Đang tải... (xem toàn văn)
Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó.. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình[r]
(1)UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015 - 2016
Mơn: Tốn – Lớp 12
Câu Lời giải sơ lược Điểm
1 3,0
Hoành độ M N nghiệm pt:
2
(3 ) ( 4) 0(1)
2
1
x m x m
x
x m x x
ìï + - - + =
- ïï
= - + Û íï ¹
-+ ïïỵ
0,5 Vì D = m2 - 2m + 25> 0, "m x = - không nghiệm ( )1 nên ( )1 có hai
nghiệm phân biệt khác - 1,"m Þ ( )d cắt ( )C hai điểm phân biệt
0,5 Do điểm O A thuộc đường thẳng D :y = - x nên để OA MN hình bình hành
5
MNOA 0,5
Gọi M x( ;1 - x1 + m),N x( ;2 - x2 + m) với x x1, 2 nghiệm ( )1 Ta có
1
3
( 4)
x x m
x x m
ìï + =
-ï
íï = - +
ïỵ 0,5
2 2
1 2
2( ) ( ) 4 50
MN x x éx x x x ù m m
Þ = - = êë + - úû= - +
2
5 2 50 50
0 m
MN m m
m é = ê
= Þ - + = Û ê
= êë
0,5 + m = O A M N, , , thẳng hàng nên không thỏa mãn
+ m = thỏa mãn Chú ý:
Học sinh sử dụng điều kiện OA = NM uuur uuuur
cho tối đa điểm Nếu không loại trường hợp m = 0 trừ 0,5đ
0,5
2.1 2,5
PTÛ cos2 cosx x = +1 sin 2x + cos2x Û cos (2 cosx x - 1)= 1+ sinxcosx 0,5
2 2
(cos x sin x)(2 cosx 1) (cosx sin )x
Û - - = +
cos sin (1)
(cos sin )(2 cos 1) cos sin (2)
x x
x x x x x
é + =
ê
Û ê - - = +
êë
1,0
(1) sin
4 4
x p x p kp x p kp
ổ ửữ
ỗ ữ
ỗỗ + ữữ= + = = - +
ỗố ứ 0,5
( )
cos
2
(2) cos (cos sin 1)
2 cos
2
4
x x k
x x x k
x
x k
p p p
p p
p é
é = ê =
+
ê ê
ê ỉ ư
Û - - = ờ ỗ ữ ờ ẻ
ữ
+ =
ỗ ữ
ờ ỗỗố ữứ ê + = ± +
êë ë
¢
Vậy pt có nghiệm
4
x = - p + kp, , ( )
x = p + kp x = k p k ẻ Â
0,5
2.2 2,5
( )
( ) ( ) ( )( )
2
2 2
,
4 4 1
x xy y x y
x y
x x x x y x
ìï - - - + - - + =
ïï Ỵ
íï - - - + - - - =
-ïïỵ ¡
Điều kiện 1;
2
x ³ - £ y £ -
Phương trình ( )1 Û (x - y - 2)(x + 2)+ ( 2x- 1- 2y + 3)=
(2)Trường hợp 1:
1
2
3 x
x y
y ìïï = ïïï
- + + = Û í
ïï = -ïïïỵ
, khơng thỏa mãn hệ phương trình Chú ý:
Nếu khơng xét trường hợp - 1x + 2y + = 0 trừ 0,25đ Trường hợp 2: 2x - 1+ 2y + ¹
( )1 ( 2)( 2) 2( 2)
2
x y
x y x
x y
-
-Û - - + + =
- + +
Û x- y - 2= ( Vì ( 2) 0,
2
x
x y
+ + > "
- + +
1
;
2
x ³ - £ y £ - )
0,5
Thế vào phương trình ( )2 ta
( ) ( ) ( )
4x - 4x - 2x - 1+ x - 1- x - 3x + 7= , ĐK 1;1 x Ỵ ê úéê ùú
ë û
Với 1;1 x Ỵ ê úéê ùú
ë û
ta có
2
4 4
2 1
2 1.1
2
x x
x
x x
ìï - - < ïïï
í - +
ï - £ =
ïïïỵ ( Theo bất đẳng thức Cauchy)
Kết hợp với phương trình ( )3 ta có
( ) ( )
0³ x 4x - 4x - - 3x + 7+ x - 1- x
1,0
( )
3
0 4x 4x 7x x 1 x
Û ³ - - + + -
-( )( )
0 x 4x x
Û ³ - - -
Û x = (
7 0; 0, ;1
2
x x x x éê ùú
- - - > - ³ " Ỵ ê ú
ë û
)
Với x = thỏa mãn phương trình ( )3 Þ y = - Vậy hệ có nghiệm ( ) (x y; = 1; - )
0,5
Cách
( )3 Û êé(2x - 1)2 - 5ùú 2x - 1= ( 1- x)3 - 1( - x)-
ê ú
ë û
( ) ( ) ( )
5
2x - 2x 1 x - x -
Û - - = -
-Đặt 2x - 1= a, 1- x = b với 0;1 , 0; a Î é ùê úë ûbÎ éêê ùúú
ë û
Xét hàm số f a( )= a5 - 5a é ùê úë û0;1 ,
g b( )= b3- 3b2 - 0;
é ù
ê ú
ê ú
ë û
Sử dụng phương pháp hàm số ta
( ) 4, 0;1
f a ³ - " Ỵ ê úa é ùë û, ( ) 4, 0;
g b b
é ù
ê ú
£ - " Î ê ú
ë û
(3)3.1 2,0
M
E
D C
B
A
Tọa độ điểm A thỏa mãn
( )
5
1;
5 14
x y x
A
x y y
ì ì
ï - - = ï =
ï Û ï Þ
í í
ï - + = ï =
ï ï
ỵ ỵ
0,5
Cách 1: Xét hai tam giác A EM CDM
· · ·
90
A EM = + EBD = MDC
ME ME MD MD
EA = ED = BD = CD ( Vì DMDE,DDBE hai tam giác đồng dạng)
· · ·
90
A ME CMD A ME CME CMD CME CM MA
Þ = Þ + = + = Þ ^
Cách 2: Ta có DMDE,DMBD đồng dạng nên MDE· MBD· ,ME DE
MD BD
= = hay
ME BD = DE MD
( )( )
· ·
cos cos
A M CM A E EM CD DM A E DM EM CD
DE DM MDE EM DB MBD
= + + = +
= - + =
uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuur Do đó, A M ^ CM
0,5
Đường thng CM qua 8; 5 Mổỗỗỗ ửữữữữ
ỗố ứ, vect phỏp tuyn
4
;
5
A M = ổỗỗỗ - ửữữữữ
ỗố ứ
uuuur
cú phng trỡnh
9
4 7
5
x y x y
ổ ửữ ổ ửữ
ỗ - ữ- ỗ - ữ= - + =
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
ố ø è ø
Tọa độ điểm C thỏa mãn ( )6;
5 14
x y x
C
x y y
ì ì
ï - + = ï =
ï Û ï Þ
í í
ï - + = ï =
ï ï
ỵ ỵ
0,5
Gọi B b b( ; - 2) ta có
( 1)2 (5 5)2 26 b
A B A C b b
b é = ê
= Þ - + - = Û ê
= êë
( )
0 0;
b= Þ B - thỏa mãn ( )
2 2;
b= Þ B loại M nằm ngồi DA BC Chú ý: Nếu khơng loại điểmB( )2; trừ 0,25 điểm
0,5
3.2 2,0
Vì A Ỵ d B1; Ỵ d2 nên ta đặt A(- 1+ a; 2- + ;a a B) (, 2+ ;1b + b;1+ b)
( 3; 3; 1)
A B a b a b a b
Þ uuur = - + + - + + - + + 0,5
Do A B song song với ( )P nên A B ^ nP = (1;1; 2- )Û b= a- uuur uur
Suy ra, A B = (a- 5;- a- 1; 3- ) uuur
Do đó, ( )2 ( )2 ( )2
5 35
A B = a- + -a- + - = a - a +
(4)Suy ra, 2 35 45 a
A B a a
a é = -ê
= Û - + = Û ê
= êë
( ) ( )
1 2; 4; , 6; 0;
a = - Þ A - - - A B - -uuur
(thỏa mãn) Þ PT
2
:
1
x t
d y
z t
ìï = - + ïï
ï = -íï
ï = - + ïïỵ
0,5
( ) ( )
5 4; 8; , 0; 6;
a = Þ A A B - -uuur
(thỏa mãn) Þ PT
4
:
5 x
d y t
z t
ìï = ïï
ï = +
íï
ï = +
ïïỵ
Chú ý: Nếu học sinh không kiểm tra lại điều kiện A B / /( )P thống cho điểm tối đa
0,5
4 2,5
y C
6
y x
N M
B A
Dựng hình chữ nhật A BNC
(· ) (· )
, , 60
A M BN = A M A C = Ta có
( )
A B A M A B A M
A B A CM A B BN A B A C
ì ì
ï ^ ï ^
ï Þ ï Þ ^
í í
ï ^ ï ^
ï ï
ỵ ỵ
0,5
·
1 1 3
sin
3 6 2
A BNM MA BC A CM
V = V = A B S = A B A C A M CA M = x y = xy 0,5
( )2
3
8
2
A BNM
x y
V = xy £ + = Dấu xảy x = y = 0,5
Khi A M = BN = A C =
Lại có A B / /CN Þ CN ^ (A MC)Þ CN ^ CM Þ MN2 = CM2 + CN2 Mặt khác MA C· = 600 MA C· = 1200
0,5 Trường hợp 1: ·
60
MA C = Þ DAMC Þ CM = 4Þ MN = 42 + 62 = 13
Trường hợp 2: ·
120 MA C =
2 2
2 cos120 48 48 41
CM A M A C A M A C MN
Þ = + - = Þ = + =
Chú ý: Nếu học sinh tính kết MN cho 0,5 điểm tổng số 1,0 điểm.
0,5
5.1 2,0
( )
3
1
2
0
ln
2
1
x x
x
I dx dx I I
x x
+ +
= + = +
+ +
ò ò
Ta có ( )
2
3
1 2 2
0
1
1
d x x
I dx
x x
+
= =
+ +
ò ò
0
2 x
= + =
(5)Đặt ( )
2
ln
1 dx
t x x dt
x
= + + Þ =
+
Đổi cận x = 0Þ t = 0; x = Þ t = ln 2( + 3)
0,5
Do
( ) ( ) ( )
ln ln
2
0
ln
2
t
I tdt
+ +
+
= ò = = Vậy 1ln2( 2)
2
I = + + 0,5
5.2 2,0
Xét hàm số f x( )= (x2 + x + 1)n = a0 + a x1 + a x2 + + a x2n 2n
( ) ( )( ) 2
1
' 1
n
n n
f x n x x x a a x a x na x
-= + + + = + + + +
( )
' 3n n 324
f = n = a + a + a + + na = Þ n.3n = 324
1,0
Nếu
4 3n 4.3 324
n > Þ n > = (Loại) Nếu 1£ n < 4Þ n.3n < 4.34 = 324 (Loại)
Mà n = thỏa mãn n.3n = 324. Vậy n = 4 giá trị cần tìm
Chú ý: Nếu học sinh nhẩm trường hợp n = 4 cho 0,25 điểm
1,0
6 1,5
Ta chứng minh a ba b £ 1Û alna +blnb£
Ta có lnx £ x - 1," >x Thật vậy, xét hàm số f x( )= lnx - x +
( ) ( )
' 1, '
f x f x x
x
= - = Û =
Từ BBT suy ra, f x( )£ f( )1 = 0Þ lnx £ x - 1," >x
Do đó, ( ) ( ) ( ) ( ) (2 )
3 lna a- a - a £ 3a a- - a - a = - a- a+ £ 0," >a
4
3 lna a a a
Þ £ - Tương tự Þ lnb b£ b- b4
Do đó, 4
3 lna a + lnb b£ a- a + -b b = 0Þ alna +blnb£ Dấu xảy a = b=
0,75
Ta chứng minh 3 3
1£ a ba b Û a lna+b lnb³
Ta có ( ) ( ) ( )
2
2
4
2 , 0;2
2
a b a b
a+ b= a + b ³ + ³ + Þ a+ £b Þ a bỴ
0,25
Xét hàm số ( ) ( )
4
3 ln x x, 0;2
g x x x
x
-= - Ỵ
( ) ( )( )
2
3
1 2
3
'
x x x
g x
x x x
- +
-= - - =
( )
'
g x = có nghiệm x = ( )0;2
Từ BBT suy g x( )³ g( )1 = 0Þ 3x3lnx ³ x4 - x," Ỵx ( )0;2
Do đó, 3 4
3a lna+ 3b lnb³ a - a +b - b= Dấu xảy a = b=
0,5
1 Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác tính điểm tối đa
2 Với cách giải khác đáp án, tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho phần Mọi vấn đề phát sinh q trình chấm phải trao đổi tổ chấm cho điểm theo thống tổ