Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân (tt) pdf

302 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân u √ v 2 − 1= √ 3 √ v 2 −1+v, ∀u, v ∈ [ √ 3, +∞). Lấy phương trình thứ hai trừ vế theo vế cho phương trình thứ nhất của hệ ta được u √ v 2 − 1 − v √ u 2 −1= √ 3 √ v 2 − 1 − √ 3 √ u 2 − 1+v −u. Viết lại phương trình này dưới dạng √ v 2 − 1  u − √ 3  − √ u 2 −1  v − √ 3  = v − u. Ta chứng minh u = v. Giả sử trái lại, u>v, khi đó vế phải âm. Ta chứng minh vế trái dương. Thật vậy, xét hàm số f(t)= t− √ 3 √ t 2 −1 ,t √ 3. Dễ thấy, f là hàm đơn điệu tăng. Do đó ta có f(u) >f(v) u − √ 3 √ u 2 − 1 > v − √ 3 √ v 2 −1 √ v 2 − 1  u − √ 3  > √ u 2 − 1  v − √ 3  √ v 2 − 1  u − √ 3  − √ u 2 − 1  v − √ 3  > 0. Điều này chứng tỏ vế trái dương. Ta có điều vô lý. Do đó u = v. Xét phương trình  = √ 3+  √  2 − 1 ,∈ [ √ 3, +∞). (∗) Vì  ∈ [ √ 3, +∞) nên 0 < 1  < 1. Do đó tồn tại θ ∈ (0,π/2) sao cho 1  = sin θ. Khi đó phương trình có dạng  = 1 sin θ = √ 3+ 1 cos θ ⇔ (sin θ − cos θ)+ √ 3 sin θ cos θ =0. Giải phương trình (∗) với điều kiện  ∈ [ √ 3, +∞) ta được nghiệm duy nhất  = 1 sin θ = √ 3( √ 5+1) 2 . 6.6. Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm 303 Vậy, mọi nghiệm của phương trình sai phân trên với điều kiện ban đầu thuộc [ √ 3, +∞) hội tụ đến số dương  = √ 3( √ 5+1) 2 . Nhận xét 6.3. Dễ thấy rằng, nếu (y n ,z n ) là nghiệm của hệ phương trình sai phân y n+1 = βy n + αz n ,y 0 = x 0 , z n+1 = By n + Az n ,z 0 =1 thì x n = y n z n là nghiệm của phương trình (4.13). Do đó, việc khảo sát sự hội tụ của nghiệm phương trình (4.13) có thể chuyển về việc tìm nghiệm (y n ,z n ) của hệ phương trình sai phân trên, sau đó tính giới hạn y n z n khi n tiến ra vô cùng. Tuy nhiên, cách này không gọn bằng cách sử dụng định lý 6.16. Về một số phương trình sai phân hữu tỷ bậc hai Trong mục này ta khảo sát sự hội tụ của nghiệm phương trình sai phân sau x n+1 = βx n + α A + x n + Cx n−1 , (4.14) trong đó n ∈ N và x 0 ,x 1 là 2 số thực không âm cho trước. Ta giả thiết các tham số trong phương trình (4.14) là các số thực dương. Trong mục này ta luôn giả thiết f :[0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) là hàm liên tục. Các bổ đề sau rất cần thiết để khảo sát sự hội tụ của nghiệm phương trình (4.14). Bổ đề 6.1. Nếu mọi nghiệm của phương trình x n+1 = f(x n ,x n−1 ),n∈ N, (x 0 ,x 1 > 0 cho trước) (4.15) hội tụ đến một số dương , thì hệ phương trình x = f(y,x), 304 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân y = f(x, y) có nghiệm dương duy nhất x = y = . Chứng minh: Gọi (x, y) là một nghiệm dương của hệ phương trình trên. Xét phương trình (4.15) với x 1 = x và x 0 = y. Thế