Đề thi và đáp án HSG toan 12 tỉnh thanh hóa 2012-2013

là tài liệu tham khảo cho các bạn dự thi đội tuyển toán học sinh giỏi cấp tỉnh và ôn thi đại học

https://www.facebook.com/kick.la.hack SỞ GI O DÁ ỤC V À Đ O TÀ ẠO THANH HOÁ Đề chính thức Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011 2012– Môn Toán, Lớp 12 THPT Ng y thi: 23 tháng 3 nà ăm 2012 Thời gian l m b i 180 phút, không kà à ể thời gian giao đề. CâuI (4,0 điểm) Cho h m sà ố 3 2 1 2 3 1 3 y x x x= − + − + 1. Khảo sát sự biến thiên v và ẽ đồ thị đã cho 2. Gọi 3 2 ( ) 6 9 3f x x x x= − + − , tìm số nghiệm đã cho của phương trình: 3 2 [ ( )] 6[ ( )] 9 ( ) 3 0f x f x f x− + − = Câu II (4,0 điểm) 1. Giải phương trình : (1 sin )(1 2sin ) 2(1 2sin )cos 0x x x x+ − + + = . 2. Giải hệ phương trình: 2 3 3 2 2 ( ) (2 ) 2 2( 1) 1 0 x y x y x y x y x y x y y x − +  − = + + − − −   − − + =   Câu III (4,0 điểm) 1/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập.Tính xác suất để lấy được một số lớn hơn 2012. 2/Tính tích phân: 2 2 2 2 (sin cos ) 3sin 4cos x x I dx x x π π − + = + ∫ . Câu IV. (6,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2 ( ) : 9C x y+ = , đường thẳng : 3 3y x∆ = − + v à điểm (3,0)A .Gọi M l mà ột điểm thay đổi trên (C) v B l à à điểm sao cho tứ giác ABMO l à hình bình h nh.Tính dià ện tích tam giác ABM, biết trọng tâm G của tam giác ABM thuộc ∆ v G có tung à độ dương 2.Cho hình chóp S.ABCD, đáy l hình chà ữ nhật có AB=a v BC=2a, mà ặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) v (SCD) cùng tà ạo với đáy một góc bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA v BD bà ằng 2 6 a a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD b.Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA v BDà Câu V. (2,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thoả mãn 1 1 , , 1 3 2 x y z> > > và 3 2 1 2 3 2 2 1x y z + + ≥ + + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (3 1)(2 1)( 1)A x y z= − − − . ----------Hết----------- Thí sinh không được sử dụng t i lià ệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Nguyễn JustaTee Nabi 1 https://www.facebook.com/kick.la.hack SỞ GI O DÁ ỤC V À Đ O TÀ ẠO THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TO NÁ (Đề chính thức) Lớp 12 THPT Ng y thi: 23 tháng 3 nà ăm 2012 (Hướng dẫn gồm 04 trang) CÂU NỘI DUNG ĐIỂM I 1) 3,0 điểm 4,0 điể m ● Tập xác định: D = ¡ . ● Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 2 ' 4 3y x x= − + − ; '( ) 0 1y x x= ⇔ = hoặc 3x = . 0,5 H m sà ố nghịch biến trong khoảng: ( ; 1)−∞ v à (3; )+ ∞ ; đồng biến trên khoảng: (1; 3) . + Cực trị: H m sà ố đạt cực tiểu tại 1x = ; CT 1 3 y = − , đạt cực đại tại 3x = ; y CĐ 1= . + Giới hạn: lim x y →−∞ = +∞ ; lim x y →+∞ = −∞ . 1,0 + Bảng biến thiên 1,0 ● Đồ thị: + Đi qua điểm: (0; 1) v à 1 4; 3   −  ÷   . + Nhận xét: Đồ thị (C) đối xứng qua điểm 1 2; 3 I    ÷   . 0,5 2) 1,0 điểm Nguyễn JustaTee Nabi 2 x 1 3 0 0 y − ∞ + ∞ 1 3 − 1 y 1 1 3 4 x O 1 3 − https://www.facebook.com/kick.la.hack [ ] [ ] 3 2 ( ) 6 ( ) 9 ( ) 3 0f x f x f x− + − = (1) (1) [ ] [ ] 3 2 1 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 0 3 f x f x f x⇔ − + − + = . Đặt 3 2 1 ( ) 2 3 1 3 g x x x x= − + − + , ta có: (1) ( ( )) 0g f x⇔ = ( ) 0 ( ) g m m f x =  ⇔  =  ( ) 0 (2) ( ) (3). 