 =⇔=+− xxx Nếu x < 2 thì 82 =+− xx vô nghiệm Kết luận : x=5 là nghiệm của pt II - Phương trình đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 1/kiến thức vận dụng : +) == )()( 2 xfxf )(xf nếu 0)( ≥xf )(xf− nếu 0)( <xf +)phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu ) 2-Ví dụ: Ví dụ6 :Giải phương trình : 2 4 2x x+ − − + 1267 =−−+ xx (1) Giải: Điều kiện : x-2 0 ≥ hay x 2≥ (2) 13222 1)32()22( 22 =−−+−−⇔ =−−+−−⇔ xx xx Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. Cấch 2: Sử dụng bất đẳng thức baba +≥+ , dấu “=” xảy ra khi a,b ≥ 0. Khi đó 123222322 =−−+−−≥−−+−− xxxx (3) Dấu “=”xảy ra khi: ( 2 2) 0 (3 2) 0 x x      − − ≥ − − ≥ (4) Giải (4) ta được: 116 ≤≤ x Thoả mãn (2) Vậy nghiệm của phương trình (1) là : 116 ≤≤ x 3/ Chú ý : Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS + Phương pháp này thường được áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết được thành bình phương của một biểu thức. + Có những phương trình cần phải biến đổi mới có dạng trên. 4/ Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1) 21212 22 =+−+++ xxxx ( ) 1≥x 2) 211 22 =−−−−+ xxxx ( ) 2=x 3) 225225232 =−−−+−++ xxxx       ≤≤ 3 2 5 x III- Phương pháp đặt ẩn phụ: 1. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình ẩn mới: Ví dụ 7: Giải phương trình 954135 22 +−=+− xxxx (1) Giải : Ta có : 4 11 2 5 95 2 +       −=+− xxx > 0 Đặt: 222 95095 yxxyxx =+−⇒≥=+− Khi đó (1) ⇔ y 2 + 4 = 4y 055 455 2 2 2 =+−⇔ =+−⇔ =⇔ xx xx y ⇔       − = + = 2 55 2 55 x x Ví dụ 8: Giải phương trình: 2 4 1 2 1 =++++ xxx (1) Giải: Điều kiện: 4 ≥ x (2) Đặt: 0 4 1 ≥=+ yx Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 6 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS 4 1 2 −=⇒ yx Khi đó (1) trở thành 2) 2 1 ( 4 1 22 =++− yy 0744 2 =−+⇔ yy       − = 〈 −− = ⇔ 2 122 0 2 122 y y Trường hợp 2 122 −− =y < 0 loại 22 −=⇒ x , thoả mãn điều kiện (2) Vậy nghiệm của phương trình là : 22 −=x Ví dụ 9: Giải phương trình: 3 3 3 1 3 2 0x x x+ + + + + = (1) Giải: Đặt: 3 2x y+ = (1) yyy −=++−⇔ 3 3 3 3 11 Lập phương hai vế ta có : 3 63 1−= yyy     −= = ⇔ 3 62 1 0 yy y (+) Nếu: 2020 3 −=⇔=+⇔= xxy (+) Nếu 11 66 3 62 −=⇔−= yyyy , vô nghiệm Vậy nghiệm của phương trình là : x = -2 2. Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình: a. Dạng: edxvuxrbax +++=+ )( (1) Với a,u,r 0 ≠ Đặt baxvyu +=+. Khi đó phương trình (1) đưa được về dạng : 0)12)(( =+++− urruxruyyxu Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 7 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Ví dụ 10: Giải phương trình: 203232152 2 −+=+ xxx (1) Giải: Điều kiện: 2 15 0152 − ≥⇔≥+ xx Khi đó: (1) 28)24(2152 2 −+=+⇔ xx (2) Đặt: 15224 +=+ xy (3) Điều kiện: 2 1 024 − ≥⇔≥+ yy Khi đó (2) trở thành (4x + 2) 2 = 2y + 15 (4) Từ (3) ta có : (4y + 2) 2 = 2x + 15 (5) Từ (4) và (5) có hệ:      +=+ +=+ )5(152)24( )4(152)24( 2 2 xy yx Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta được (x- y)(8x + 8y + 9) = 0 +) Nếu: x-y = 0 yx =⇔ thay vào (5) ta được : 16x 2 + 14x-11 =0       −= = ⇔ 8 11 2 1 x x với 8 11 −=x , loại +) nếu 8x + 8y + 9 = 0 988 −−=⇔ xy , Thay vào 9 (4) ta được: 64x 2 + 72x-35 =0 , loại Vậy nghiệm của phương trình là : 2 1 1 =x 16 2219 2 +− =x Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 8       +− = −− = ⇔ 16 2219 16 2219 x x MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS b) Dạng: edxvuxrbax +++=+ 3 3 )( (1) Đặt 3 baxvuy +=+ (1) đưa được về dạng: 0)1)(( 22 =+++− rQrPQrPvyu Trong đó: vuyP += vuxQ += Ví dụ 11: Giải phương trình: 255336853 23 3 −+−=− xxxx (1) Giải (1) 3 53 −⇔ x =(2x-3) 3 -x+2 (2) Đặt :2y-3= 3 53 −x 3 )32(53 −=−⇔ yx (3) khi đó (2) 3 )32(52 −=−+⇔ xxy (4) Từ (3),(4) có hệ :      −=−+ −=− 3 3 )32(52 )32(53 xxy yx Trừ vế với vế ta được : 0)1)(( 22 =+++− PQQPyx (5) Trong đó : 32 −= yP 32 −= xQ Vì: 01. 22 >+++ QPQP yx,∀ Do đó :(5) yx =⇔ Thay vào (3) ta được: (x-2)(8x 2 -20+11)=0 ⇔ x 1 =2 ; x 2 = 2 35 + ; x 3 = 2 35 − c. Một số dạng khác: Ví dụ 12: Giải phương trình: 312 3 =++− xx (1) Giải Điều kiện: x 1−≥ (2) Đặt: 3 3 22 yxyx =−⇒=− Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 9 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS 3 101 22 2 =−⇒ =+⇒≥=+ yz zxzx Với điều kiện (2) thì (1) đưa về hệ:      ≥ =− =+ 0 3 3 22 z yz zy Giải hệ này ta được:    = = 2 1 z y Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phương trình (1) Ví dụ 13: Giải phương trình: 2 2 11 2 = − + x x (1) Giải: Điều kiện:    <<− ≠ 22 0 x x Đặt: 202 222 =+⇒>=− yxyx Ta có hệ: (1)      =+ =+ 2 11 2 22 yx yx Đặt: x +y = S ; xy = P (1)     −=−= == ⇔    = =− ⇔ 1, 2 1 2,1 2 22 2 SP SP PS PS +Trường hợp 1: Ta được x=y=1; Trường hợp 2:        −− = +− = 2 31 2 31 y x hoặc        +− = −− = 2 31 2 31 y x Từ đó ta được x = 1; x = 2 31−− là nghiệm 3. Chú ý: Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 10 [...]... học sinh niềm đam mê yêu thích môn toán, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học tạo nền cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Nhiều học sinh khá giỏi ở trường THCS Nguyễn Viết Xuân không phải dừng lại ở một số phương trình vô tỉ, mà tự các em có thể khai thác tìm tòi bằng mọi phương pháp đề giải được các dạng phương trình hay các bài toán khó 3) Bài học kinh nghiệm:... b ⇒ (1) có nghiệm là: x = a ) a ≠ b ⇒ (1) vô nghiệm Ví dụ 15: Giải phương trình: 3x 2 + 6 x + 7 + 5 x 2 + 10 x + 14 = 4 − 2 x − x 2 (1) Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 11 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Giải Vế trái: 3( x + 1) 2 + 4 + 5( x + 1) 2 + 9 ≥ 4 + 9 = 5 Vế phải: 4-2x –x2 = 5- (x+1)2 ≤ 5 Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x =-1, với giá... điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ 18: Giải phương trình: x 4x − 1 + 4x − 1 =2 x (1) Giải Điều kiện: x > 1 4 (2) Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 12 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Sử dụng bất đẳng thức: a b + ≥2 b a Với a,b > 0 thì dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b Do đó: x 4x − 1 4x − 1 ≥2 x + Dấu “=” xảy ra ⇔ x =... biêủ thức đại số + Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình + Các kiến thức về bất đẳng thức PHầN III : Kết Trường THCS Nguyễn Viết Xuân luận GV: Nguyễn Thị Phương 13 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS 1) Quá trình áp dụng: Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy trong nhiều năm, tôi đã hệ thống một số phương pháp giải phương...MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS * Giải phương trình vô tỉ bằng phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải được nhiều bài toán khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phương trình, liên quan... Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người thầy phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 14 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo tôi đã rút ra một số kinh nghiệm nêu trên hy vọng... tự các em có thể khai thác tìm tòi bằng mọi phương pháp đề giải được các dạng phương trình hay các bài toán khó 3) Bài học kinh nghiệm: Phương trình vô tỷ là một dạng toán không thể thiếu được trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách giáo khoa thì chưa đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến... lực tư duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các phương trình vô tỷ cho học sinh Trong quá trình nghiên cứu không thể tránh khỏi sai sót, hạn chế rất mong được sự giúp đỡ, góp ý của đồng nghiệp Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 15 . tạo trong giải toán. Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức,thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh. 2.Cơ sở thực tiễn: Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều. chương trình môn toán ở các lớp THCS kiến thức về phương trình vô tỉ không nhiều song lại rất quan trọng .đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp tục học lên ở THPT. Khi giải toán về phương. giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS. Trường THCS Nguyễn Viết Xuân GV: Nguyễn Thị Phương 1 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Vễ TỈ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN THCS II-Mục đích nghiên cứu: + Nghiên