SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 3 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 BT THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2010 Bài Ý Đáp án và hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 5 điểm 1 3đ Tập xác định R Sự biến thiên: y' = 3x 2 - 6x y' = 0 0 2 x x = ⇔ = 0,5 Giới hạn: lim ;lim x x y y →+∞ →−∞ = +∞ = −∞ 0,5 Bảng biến thiên x - ∞ 0 2 + ∞ y' + 0 - 0 + y 2 +∞ −∞ -2 1 Đồ thị đi qua (3; 2) và (-1; -2) Đối xứng qua điểm (1; 0) 1 2 2đ Phương trình ⇔ x 3 - 3x 2 + 2 = 2 - m Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng (d): y = 2 - m Từ đó suy ra: 2 2 0 2 2 4 m m m m − > < ⇔ − < − > phương trình có một nghiệm. 1 Nếu m = 0 hoặc m = 4 phương trình có hai nghiệm. Nếu - 2 < 2 - m < 2 ⇔ 0 < m < 4 phương trình có ba nghiệm. 1 1 2 3 x 0 2 -2 -1 y Bài 2 4 điểm 1 2đ 3 sinx + cosx = 2 3 1π sinx + cosx = 1 sin x + = 1 2 2 6 ⇔ ⇔ ÷ π π x + = + k2π (k Z) 6 2 ⇔ ∈ π π π x = - + 2kπ x = + k2π 2 6 3 ⇔ ⇔ Vậy phương trình có họ nghiệm là π x = + k2π 3 1 1 2 2đ ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x + y = 10 x - xy + y = 3 x + y = 5 xy = 2 x + xy + y = 7 2xy = 4 ⇔ ⇔ ( ) 2 x + y = 3 (I) xy = 2 x + y = 9 x + y = - 3 xy = 2 (II) xy = 2 ⇔ ⇔ 0,5 0,5 Giải hệ phương trình (1) được hai nghiệm: (x; y) = (1; 2); (2; 1) Giải hệ phương trình (2) được hai nghiệm: (x; y) = (-1; -2); (-2; -1) Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm (x; y) là: (1; 2); (2; 1); (-1; -2); (-2; -1) 0,5 0,5 Bài 3 3 điểm 1 1đ Đặt t = sinx dt = cosxdx⇒ ⇒ 0 0 1 2 x t t x π = = ⇒ = = 1 3 1 2 0 0 1 3 3 t I t dt= = = ∫ 0,5 0,5 2 2đ Gọi số chẵn có ba chữ số là X = 1 2 3 a a a (a 1 khác 0) a i { } 0;1;2; ;9∈ L (i = 1; 2; . . . ;9) 0,5 Có 5 cách chọn a 3 từ các số: 0; 2; 4; 6; 8 Có 10 cách chọn a 2 và 9 cách chọn a 1 . Do đó có: 5.10.9 = 450 0,5 0,5 0,5 Bài 4 4 điểm 1 2đ Gọi I là tâm của đường tròn (C): (x - 1) 2 + (y +2) 2 = 9 thì I(1; -2) và bán kính R = 3 OI = ( ) ( ) 2 2 0 1 0 2 5 3R− + = < = Vậy điểm O ở trong đường tròn (C) 1 O D C B A S Vì điểm O ở trong đường tròn (C) và O là trung điểm của AB nên OI AB ⊥ ⇔ AB có véc tơ pháp tuyến (1; 2)n OI= = − r uur ⇒ phương trình đường thẳng cần tìm là: 1(x - 0) - 2(y - 0) = 0 ⇔ x - 2y = 0 1 2 2đ Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì khối chóp S.ABCD là khối chóp tứ giác đều ⇒ ( )SO mp ABCD⊥ và AC = a 2 ; OA = OC = 2 2 a 1 Xét tam giác vuông SOA có: SO 2 + OA 2 = SA 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a SO SA OA a ⇒ = − = − = ÷ ÷ 0,5 Thể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD là: 3 2 2 1 1 1 2 2 3 3 3 2 6 a a V Bh a SO a= = × = × = 0,5 Bài 5 4 điểm 1 2đ Vì ( α ) vuông góc giá của a r nên ( α ) có véc tơ pháp tuyến là: (6; 2; 3)n a= = − − r r 1 Phương trình mặt phẳng ( α ) là: 6(x + 1) - 2(y - 2) - 3(z + 3) = 0 ⇔ 6x - 2y - 3z + 1 = 0 1 2 2đ Toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng ( α ) là nghiệm của hệ phương trình: 1 3 0 1 2 1 3 5 1 6 2 3 1 0 3 x t t y t x z t y x y z z = + = = − + = ⇔ = − = − − − + = = 1 Toạ độ giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng ( α ) là M(1; -1; 3) 1 GHI CHÚ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ (Gồm có 3 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 BT THPT Bài Ý Hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 5 điểm 1 3đ Tập xác định R \ { } - 1 Sự biến thiên: ( ) 2 2 y' = x + 1 y' > 0 với mọi x khác -1 . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (- ; -1)∞ và (- 1; + ∞ ). Hàm số không có cực trị. 0,5 y' > 0 2 0 x x > ⇔ < Hàm số đồng biến trong khoảng (- ∞ ; 0) và (2; + ∞ ) y' < 0 ⇔ 0 < x < 2 Hàm số nghịch biến trong khoảng (0; 2) Điểm cực đại (0; 2). Điểm cực tiểu (2; -2) 0,5 x ± lim =1 → ∞ suy ra đồ thị có tiệm cận ngang y = 1 1 x ( 1) lim = - + → − ∞ ; x ( 1) lim = + − → − ∞ nên đồ thị có tiệm cận đứng x = -1 Bảng biến thiên: x - ∞ -1 + ∞ y' + + y + ∞ 1 1 - ∞ 1 Đồ thị đi qua điểm (-2; 3) và (-3; 2) 0,5 x 1 2 3 -3 -1 -1 0 -2 1 y 2 2đ Hoành độ giao điểm của (d) và (C) là nghiệm x khác -1 của phương trình: x - 1 = x + m x + 1 2 x - 1 = x + m x - 1 = (x + 1)(x + m) x + 1 x + mx + m + 1 = 0 (*) ⇔ ⇔ 0,5 Để (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác - 1. 2 2 m > 2 + 2 2 m 4(m + 1) > 0 m - 4m - 4 = 0 m < 2 - 2 2 ⇔ − ⇔ ⇔ 0,5 1 Bài 2 4 điểm 1 2đ sin2x + cos2x + sinx + cosx + 1 = 0 ⇔ 2sinxcosx + 2cos 2 x + sinx + cosx = 0 ⇔ 2cosx(sinx + cosx) + sinx + cosx = 0 ⇔ (sinx + cosx)(2cosx + 1) = 0 1 4 t anx=-1 sinx+cosx=0 2 2 1 2cosx+1=0 3 cosx=- 2 2 2 3 x k x k x k π π π π π π = − + ⇔ ⇔ ⇔ = + = − + (với k ∈ Z) Phương trình có ba nghiệm: x = - 4 k π π + ; x = - 2 2 3 k π π + và x = - 2 2 3 k π π + (với k ∈ Z) 1 2 2đ ( ) 2 2 2 3 x + y = 3 x + y = 5 2 5 3 3 9 2 5 2 x y x y xy x y x y xy xy + = ⇔ + − = + = + = ⇔ ⇔ − = = 1 x, y là hai nghiệm của phương trình t 2 - 3t + 2 = 0 Giải phương trình được t = 1; t = 2 Hệ có hai nghiệm (1; 2) và (2; 1) 1 Bài 3 3 điểm 1 1,5đ Đặt u = lnx dx du = x ⇒ ⇒ 1 0 1 x u x e u = = ⇒ = = 1 2 3 1 2 0 1 0 ln 1 3 3 e x t I dx t dt x = = = = ∫ ∫ 2 1,5đ Điều kiện: 3n n N ≥ ∈ ( ) ( ) 2 3 ! ! 4 4 2! 2 ! 3 ! n n n n C A n n = ⇔ × = − − ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 2 4n n n n n n n⇔ − = − − ⇔ = − ⇔ = M = 4! 4 1 24 5 29 5! 120 120 + + + = = Bài 4 4 điểm 1 2đ Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng y = x + 2 tại điểm M(2; 4) nên tâm của nó nằm trên đường thẳng ( ∆ ) với đường thẳng: y = x + 2 tại điểm M. Phương trình ( ∆ ): y = - x + b Vì ( ∆ ) đi qua M nên 4 = - 2 + b ⇒ b = 6 Phương trình ( ∆ ): y = -x + 6 0,5 Vì tâm đường tròn thuộc trục Ox nên toạ độ tâm I thoả mãn: 6 6 (6;0) 0 0 y x x I y y = − + = ⇔ ⇒ = = 0,5 Vì đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng y = x + 2 tại điểm M nên: R 2 = IM 2 = (6 - 2) 2 + (0 - 4) 2 = 32 Đường tròn phải tìm là: (x - 6) 2 + y 2 = 32 1 2 2đ 'BD AC BD AC⊥ ⇒ ⊥ (định lí ba đường vuông góc) Tương tự ta có: ' ' ' 'BA AB BA AC⊥ ⇒ ⊥ Suy ra: AC' vuông góc với mặt phẳng (A'BB) 1 Gọi V là thể tích của khối đa diện Vì ABCDA'B'C'D' là hình lập phương nên ta có: 3 '. ' ' '. ' ' . ' . ' 1 ' ' ' ' 1 ' 3 2 6 B A C B D DA C A BDA C BDC B A B C V V V V B B a × = = = = × × = => V B.DA'C' = V ABCDA'B'C'D' - 4V B'.A'C'B = a 3 - 4 6 a 3 = a 3 - 2 3 a 3 = 3 3 a 1 5 4 điểm 1 2,5đ AB uuur = (-3; 6; -3) AC uuur = (-4; 5; 1) AD uuur = (-2; 4; -1) 1 C' A' B' D' D C B A Tính được: , (21;15;9)AB AC = uuur uuur ,AB AC AD × uuur uuur uuur = 21. (-2) + 15.4 + 9.(-1) = - 42 + 60 - 9 = 9 ≠ 0 1 Nên A,B,C,C là bốn điểm của một tứ diện 0,5 2 1,5đ Gọi S là diện tích tam giác ABC S= 2 2 2 1 1 , 21 15 9 747 2 2 AB AC = + + = uuur uuur 1 GHI CHÚ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. . & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 3 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 BT THPT Ngày thi: 24 - 3 - 2010 Bài Ý Đáp án và hướng. điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng ( α ) là M(1; -1; 3) 1 GHI CHÚ Nếu học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ (Gồm có 3 trang) KỲ. THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ DỰ BỊ (Gồm có 3 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2009 - 2010 MÔN THI: TOÁN LỚP: 12 BT THPT Bài Ý Hướng dẫn chấm Điểm Bài 1 5 điểm 1 3đ Tập xác định R {