Phương trình - BPT chứa căn

PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A MỤC LỤC Trang Mục lục 3 Phần 1: Phương trình vô tỷ 4 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 4 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ 6 Dạng 1 6 Dạng 2 8 Dạng 3 9 Dạng 4 10 Phương pháp 3: Hàm số 12 Dạng 1: Sử dụng tính chất liên tục của hàm số 12 Dạng 2: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 13 Dạng 3: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 14 Dạng 4: Sử dụng định lý Lagrange 15 Dạng 5: Sử dụng định lý Rôn 16 Phương pháp 4: Đồ thị 17 Phương pháp 5: Điều kiện cần và đủ 18 Phương pháp 6: Đánh giá 19 Phần 2: Bất phương trình vô tỷ 21 Phương pháp 1: Biến đổi tương đương 21 Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ 22 Dạng 1 22 Dạng 2 23 Dạng 3 23 Phương pháp 3: Hàm số 24 Dạng 1: Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 24 Dạng 2: Sử dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 25 Phương pháp 4: Đồ thị 26 Phương pháp 5: Điều kiện cần và đủ 27 Phương pháp 6: Đánh giá 28 Tài liệu tham khảo 29 Ý kiến của Giảng Viên 30 PHẦN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 3 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A Cách bước giải phương trình vô tỷ: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình. Bước 2: Lực chọn phương pháp thực hiện: Phương pháp 1: Biến đổi tương đương. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ, có 4 dạng đặt ẩn phụ: 1. Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. 2. Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x . 3. Sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với k ẩn phụ. 4. Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x . Phương pháp 3: Hàm số, bao gồm: 1. Sử dụng tính liên tục của hàm số. 2. Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số. 3. Sử dụng định lý Lagrange. 4. Sử dụng định lý Rôn. Phương pháp 4: Đồ thị. Phương pháp 5: Điều kiện cần và đủ. Phương pháp 6: Đánh giá. PHƯƠNG PHÁP 1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I. Phương pháp Với các dạng phương trình cơ bản: Dạng 1: Phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , 0 * , , f x m g x m x D f x m g x m f x m g x m = ∈   ⇔ = ≥ ⇔  =   Lưu ý rằng: Điều kiện ( ) * được lựa chọn tuỳ theo độ phức tạp của ( ) , 0f x m ≥ và ( ) , 0g x m ≥ . Dạng 2: Phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 , , , to mean và , 0 , , f x m g x m g x m g x m f x m g x m = ≥  ⇔  =   Lưu ý rằng: Không cần ( ) , 0f x m ≥ . Dạng 3: Phương trình: 4 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , to mean và f , 0 , to mean và , 0 , , 2 , , , f x m g x m h x m f x m x m g x m g x m f x m g x m f x m g x m h x m + =  ≥   ⇔ ≥   + + =   Lưu ý rằng: Không cần ( ) , 0h x m ≥ . II. Bài tập áp dụng: 1. Cho phương trình: 2 1x x m− − = ( ) 1 a) Giải phương trình với 1m = . b) Giải và biện luận phương trình. Giải: Phương trình viết lại dưới dạng: ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 1 2 1 x m x m x x m mx m x x m + ≥ ≥ −    − = + ⇔ ⇔   = − − − = +     ( ) I a) Với 1m = , hệ ( ) I được chuyển về dạng: 1 1 2 2 x x x ≥ −  ⇔ = −  = −  . Vậy với 1m = phương trình có nghiệm 1x = − . b) Ta xét các trường hợp: - Với 0m = . Khi đó ( ) 2 vô nghiệm do đó ( ) 1 vô nghiệm. - Với 0m ≠ . Khi đó ( ) I có nghiệm ( ) 2⇔ có nghiệm thoả mãn x m≥ − 2 2 1 1 1 0 1 0 2 2 m m m m m m m ≥  + + ⇔ − ≥ − ⇔ − ≥ ⇔  − ≤ <  . Kết luận: - Với 1m ≥ hoặc 1 0m − ≤ < , phương trình có nghiệm 2 1 2 m x m + = − . - Với 1m < − hoặc 0 1m≤ < , phương trình vô nghiệm. 2. Giải phương trình: 4 1 1 2xx x+ − − = − . Giải: Phương trình viết lại dưới dạng: ( ) ( ) 1 0 1 1 2x 4 1 2x 0 1 1 2 2 1 1 2 4 x x x x x x x x  − ≥   − + − = + ⇔ − ≥   − + − + − − = +   5 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 2 1 0 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 0. 