3 g m m g x =   ⇔  − =   0,5 Số nghiệm của (1) l sà ố nghiệm của (3), với m nhận tất cả các giá trị thoả mãn (2). Từ đồ thị (C), suy ra (2) có 3 nghiệm m , thoả mãn: 0 1m< < , 1 3m< < v à 3 4m< < . Cũng từ (C), ta có: + Nếu 0 1m< < hay 1 0 3 3 m − < − < thì (3) có 3 nghiệm phân biệt. + Nếu 1 3m< < hay 1 1 3 3 m − < − <− thì (3) có đúng 1 nghiệm. + Nếu 3 4m< < hay 4 1 3 3 m − < − <− thì (3) có đúng 1 nghiệm. Rõ r ng, các nghià ệm của (3) trong 3 trường hợp trên l à đôi một khác nhau. Do đó (1) có đúng 5 nghiệm. 0,5 II 1) 2,0 điểm 4,0 điể m (1 sin )(1 2sin ) 2(1 2sin ) cos 0x x x x+ − + + = (1). (1) 2 2 2 cos sin (1 2sin ) 2(1 2sin ) cos sin 0 2 2 2 2 x x x x x x     ⇔ + − + + − =  ÷  ÷     cos sin 0 2 2 x x ⇔ + = (2) hoặc cos sin (1 2sin ) (2 4sin ) cos sin 0 2 2 2 2 x x x x x x     + − + + − =  ÷  ÷     (3) ● (2) tan 1 2 x ⇔ = − 2 2 x k π π ⇔ = − + . 1,0 ● (3) 3cos sin 2sin cos 6sin sin 0 2 2 2 2 x x x x x x⇔ − + − = 2 2 3cos sin 4sin cos 12sin cos 0 2 2 2 2 2 2 x x x x x x ⇔ − + − = 3 3 3sin 4sin 12cos 9cos 0 2 2 2 2 x x x x ⇔ − + − = 3 3 sin 3cos 0 2 2 x x ⇔ + = 2 2 3 3 x l α π ⇔ = + , tan 3 α = − . Vậy, (1) có nghiệm: 2 2 x k π π = − + hoặc 2 2 3 3 x l α π = + , tan 3 α = − (với ,k l ∈ ¢ ). 1,0 2) 2,0 điểm 2 3 3 2 2 ( ) (2 ) 2 (1) 2( 1) 1 0 (2). x y x y x y x y x y x y y x − +  − = + + − − −   − − + =   + Điều kiện: 0, 2 0x y x y+ ≥ − ≥ (*). 1,0 Nguyễn JustaTee Nabi 3 https://www.facebook.com/kick.la.hack + Khi đó: 2 (1) 2 (2 ) 2 2 ( ) x y x y x y x y x y x y − + ⇔ + − − = + + + . Xét h m à ( ) 2 t f t t t= + , suy ra: (1) có dạng (2 ) ( )f x y f x y− = + . Mặt khác ( )f t đồng biến, do đó (1) 2x y x y⇔ − = + hay 2x y= . + Thế v o (2), ta à được: 3 3 1 2(2 1)y y+ = − (3). Đặt 3 2 1y t= − , phương trình (3) trở th nh hà ệ: 3 3 (2 1) (2 1) t y y t  = −   = −   Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được: ( ) 2 2 do 2(2 1) 2(2 1)(2 1) 2(2 1) 1 0 ,t y y y t t y t= − + − − + − + > ∀ Thế v o hà ệ: 3 (2 1)y y= − 3 2 8 12 5 1 0y y y⇔ − + − = 2 ( 1)(8 4 1) 0y y y⇔ − − + = 1y⇔ = . 1 2y x= ⇒ = , thoả mãn (*). Vậy, hệ đã cho có nghiệm (duy nhất): ( ; ) (2; 1)x y = . 1,0 III 1) 2,0 điểm 4,0 điể m ● Lập số chẵn dạng abcd . Đặt { } 0, 1, 2, 3, 4E = . + Chọn 0d = , chọn thứ tự , ,a b c trong tập { } \ 0E có 3 4 24A = cách. Dạng n y có 24 sà ố. + Chọn 0d ≠ có 2 cách, chọn { } \ 0,a E d∈ có 3 cách, chọn b v à c thứ tự trong tập { } \ ,E d a có 2 3 6A = cách. Dạng n y có à 2.3.6 36= số. Lập được 24 36 60+ = số. 1,0 ● Tính số các số chẵn lập được không lớn hơn 2012, có dạng 1bcd : Chọn d chẵn có 3 cách, chọn b v à c thứ tự trong tập { } \ 1,E d có 2 3 6A = cách. Dạng n y có: à 3.6 18 = số. Suy ra số lớn hơn 2012 có 60 18 42 − = số. Xác suất cần tính: 42 7 60 10 P = = . 1,0 2) 2,0 điểm 0 2 2 2 2 2 0 2 (sin cos )d (sin cos )d 3sin 4cos 3sin 4cos x x x x x x I x x x x π π − + + = + + + ∫ ∫ Đặt x t = − , ta có: 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 (sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d ( sin cos )d 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos 3sin 4cos x x x t t t t t t x x x x x t t t t x x π π π π − + − + − + − + = − = = + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ . 1,0 Suy ra: 2 2 2 2 2 0 0 cos d dsin 2 2 3sin 4cos 4 sin x x x I x x x π π = = + − ∫ ∫ 2 0 1 1 1 dsin 2 sin 2 sin 2 x x x π   = −  ÷ + −   ∫ 2 0 1 sin 2 ln 2 sin 2 x x π  +  =  ÷ −   1 ln3 2 = . 1,0 IV 1) 3,0 điểm 6,0 điể m (C) có tâm O(0; 0), bán kính 3R = . Nhận xét: ( )A C OA OM∈ ⇒ = ⇒ ABMO l hình thoi à ⇒ AM OB ⊥ . Gọi I AM OB = ∩ ⇒ 4 3 OG OI= . 1,0 Nguyễn JustaTee Nabi 4 x y O M B A G K I https://www.facebook.com/kick.la.hack Kẻ //GK AM , K OA ∈ , ta có: 4 3 OK OA= uuur uuur ⇒ (4; 0)K . //GK AM ⇒ GK OB⊥ . Suy ra G thuộc đường tròn đường kính OK . Toạ độ ( ; ), 0G x y y > thoả mãn: 2 2 3 3 ( 2) 4 y x x y  = − +   − + =   ( ) 2 2 3 3 1 3 4 x y y y  = + −  ⇔  + − + =   2 3 3 2 2(1 3) 2 3 0 x y y y  = + −  ⇔  + − − =   (3; 3) (do 0)G y⇒ > . 1,0 Diện tích: ( ) ( ) ( ) ( ) 9 2 2. . 16 AMB OAM OAI OKG S S S S ∆ ∆ ∆ ∆ = = = 9 .d( , ) . 8 2 OK G Ox = 9.4. 3 16 = 9 3 4 = . 1,0 2) 3,0 điểm a) Gọi H l hình chià ếu của S trên ( )ABCD , suy ra H AB∈ (do ( ) ( )SAB ABCD⊥ ). CB HB ⊥ , suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( )SBC v à ( )ABCD l à · SBH . Hạ ( )HE CD E CD⊥ ∈ , suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( )SCD v à ( )ABCD l à · SEH . Do đó · · SBH SEH= 2HB HE a ⇒ = = . Ta được //BD AE //( )BD SAE⇒ d( , ) d( ,( )) d( ,( ))SA BD B SAE H SAE⇒ = = (do A l trung à điểm HB ) 2 d( ,( )) 6 a H SAE⇒ = . 1,0 Nhận xét rằng , ,HA HE HS đôi một vuông góc, suy ra: 2 2 2 2 1 1 1 1 d ( ,( ))H SAE HA HE HS = + + 2 2 2 2 3 1 1 1 2 4a a a HS ⇔ = + + 2SH a ⇔ = . Thể tích: 3 ( . ) ( ) 1 4 . 3 3 S ABCD ABCD a V S SH= = . 1,0 b) //BD AE , suy ra góc giữa hai đường thẳng SA v à BD l à · SAE . Áp dụng định lý h m sà ố côsin cho tam giác SAE , với 2 2 5AE SA SH HA a= = + = và 2 2 2SE SH a= = , ta có: · · 2 2 2 1 cos( , ) cos 2. . 5 SA AE SE SA BD SAE SA AE + − = = = . 1,0 V 2,0 điể m Đặt 3 1 , 2 1 , 1x a y b z c− = − = − = ; ta có: , ,a b c l các sà ố dương v à A abc = . Khi đó: 3 2 1 2 3 2 2 1x y z + + ≥ + + 3 2 1 2 3 2 1a b c ⇔ + + ≥ + + + 3 2 3 2 1 a b c a b c   ⇔ − + + ≥  ÷ + + +   0,5 Nguyễn JustaTee Nabi 5 S A B C D E t H https://www.facebook.com/kick.la.hack 1 3 2 1 a b c a b c ⇔ + + ≤ + + + . Suy ra: 1 2 1 3 b c a b c a + ≤ − + + + hay 3 2 3 2 1 ( 2)( 1) b c bc a b c b c ≥ + ≥ + + + + + (1). 0,5 Tương tự: 2 2 2 ( 1)( 3) ca b c a ≥ + + + (2) v à 1 2 1 ( 3)( 2) ab c a b ≥ + + + (3). Nhân vế tương ứng của (1), (2) v (3), ta à được: 3 4 A ≤ . 0,5 Dấu bằng xảy ra, khi v chà ỉ khi: 1 3 2 1 3 a b c a b c = = = + + + 3 1 , 1, 2 2 a b c⇔ = = = 9 3 , 3, 2 2 x y z⇔ = = = . Vậy, max 3 4 A = . 0,5 ………………………………. H……… ẾT .……………………………………………… Nguyễn JustaTee Nabi 6 . TÀ ẠO THANH HÓA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011-2 012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TO NÁ (Đề chính thức) Lớp 12 THPT Ng y thi: 23 tháng 3 nà ăm 2 012 (Hướng. ỤC V À Đ O TÀ ẠO THANH HOÁ Đề chính thức Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học: 2011 2 012 Môn Toán, Lớp 12 THPT Ng y thi: