Sở GD&ĐT Bắc Giang Kỳ thi olympic trờng thpt tứ sơn lần I Trờng THPT Tứ Sơn ************* Môn:Toán 11 Năm học 2007-2008 ( Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề ) Đề bài Câu 1: ( 1 điểm ) Cho dãy số 1 * 1 2 2 n n u u u n N + = = + Chứng minh rằng dãy số {u n }là dãy số tăng và bị chặn trên. Tìm lim n n u . Câu 2: ( 1 điểm ) Với mọi n N * , chứng minh rằng: U n = 1 1 5 1 5 2 2 5 n n + ữ ữ ữ ữ N Câu 3: ( 2 điểm ) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: a. Các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện đồng quy tại một điểm ( gọi là trọng tâm của tứ diện ) b.Bốn đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại trọng tâm của tứ diện. Câu 4: ( 1 điểm ) Giải phơng trình: cos 2sin 2 cos3 1 2sin cos 2x x x x x+ = + . Câu 5: ( 2 điểm ) a. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau. b. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trớc. Câu 6: ( 1 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : 2 1 1 x y x x + = + + Câu 7: ( 1 điểm ) Tìm 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x + + Câu 8: ( 1 điểm ) Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a ab b b bc c a c+ + + + + , ,a b c R . -Hết- Họ và tên thí sinhLớp Đáp án Nội dung Điểm Câu 1: 1 * 1 2 2 n n u u u n N + = = + * Chứng minh qui nạp theo n u n bị chặn trên bởi 2 * Xét u n+1 -u n = 2 n u+ -u n = ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 n n n n n n n n u u u u u u u u + + = + + + + >0 *n N suy ra u n+1 >u n vậy dãy số u n tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có giới hạn là a. *Từ công thức 1 2 n n u u + = + ta có 2a a= + => a=2 0,5 0,25 0.25 Câu 2: *Ta chứng minh: u n+2 =u n+1 + u n *Qui nạp theo n 0,5 0,5 Câu 3: a. Dễ cm b* Gọi G là trọng tâm của tứ diện và G 1 là trọng tâm của tam giác BCD. Ta có : 1 1 1 0 0 GA GB GC GD G B G C G D + + + = + + = uuur uuur uuur uuur r uuuur uuuur uuuur r suy ra 1 3GA GG= uuur uuuur Vậy A,G,G 1 thẳng hàng * Tơng tự các đoạn thẳng nối các đỉnh với trọng tâm các mặt đối diện cũng đi qua G. 1 0,5 0,5 Câu 4: * cos 2sin 2 cos3 1 2sin cos 2x x x x x+ = + 1 C A B D G1 G sin 2 (1 sin ) sin (1 sin ) sin 1 sin 0 3 sin 2 x x x x x x x + = + = = = kết luận nghiệm. Câu 5: a. 9. 5 9 A b. Mỗi số lập đợc là 1 tổ hợp chập 6 của 9 chữ số từ 1 đến 9 vậy số các chữ số lập đợc là : 6 9 C 1 1 Câu 6: Maxy = 1; Min y = -1/3. 1 Câu 7: 3 2 1 2 1 3x x x + + = 3 2 2 1 2 (1 ) (1 ) 1 3x x x x x x + + + + + suy ra ĐS: 1/2 1 Câu 8: 2 2 2 2 a ab b b bc c a c+ + + + + Đặt 2 2 3 ( ; ) 2 2 b u a b u a ab b= + => = + + r r 2 2 3 ( ; ) 2 2 b v c c v b bc c= + => = + + r r u v a c = r r => u v a c = r r Ta có: a-c 2 2 2 2 a c u v u v a ab b b bc c = + = + + + + + r r r r (đpcm) 1 -Hết- A . Sở GD&ĐT Bắc Giang Kỳ thi olympic trờng thpt tứ sơn lần I Trờng THPT Tứ Sơn ************* Môn:Toán 11 Năm học 2007-2008 ( Thời gian: 180 phút, không kể thời