2 2 2 7 0 x x x x x x x x x x x x x x   ≤ ≤     ⇔ ≤ ⇔ + ≥     − − = +   − − = +    − ≤ ≤  ⇔ ⇔ =   + =  Vậy phương trình có nghiệm 0x = . PHƯƠNG PHÁP 2: ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 I. Phương pháp Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ. Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: 1. Nếu bài toán chứa ( ) f x và ( ) f x có thể: Đặt ( ) t f x= , điều kiện tối thiểu 0t ≥ , khi đó ( ) 2 f x t= . 2. Nếu bài toán chứa ( ) f x , ( ) g x và ( ) ( ) .f x g x k= ( ) k cont= có thể: Đặt ( ) t f x= , điều kiện tối thiểu 0t ≥ , khi đó ( ) k g x t = . 3. Nếu bài toán chứa ( ) ( ) f x g x± , ( ) ( ) .f x g x và ( ) ( ) f x g x k+ = ( ) k cont= có thể: Đặt ( ) ( ) t f x g x= ± , khi đó ( ) ( ) 2 . 2 t k f x g x − = . 4. Nếu bài toán chứa 2 2 a x− có thể: Đặt x a sint= với , 2 2 t π π   ∈ −     hoặc x a cost= với [ ] 0,t π ∈ . 5. Nếu bài toán chứa 2 2 x a− có thể: Đặt a x sint = với { } , \ 0 2 2 t π π   ∈ −     hoặc s a x co t = với [ ] 0, \ 0 t π π   ∈     . 6. Nếu bài toán chứa 2 2 a x+ có thể: Đặt x a tgt= với , 2 2 t π π   ∈ −  ÷   hoặc đặt x a cotgt= với ( ) 0,t π ∈ . 7. Nếu bài toán chứa a x a x + − hoặc a x a x − + có thể đặt 2x acos t = . 8. Nếu bài toán chứa ( ) ( ) x a b x− − có thể đặt ( ) 2 x a b a sin t= + − . 6 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A Chú ý: Với các phương trình căn thức chứa tham số sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, nhất thiết ta phải đi tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ. Để tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ đối với các phương trình vô tỉ, ta có thể lựa chọn một trong các phương pháp sau: 1. Sử dụng tam thức bậc hai. 2. Sử dụng các bất đẳng thức. 3. Sử dụng đạo hàm. II. Bài tập áp dụng 1. Giải phương trình: 2 2 3 3 3 6 3x x x x− + + − + = Giải: Đặt 2 3 3t x x= − + , ta có: 2 3 3 3 2 4 4 t x   = − + ≥  ÷   Do đó điều kiện ẩn phụ là 3 4 t ≥ . Khi đó phương trình có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 3 9 3 3 3 0 3 1 1 3 3 1 1 2 3 3 t t t t t t t t t t t x t x x t x t t t + + = ⇔ + + + + = ⇔ + = − − ≥  ≤ =    ⇔ ⇔ ⇔ = ⇔ − + = ⇔    = = + = −     Vậy phương trình có hai nghiệm 1, 2x x= = . 2. Giải phương trình: ( ) 2 2 1 1 1 2 1x x x+ − = + − . Điều kiện: 2 1 0 1 1x x− ≥ ⇔ − ≤ ≤ . Đặt sinx t= với ; 2 2 t π π   ∈ −     . Khi đó phương trình có dạng: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 sin sin 1 2 1 sin 1 cos sin 1 2cos 3 2cos sin sin 2 2cos 2sin cos 2 2 2 2 os 0 1 3 2 6 2cos 1 2 sin 0 . 2 2 2 3 2 1 sin 2 2 2 t t t t t t t t t t t t t l c t x t t t x t π π + − = + − ⇔ + = + ⇔ = + ⇔ =   = =    =     ⇔ − = ⇔ ⇔ ⇔   ÷      = = =      Vậy nghiệm của phương trình là 1 , 1 2 x x= = . 3. Giải phương trình: 7 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 x x x x x x + + + + = − . Giải: Điều kiện { } 1,0x ≠ ± . Đặt , ; \ ,0 2 2 4 x tgt t π π π     = ∈ − ±    ÷     ( ) * Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 os os 2 2 1 1 sin 2 1 1 2 sin 2 2 1 1 1 os2 sin 2 . os2 1 1 1 4 1 1 2 sin 4 . sin 4 2 1 1 x tg t x c t c t tgt x x t tg t x x t x x tg t x c t t c t tg t x x x x x t t x x x + = + = ⇒ + = + = = ⇒ = + + − − − = = ⇒ = + + + − + ⇔ = ⇔ = − + Phương trình được biến đổi về dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 * 1 1 2 4sin . os2 2 os2 2 cos sin sin 4 2sin . os2 1 os2 2sin . os2 2sin os2 sin sin 0 1 2sin sin sin 0 sin 1 2sin 1 sin 0 1 1 sin . 