thì x 2 = f(x 1 ,x 0 )=f(x, y)=y và x 3 = f(x 2 ,x 1 )=f(y,x)=x. Ta chứng minh bằng quy nạp rằng x 2k = y và x 2k+1 = x với mọi k. Giả sử x 2k = y, x 2k+1 = x với một số tự nhiên k nào đó, ta sẽ chứng minh x 2(k+1) = y,x 2(k+1)+1 = x. Thật vậy, ta có x 2(k+1) = f(x 2k+1 ,x 2k )=f(x, y)=y, x 2(k+1)+1 = f(x 2k+2 ,x 2k+1 )=f(y,x)=x. Như vậy x 2k = y, x 2k+1 = x với k ∈ N 0 . Theo giả thiết {x n } n hội tụ đến số dương , nên ta được các dãy con {x 2k } ∞ k=0 , {x 2k+1 } ∞ k=0 hội tụ đến , tức là x = y = . Bổ đề được chứng minh. Bổ đề sau sẽ chỉ ra rằng điều kiện của bổ đề 6.1 là đủ nếu hàm f bị chặn và đơn điệu giảm theo biến x, đơn điệu tăng theo biến y. Trước hết ta xét ví dụ sau: Ví dụ 6.50. Xét phương trình sai phân x n+1 = x n +1 x n + x n−1 +1 ,x 0 ,x 1 cho trước . Chọn x 0 ,x 1 ∈ (0, 1). Xét hàm số f(x, y)= x +1 x + y +1 . Dễ thấy f đồng biến theo x, nghịch biến theo y. Mặt khác, inf x,y0 f(x, y)=0:=α 0 , sup x,y0 f(x, y)=1:=β 0 và x n ∈ (α 0 ,β 0 ), ∀n  2. 6.6. Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm 305 Đặt α 1 = inf x,y∈(α 0 ,β 0 ) f(x, y),β 1 = sup x,y∈(α 0 ,β 0 ) f(x, y). Ta có α 1 = f(α 0 ,β 0 )= 1 2 ,β 1 = f(β 0 ,α 0 )=1. Tương tự α n+1 = inf x,y∈(α n ,β n ) f(x, y)=f(α n ,β n ),β n+1 = sup x,y∈(α n ,β n ) f(x, y)=f(β n ,α n ), với n =0, 1, 2, ···. Ta được {α n } n là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 1, {β n } n là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi 0, do đó chúng hội tụ. Giả sử lim n→∞ α n = α, lim n→∞ β n = β. Ta thu được hệ sau α = f(α, β) β = f(β,α). Suy ra α = β = 1 √ 2 . Mặt khác, ta chứng minh bằng quy nạp được x n+2k ∈ (α k ,β k ),k=0, 1, 2, ···. Do đó lim x n = 1 √ 2 . Bổ đề 6.2. Giả sử hàm f đơn điệu giảm theo biến x với mỗi y>0 và đơn điệu tăng theo biến y với mỗi x>0. Giả thiết thêm rằng, M := sup x,y0 f(x, y) < ∞ và hệ phương trình u = f(v, u), 306 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân v = f(u, v) có nghiệm duy nhất u = v = . Khi đó mọi nghiệm của (4.15) hội tụ đến . Chứng minh: Theo giả thiết ta có x n+1 = f(x n ,x n−1 ) <Mvới mọi n ∈ N 2 . Không mất tính tổng quát ta giả sử x n <Mvới mọi n ∈ N 0 . Ta xét hệ phương trình sai phân sau u n+1 = f(v n ,u n ), v n+1 = f(u n ,v n ) với n ∈ N 0 . ở đây ta đặt u 0 =0,v 0 = M. Rõ ràng, u 0 <x n <v 0 với mọi n ∈ N 0 . Do hàm f đơn điệu giảm theo biến x và đơn điệu tăng theo biến y, nên x n+2 = f(x n+1 ,x n ) <f(u 0 ,v 0 )=v 1 và tương tự, x n+2 = f(x n+1 ,x n ) >f(v 0 ,u 0 )=u 1 với mọi n ∈ N 0 . Bằng phương pháp chứng minh quy nạp, ta có thể thấy rằng u k <x n+2k <v k với mọi k,n ∈ N 0 . Mặt khác u 0 <u 1 và v 0 >v 1 . Cũng do hàm f đơn điệu giảm theo biến x và đơn điệu tăng theo biến y nên ta có u 2 = f(v 1 ,u 1 ) >f(v 0 ,u 0 )=u 1 và tương tự v 2 <v 1 . Bằng chứng minh quy nạp ta có dãy {u k } k đơn điệu tăng và dãy {v k } k đơn điệu giảm. Gọi u, v lần lượt là giới hạn của các dãy {u k } k và {v k } k .Tacóu và v thỏa mãn hệ phương trình u = f(v, u), 6.6. Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm 307 v = f(u, v). Theo giả thiết u = v = . Như vậy các dãy {u k } k và {v k } k là hội tụ và giới hạn của hai dãy này là . Theo trên ta có u k <x n+2k <v k ,k,n∈ N 0 nên ta được dãy {x n } ∞ n=0 hội tụ và lim n→∞ x n = . Bổ đề được chứng minh. Chú ý 6.5. Nếu hàm f bị chặn thì với mỗi nghiệm {x n } n của (4.15), tồn tại hai dãy giới hạn đầy {u n } n∈Z và {v n } n∈Z thoả mãn (4.15) với mọi n ∈ Z sao cho u 0 = lim sup n→∞ x n ,v 0 = lim inf n→∞ x n ,u n ,v n ∈ [v 0 ,u 0 ] với mọi n ∈ Z. Hai dãy giới hạn đầy này được chọn từ tập giới hạn ω của nghiệm {x n } n . Bổ đề 6.3. Giả sử hàm f đơn điệu giảm theo biến y với mỗi x>0 và M := sup x,y0 f(x, y) < ∞. Thế thì với mỗi nghiệm {x n } n của (4.15) ta có max 0xM f(x, 0)  lim sup n→∞ x n    lim inf n→∞ x n  min 0xM f(x, M). Chứng minh: Chọn hai dãy giới hạn đầy {u n } n∈Z và {v n } n∈Z từ tập giới hạn ω của {x n } n sao cho u 0 = lim sup n→∞ x n ,v 0 = lim inf n→∞ x n ,u n ,v n ∈ [v 0 ,u 0 ] với mọi n ∈ Z. Ta có u 0  u 1 = f(u 0 ,u −1 )  f(u 0 ,u 0 ). Tương tự, ta nhận được v 0  f(v 0 ,v 0 ). Từ đây suy ra nghiệm dương duy nhất của phương trình x = f(x, x) phải nằm trong [v 0 ,u 0 ]. Mặt khác, u 0 = f(u −1 ,u −2 )  f(u −1 , 0)  max 0xM f(x, 0). 308 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân Tương tự, ta có v 0  min 0xM f(x, M). Bổ đề được chứng minh. Bây giờ ta khảo sát tính chất của nghiệm phương trình (4.14). Để tiện theo dõi ta nhắc lại kết qủa sau của Đ.V. Giang. Định lý 6.17. Giả sử β  α/A. Nếu một trong các điều kiện sau thoả mãn thì dự đoán của G. Ladas là đúng. (i) β  A; (ii) β>Avà C  1; (iii) β>A,C>1 và (β − A) 2  4α/(C −1). Nhận xét 6.4. Kết hợp định lý 6.17 và bổ đề 6.3 ta thấy rằng, nếu các điều kiện (i)-(iii) của định lý 6.17 không xảy ra thì với mỗi nghiệm {x n } n của (4.14) ta có a  lim inf n→∞ x n    lim sup n→∞ x n  b, trong đó a = 1 2  β − A −  (β − A) 2 − 4α C −1  , b = 1 2  β − A +  (β − A) 2 − 4α C −1  . Tiếp theo ta nghiên cứu dự đoán của Ladas trong trường hợp β = A. Đáng tiếc trong trường hợp này ta vẫn phải hạn chế trên các tham số β,α và C. Định lý 6.18. Giả sử β = A và C<1. Nếu α<4β 2 /(C +1) thì dự đoán của G. Ladas là đúng. 6.6. Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm 309 Chứng minh: Trước hết để ý rằng nếu α  β 2 , ta có thể áp dụng trường hợp (i) của định lý 6.17. Vì vậy, không mất tính tổng quát ta giả sử rằng α>β 2 . Mặt khác ta có  =  α C +1 (4.16) và |x n+1 − | = |(β − )(x n − ) − C(x n−1 − )| x n + Cx n−1 + β . (4.17) Đặt δ n = |x n − |. Ta nhận được δ n+1  |β − |δ n + Cδ n−1 β . Xét phương trình sai phân tuyến tính y n+1 = |β − |y n + Cy n−1 β với n ∈ N, (y 0 = δ 0 ,y 1 = δ 1 ). Dễ thấy δ n  y n với mọi n ∈ N 0 và y n có dạng y n = α 1 λ n 1 + α 2 λ n 2 , trong đó λ 1,2 là các nghiệm của phương trình βλ 2 =| β −  | λ + C. (4.18) Ta chứng minh rằng các nghiệm của phương trình (4.14) có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 (và hệ quả là y n → 0 khi n →∞). Điều này tương đương với việc chứng minh β>|β − | + C. (4.19) Cuối cùng ta hãy xét hai trường hợp có thể xảy ra: Nếu α<β 2 (C +1),ta có β>và hệ quả là |β − | + C = β +(C − 1)<β(vì C<1). Trường hợp thứ hai là α ≥ β 2 (C +1).Tacóβ   và |β −| + C =(C +1) − β =  α(C +1)−β<2β −β = β (vì α<4β 2 /(C +1)). Định lí được chứng minh. 310 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân Định lý 6.19. Giả sử β = A và 1  C  2. Nếu α<9β 2 /(C +1) thì dự đoán của Ladas là đúng. Chứng minh: Trước hết chú ý rằng nếu α  β 2 , ta có thể áp dụng trường hợp (i) định lý 6.17. Vì vậy không mất tính tổng quát, ta giả sử α>β 2 . Xét hàm f(x, y)= βx + α x + Cy + β . Ta sẽ chứng tỏ sup x,y0 f(x, y)= α β . Thật vậy, ta có f(x, y)= βx + α x + Cy + β = α β − αx + αCy − β 2 x x + Cy + β = α β − αCy + βx( α β − β) x + Cy + β  α β . với mọi x, y ≥ 0. Lấy >0 nhỏ tùy ý, ta chứng minh tồn tại (x, y) ∈ [0, ∞) ×[0, ∞) sao cho f(x, y) > α β − , tức là αx + αCy − β 2 x x + Cy + β < hay (x + Cy)( −α)+β + β 2 x x + Cy + β > 0. Nếu  ≥ α thì bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng với mọi (x, y) ∈ [0, ∞) × [0, ∞). Còn nếu <αthì ta chọn x = 1 β 2 (x + Cy)(α − ) và y tùy ý thuộc [0, ∞), khi đó bất đẳng thức trên thỏa mãn. Vậy sup x,y≥0 f(x, y)= α β . Mặt khác, ta có ∂ ∂y f(x, y)= −C (x+Cy+β) 2 < 0, ∀x, y  0 nên hàm f(x, y) đơn điệu giảm theo biến y trên [0, ∞), do đó f(x, y)  f(x, α/β), ∀y ∈ [0, α/β]. Hơn nữa, ta có ∂ ∂x f(x, y)= Cβy+(β 2 −α) (x+Cy+β) 2 và do C ≥ 1 nên ∂ ∂x f(x, α/β) > 0. 6.6. Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm 311 Suy ra f(x, y)  f(x, α/β)  f(0, α/β), ∀x, y ∈ [0, α/β]. Từ đó ta thu được inf x,y∈(0,α/β) f(x, y)=f(0, α/β)= βα β 2 + Cα > βα (C +1)α = β C +1 . Để ý rằng x n+1 = f(x n ,x n−1 ) nên x n > β C +1 với n ∈ N 4 . Mặt khác, đặt δ n = |x n − |, từ (4.17) ta có δ n+1  |β − |δ n + Cδ n−1 2β . Xét phương trình sai phân tuyến tính y n+1 = |β − |y n + Cy n−1 2β với n ∈ N 5 , ( y 4 = δ 4 ,y 5 = δ 5 ). Dễ thấy δ n  y n với mọi n ∈ N 4 và y n có dạng y n = α 1 λ n 1 + α 2 λ n 2 , trong đó λ 1,2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình 2βλ 2 = |β − |λ + C. (4.20) Ta chứng minh rằng các nghiệm của phương trình (4.20) có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1 (và hệ quả là y n → 0 khi n →∞). Điều này tương đương với việc chứng minh 2β>|β − | + C. (4.21) Xét hai trường hợp sau có thể xảy ra: Nếu α<(C +1)β 2 , ta có β>=  α/(C +1) và hệ quả là |β − | + a = β +(C − 1)  β + <2β (vì a  2). Trường hợp thứ hai là α ≥ (C +1)β 2 . Ta nhận được β   và [...]... Về lớp phương trình sai phân hữu tỷ bậc (k − 1) trên bậc k Xét phương trình sai phân hữu tỷ bậc (k − 1) trên bậc k xn+1 = A + f (xn , · · · ,xn−k+1 ) , n = 0, 1, · · ·, xn−k (4.36) 336 Chương 6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân trong đó k là số tự nhiên dương, A ∈ (0; ∞) và f : Rk → R+ là hàm liên tục, + không giảm với mỗi biến Ta sẽ nghiên cứu tính bị chặn, hội tụ của nghiệm phương trình (4.36)... tăng theo 314 Chương 6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân mỗi biến zi , i ∈ {1, 2, · · ·, k} \ {i0 }, giảm theo zi0 và tăng theo y Gọi x là ¯ điểm cân bằng của phương trình sai phân xn+1 = H (xn , · · ·, xn−k+1 , xn−k ) , n = 0, 1, · · · (4.23) Khi đó, trừ nửa chu trình đầu tiên, mỗi nghiệm dao động của phương trình sai phân (4.23) với điều kiện ban đầu dương đều có các nửa chu trình có độ dài... phương trình (4.22) có duy nhất điểm cân bằng dương và mọi nghiệm dương của phương trình này bị chặn Định lý 6.22 Giả sử g (α) > 1 và hàm f thỏa mãn giả thiết (H) Khi đó phương trình sai phân (4.22) có duy nhất điểm cân bằng dương x ¯ Chứng minh: Giả sử x là điểm cân bằng của phương trình (4.22) Ta có ¯ x=α+ ¯ x ¯ g (¯) x Xét hàm số F : [α, ∞) → R x → x−α− x g(x) 317 6.6 Một số lớp phương trình sai. .. minh rằng {λn }n là dãy đơn điệu không giảm, {un }n là dãy đơn điệu không tăng và λn xn un với n ∈ N Gọi λ là giới 313 6.6 Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm hạn của dãy {λn }n và u là giới hạn của {un }n Thế thì u = γu+α , (B+1)λ+A λ = γλ+α (B+1)u+A Theo giả thiết γ < A, do đó từ hệ phương trình này ta thu được u = λ = Định lí được chứng minh Về lớp phương trình sai phân hữu tỷ bậc... thiết (H) và h là hàm cho bởi công thức h (u) := α 1 1− g(u) Nếu hàm hợp h ◦ h lõm trên [α; M1 ] thì mọi nghiệm dương của phương trình (4.22) hội tụ 327 6.6 Một số lớp phương trình sai phân phi tuyến có chậm ∞ Chứng minh: Giả sử (xn )n=−k là một nghiệm của phương trình (4.22) Khi đó tồn tại hai dãy giới hạn đầy (ym ), (zm ) thỏa mãn phương trình (4.22) với mọi m ∈ Z, mà tất cả số hạng của hai dãy này... 1 và hàm f thỏa mãn giả thiết (H) Nếu hàm g thỏa mãn bất đẳng thức |ug (u) − vg (v)| g 2 (α) |u − v| , u, v ∈ [α; M1 ] , thì mọi nghiệm dương của phương trình (4.22) hội tụ về điểm cân bằng x ¯ ∞ Chứng minh: Giả sử (xn )n=−k là nghiệm dương của phương trình (4.22) Theo Định lý 6.23 thì xn ∈ (α; M0] , ∀n ≥ 1, với M0 := M1 + max {x−k , · · · , x0 } Sử 322 Chương 6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân. .. chứng minh lim x2n+1 = n→∞ α 1 1−L Vì lim x2n = ∞ và L = lim g (u) nên n→∞ u→∞ lim F (x2n , x2n−2 , · · ·, x2n−2m ) = L n→∞ Từ điều này và từ x2r+1 ∈ (α; b), suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn li := lim inf x2n+1 , ls := lim sup x2n+1 thỏa mãn n→∞ n→∞ li ≥ α + li , L 332 Chương 6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân và ls α+ ls L Khi đó li 1 − 1 L ≥ α và ls 1 − 1 L α, suy ra 1 α α ≥1− ≥ , ls L li nên... )∞ n=−k của phương trình (4.22) hội tụ đến nghiệm (ωn ) có chu kỳ (k + 1) ¯ Trường hợp 2: xn < x, ∀n ≥ −k Chứng minh tương tự như trường hợp 1, ta được điều cần chứng minh 334 Chương 6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân Tiếp theo, giả sử có i0 ∈ (1, 2, · · ·, k) mà f (z1, z2 , · · ·, zk ) tăng tại zi0 trong một lân cận phải của α, ta chứng minh mọi nghiệm không dao động của phương trình (4.22)... • Trường hợp g (α) > 1 Ta có g là hàm tăng trên [0; ∞), nên với mọi u > α thì g (u) > g (α) > 1 316 Chương 6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân Nếu α = 0 thì 0 là điểm cân bằng duy nhất của phương trình xn+1 = xn−k f (xn , · · ·, xn−k+1 ) (4.24) Thật vậy, giả sử x là điểm cân bằng của phương trình (4.24), tức là ¯ x= ¯ x ¯ , f (¯, x, · · ·, x) x ¯ ¯ hay x 1− ¯ 1 g (¯) x = 0 Do đó x = 0 ¯ Ta... 6 Khảo sát dãy số và phương trình sai phân Cứ như vậy, ta nhận được hai dãy (Mn ) và (Nn ) mà các số hạng của hai dãy này thuộc [α, M1 ], được định nghĩa như sau: Nn := αg (Mn ) αg (Nn−1 ) , Mn := g (Mn ) − 1 g (Nn−1 ) − 1 Dễ dàng chứng minh được dãy (Nn ) không giảm và dãy (Mn ) không tăng (do hàm số y = x x−1 giảm trên (1; ∞)) Vì vậy giới hạn của hai dãy này tồn tại và thỏa điều kiện N0 z0 y0 M0 . 302 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân u √ v 2 − 1= √ 3 √ v 2 −1+v, ∀u, v ∈ [ √ 3, +∞). Lấy phương trình thứ hai trừ vế theo vế cho phương trình thứ nhất của hệ. f(y,x), 304 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân y = f(x, y) có nghiệm dương duy nhất x = y = . Chứng minh: Gọi (x, y) là một nghiệm dương của hệ phương trình trên. Xét phương trình. y>0 và đơn điệu tăng theo biến y với mỗi x>0. Giả thiết thêm rằng, M := sup x,y0 f(x, y) < ∞ và hệ phương trình u = f(v, u), 306 Chương 6. Khảo sát dãy số và phương trình sai phân v