2 6 3 t c t c t t t t t c t c t t c t t c t t t t t t t t t t t x π + = ⇔ + = ⇔ = − ⇔ = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm 1 3 x = . DẠNG 2 I. Phương pháp Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 2 là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x . Phương pháp này thường được sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp. Khi đó thường ta được một phương trình bậc hai theo ẩn phụ (hoặc vẫn theo ẩn x ) có biệt số ∆ là một số chính phương. II. Bài tập áp dụng Giải phương trình: 2 2 1 2 2x x x x− = − Giải: 8 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A Điều kiện: 2 2 2 0 0 x x x x ≥  − ≥ ⇔  ≤  Đặt 2 2t x x= − , với 0t ≥ . Khi đó phương trình có dạng: 2 2 1 0x tx− − = . Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 ' 1 2 1 1t x x x∆ = + = − + = − Do đó phương trình có nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 0 1 5 1 . 2 1 5 3 2 1 0 x x x x x x x x x x t x x x x x x x x x x x x x x x x x x  − =   = − + −  − =  − ≥   = ± − ⇔ ⇔ ⇔      = − − − − = −    − = −     − − =   = −   ⇔ ⇔ ≥     = +     − + =   Vậy phương trình có hai nghiệm 1 5x = ± . DẠNG 3 I. Phương pháp Phương pháp đặt ẩn phụ dạng 3 là việc sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với k ẩn phụ. Trong hệ mới thì 1k − phương trình nhận được từ các mối liên hệ giữa các đại lượng tương ứng. Chẳng hạn đối với phương trình: ( ) ( ) m m a f x b f x c− + + = Ta có thể đặt: ( ) ( ) m m u a f x v b f x  = −   = +   , suy ra m n u v a b+ = + . Khi đó ta thu được hệ phương trình: m n u v a b u v c  + = +  + =  . II. Bài tập áp dụng Giải phương trình: 3 2 1 1x x− = − − Giải: Điều kiện: 1 0 1x x − ≥ ⇔ ≥ . Đặt: 3 3 2 2 , 0 1 1 u x v u v v x  = −  ≥ ⇒ + =  = −   . Khi đó phương trình được chuyển thành hệ: 9 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A ( ) 3 3 2 2 3 3 2 3 3 2 0 0 2 1 1 1 2 0 1 2 1 1 . 1 2 10 2 2 x u x u v u u u u u u x x u v u x x  − = = =     + =   ⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ =     + =     = − = − = −     Vậy, phương trình có ba nghiệm 1, 2, 10x x x= = = . DẠNG 4 I. Phương pháp Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 4 là việc sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một hệ phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x . Ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình. Bước 2: Biếu đổi phương trình về dạng: ( ) , 0f x x ϕ =    . Bước 3: Đặt ( ) y x ϕ = , ta biến đổi phương trình thành hệ: ( ) ( ) , 0 y x f x y ϕ =   =   . Chú ý: 1. Các hệ thu được thông thường là các hệ đối xứng. 2. Ở đây chúng sẽ đi xem xét hai dạng toán cơ bản: Dạng 1: Phương trình chức căn bậc hai và luỹ thừa bậc hai ( ) 2 ax b c dx e x α β + = + + + Với d ac α = + và e bc β = + ( ) * Phương pháp giải Điều kiện 0ax b + ≥ . Đặt dy e ax b+ = + , điều kiện 0dy e+ ≥ . Khi đó phương trình được chuyển thành hệ: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x x dy e ax b dy e ax b dy e c d e x c d e x dy e α β α β   + = + + = +   ⇔   + = + + + + = − + + −     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 c dy e acx bc c dy e ac d dy bc  + = +  ⇔  + = − + +   ( ) I Trừ theo vế hai phương trình của hệ ( ) I , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 . , 0 , 4 x y d x y h x y h x y =  − = ⇔   - Với ( ) 3 thay vào ( ) 1 , ta được một phương trình bậc hai theo x . - Với ( ) 4 thay vào ( ) 1 , ta được một phương trình bậc hai theo x . 10 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A Nhận xét: Để sử dụng được phương pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phương trình ban đầu về dạng thoả mãn điều kiện ( ) * . Dạng 2: Phương trình chứa căn bậc ba và luỹ thừa bậc ba ( ) 3 3 ax b c dx e x α β + = + + + Với d ac α = + và e bc β = + ( ) * Phương pháp giải Điều kiện 0ax b+ ≥ . Đặt 3 dy e ax b+ = + , điều kiện 0dy e+ ≥ . Khi đó phương trình được chuyển thành hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 dy e ax b dy e ax b dy e c dx e x c dx e x dy e α β α β   + = + + = +   ⇔   + = + + + + = − + + −     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 2 c dy e acx bc c dx e ac d x dy bc  + = +  ⇔  + = − + +   ( ) I Trừ theo vế hai phương trình của ( ) I , ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 . , 0 , 4 x y d x y h x y h x y =  − = ⇔   - Với ( ) 3 thay vào ( ) 1 , ta được một phương trình bậc hai theo x . - Với ( ) 4 thay vào ( ) 1 , ta được một phương trình bậc hai theo x . II. Bài tập áp dụng 1. Giải phương trình: 2 1 4 5x x x+ = + + Giải: Điều kiện: 1 0 1x x + ≥ ⇔ ≥ − . Viết lại phương trình dưới dạng: ( ) 2 1 2 1x x+ = + + ở đây 1, 2, 0a b c d e β α = = = = = = = thoả mãn điều kiện: ,d ac e bc α β = + = + . Đặt 2 1y x+ = + , điều kiện 2 0 2y y+ ≥ ⇔ ≥ − . ( ) * Khi đó phương trình được chuyển thành hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 * 0 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 4 5 0 . x y x y x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x y ∧ >   + = − + + = +   ⇔   + = + + = +       ⇒ − = − + − + ⇔ − = − − + +   ⇔ − + + = ¬ → = Với x y= vào ( ) 1 được: 2 3 3 0x x+ + = vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 2. Giải phương trình: 11 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A 3 3 2 3 3 2x x+ = − . Giải: Đặt 3 3 2y x= − . Khi đó phương trình được chuyển thành hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 1 2 3 2 3 3 3 0 2 3 2 2 3 0 . 3 x y x y x y x y x y x xy y y x y x x y x y x xy y VN   + = + =   ⇔ ⇒ − = − − ⇔ − + + + =   = − + =     − =  ⇔ ⇔ =  + + +  Thay x y= vào ( ) 1 ta được: ( ) ( ) 3 2 2 1 0 1 3 2 0 1 2 0 . 2 2 0 x x x x x x x x x x − = =   − + = ⇔ − + − = ⇔ ⇔   = − + − =   Vậy nghiệm của phương trình là 1, 2x x= = − . PHƯƠNG PHÁP 3: HÀM SỐ DẠNG 1: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ I. Phương pháp Cho phương trình ( ) 0f x = , để chứng minh phương trình có k nghiệm phân biệt trong [ ] ,a b , ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Chọn các số 1 2 1 k a T T T b − < < < < < chia đoạn [ ] ,a b thành k khoảng thoả mãn: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 . 0 . . 0 k f a f T f T f b − <     <  Bước 2: Kết luận. II. Bài tập áp dụng Cho phương trình: ( ) 3 1 1.x mx m− + = + CMR với mọi m phương trình luôn có một nghiệm lớn hơn 1. Giải: Đặt 1t x= − , điều kiện 0t ≥ . Khi đó phương trình có dạng: ( ) 3 2 1 0f t t mt= = − = . Xét hàm số ( ) y f t= liên tục trên [ ) 0;+∞ . Ta có: ( ) ( ) 0 1 0 lim t f f t →∞ = − < = +∞ vậy tồn tại 0c > để ( ) ( ) ( ) 0 0 . 0f c f f c> ⇒ < Vậy phương trình ( ) 0f t = luôn có một nghiệm ( ) 0 0;t c∈ , khi đó: 12 [...]... theo m số nghiệm của phương trình: 1 − x2 = x − m ( 1) Giải: Đặt y = 1 − x 2 , điều kiện y ≥ 0 Khi đó phương trình được chuyển thành hệ: 17 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A  x 2 + y 2 = 1( 2 )   x − y = m ( 3) y ≥ 0  - Phương trình ( 2 ) là phương trình đường tròn đơn vị ( C ) có tâm O ( 0;0 ) , bán kính R = 1 - Phương trình ( 3) là phương trình đường thẳng ( d... 26 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A PHƯƠNG PHÁP 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ I Phương pháp Phương pháp điều kiện cần và đủ thường tỏ ra khá hiệu quả cho lớp dạng toán: Tìm điều kiện tham số để: Dạng 1: Bất phương trình có nghiệm duy nhất Dạng 2: Bất phương trình có nghiệm đúng ∀x ∈ D Dạng 3: Phương trình tương đương với một phương trình hoặc một bấc phương trình. .. chuyển bất phương trình ban đầu thành 1 bất phương trình với 1 ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa x 3 Sử dụng k ẩn phụ chuyển bất phương trình ban đầu thành 1 bất phương trình hoặc1 hệ bất phương trình với k ẩn phụ 20 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A Phương pháp 3: Hàm số, bao gồm: 1 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số 2 Sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Phương. .. TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A PHẦN 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Lược đồ để giải các bất phương trình vô tỷ có thể được minh hoạ theo các bước: Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho bất phương trình Bước 2: Lựa chọn phương pháp thực hiện: Phương pháp 1: Biến đổi tương đương Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ, bao gồm: 1 Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển bất phương trình ban đầu thành một bất phương trình. .. Khi đó bất phương trình có dạng: t 2 − 4t + 10 ≤ m Xét hàm số y = t 2 − 4t + 10 Miền xác định D = [ 0;3] Đạo hàm: y ' = 2t − 4 y ' = 0 ⇔ 2t − 4 = 0 ⇔ t = 2 Bảng biến thiên: 25 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] là m ≥ 10 PHƯƠNG PHÁP 4: ĐỒ THỊ I Phương pháp Với các bất phương trình logarit chứa tham số sử dụng phương pháp... x = 1 Vậy nghiệm của bất phương trình là x = 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phương pháp giải toán ĐẠI SỐ – (tập 3) Phương trình, bất phương trình và hệ vô tỷ – Lê Hồng Đức – NXB Đại Học Sư Phạm – 2004 2 Phương trình, bất phương trình và hệ phươn trình – TS Đặng Hùng Thắng – NXB ĐHQG Hà Nội – 2005 28 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A Ý KIẾN CỦA GIẢNG VIÊN ... F ' ( x0 ) = ⇔ f ( x0 ) = 0 b−a ⇔ phương trình f ( x ) = 0 có nghiệm x0 ∈ ( a, b ) Dạng 2: Giải phương trình mũ, bằng việc ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Gọi α là nghiệm của phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng thích hợp f ( a ) = f ( b ) , từ đó chỉ ra được hàm số F ( t ) khả vi và liên tục trên [ a, b ] 15 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A Khi đó theo... bản II Bài tập áp dụng Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1 − x 2 + 2 3 1 − x 2 = m Giải: Điều kiện cần: Nhận xét rằng nếu phương trình có nghiệm x0 , thì cũng nhận − x0 làm nghiệm Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện đủ là x0 = − x0 ⇔ x0 = 0 ⇔ m = 3 Điều kiện đủ: Với m = 3 , khi đó phương trình có dạng: 18 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A 1 − x2... phương trình là x > 0 DẠNG 2: SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT I Phương pháp Với bất phương trình có chứa tham số: f ( x, m ) ≤ g ( m ) Chúng ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Xét hàm số y = f ( x, m ) : - Tìm miền xác định của hàm số - Tính đạo hàm y ' , rồi giải phương trình y ' = 0 - Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 2: Kết luận: - Bất phương trình có nghiệm ⇔ miny ≤ g ( m ) x∈D -. ..PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A x − 1 = t0 ⇔ x = t 0 + 1 > 1 Vậy, với mọi m phương trình luôn có một nghiệm lớn hơn 1 DẠNG 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I Phương pháp Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc Ta có ba hướng áp dụng sau: Hướng 1: Thực hiện theo các bước: Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: . nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 2. Giải phương trình: 11 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A 3 3 2 3 3 2x x+ = − . Giải: Đặt 3 3 2y x= − . Khi đó phương trình được. = =  ⇔ ⇔ =  = −  Vậy phương trình có nghiệm 1.x = 19 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A PHẦN 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Lược đồ để giải các bất phương trình vô tỷ có thể. phụ chuyển bất phương trình ban đầu thành 1 bất phương trình hoặc1 hệ bất phương trình với k ẩn phụ. 20 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN NHÓM 3 – TOÁN 2006A Phương pháp 3: Hàm số,