¤n Thi tốt N GHI ỆP THPT . N¨m häc : 2008 - 2009 ĐỀ 3 ( Thời gian làm bài 150 phút ) I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) Cho hàm số 4 2 y x 2x 1= − − có đồ thị (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). b. Dùng đồ thị (C ) , hãy biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4 2 x 2x m 0 (*)− − = . Câu II ( 3,0 điểm ) a. Giải phương trình: 4 x 2 log + x- 6 = 0. b. Tính tích phân : I = 1 x x(x e )dx 0 + ∫ c. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 2 2x 3x 12x 2+ − + trên [ 1;2]− . Câu III ( 1,0 điểm ) Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vuông góc với nhau từng đôi một với SA = 1cm, SB = SC = 2cm .Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu đó . II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) Thí sinh học chương trình nào thì làm chỉ được làm phần dành riêng cho chương trình đó 1. Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A( − 2;1; − 1) ,B(0;2; − 1) ,C(0;3;0) , D(1;0;1) . a. Viết phương trình đường thẳng BC . b. Chứng minh rằng 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng . c. Tính thể tích tứ diện ABCD . Câu V.a ( 1,0 điểm ) : a) Tính 2009 i . b) Giải phương trình trên tập số phức: x 2 + 2x + 7 = 0 2. Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; − 1;1) , hai đường thẳng x 1 y z ( ): 1 1 1 4 − ∆ = = − , x 2 t ( ): y 4 2t 2 z 1 = − ∆ = + = và mặt phẳng (P) : y 2z 0+ = a. Tìm điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng ( 2 ∆ ) . b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng ( ) ,( ) 1 2 ∆ ∆ và nằm trong mặt phẳng (P) . Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Tìm m để đồ thị của hàm số 2 x x m (C ): y m x 1 − + = − với m 0≠ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tuếp tuyến với đồ thị tại hai điểm A,B vuông góc nhau . - 1 - ¤n Thi tốt N GHI ỆP THPT . N¨m häc : 2008 - 2009 . . . . . . . .Hết . . . . . . . HƯỚNG DẪN I . PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm ) Câu I ( 3,0 điểm ) a) 2đ x −∞ 1− 0 1 +∞ y ′ − 0 + 0 − 0 + y +∞ 1− +∞ 2− 2− b) 1đ pt (1) 4 2 x 2x 1 m 1 (2)⇔ − − = − Phương trình (2) chính là phương trình điểm chung của ( C ) và đường thẳng (d) : y = m – 1 Căn cứ vào đồ thị (C ) , ta có : m -1 < -2 ⇔ m < -1 : (1) vô nghiệm m -1 = -2 ⇔ m = -1 : (1) có 2 nghiệm -2 < m-1<-1 ⇔ -1 < m < 0 : (1) có 4 nghiệm m-1 = - 1 ⇔ m = 0 : (1) có 3 nghiệm m – 1 > -1 : (1) có 2 nghiệm Câu II ( 3,0 điểm ) a) 1đ Điều kiện : 0 < x , x 1≠ 2 x 2 x 2 2 2 log x 2log 2 1 2 pt 3 1 log x 2log 2 1 0 log x log x 2 0 2 1 log x 1 x 2 log x 2 x 4 − + + ⇔ = ⇔ − + + = ⇔ − − = = − = ⇔ ⇔ = = b) 1đ Ta có : 1 1 1 x 2 x I x(x e )dx x dx xe dx I I 1 2 0 0 0 = + = + = + ∫ ∫ ∫ với 1 1 2 I x dx 1 3 0 = = ∫ 1 x I xe dx 1 2 0 = = ∫ .Đặt : x u x,dv e dx= = . Do đó : 4 I 3 = c) 1đ Ta có : TXĐ D [ 1;2]= − x 2 (l) 2 2 y 6x 6x 12 , y 0 6x 6x 12 0 x 1 = − ′ ′ = + − = ⇔ + − = ⇔ = Vì y( 1) 15,y(1) 5,y(2) 6− = = = nên Miny y(1) 5 , Maxy y( 1) 15 [ 1;2] [ 1;2] = = = − = − − Câu III ( 1,0 điểm ) Gọi I là trung điểm của AB . Từ I kẻ đường thằng ∆ vuông góc với mp(SAB) thì ∆ là trục của SAB ∆ vuông . Trong mp(SCI) , gọi J là trung điểm SC , dựng đường trung trực của cạnh SC của SCI ∆ cắt ∆ tại O là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC . - 2 - ¤n Thi tốt N GHI ỆP THPT . N¨m häc : 2008 - 2009 Khi đó : Tứ giác SJOI là hình chữ nhật . Ta tính được : SI = 1 5 AB 2 2 = , OI = JS = 1 , bán kính R = OS = 3 2 Diện tích : S = 2 2 4 R 9 (cm )π = π Thể tích : V = 4 9 3 3 R (cm ) 3 2 π = π II . PHẦN RIÊNG ( 3 điểm ) . 1. Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : a) 0,5đ (BC) : x 0 Qua C(0;3;0) (BC): y 3 t + VTCP BC (0;1;1) z t = + ⇒ = + = = uuur b) 1,0đ Ta có : AB (2;1;0),AC (2;2;1),AD (3; 1;2)= = = − uuur uuur uuur [AB,AC] (1; 2;2) [AB,AC].AD 9 0 A,B,C,D= − ⇒ = ≠ ⇒ uuur uuur uuur uuur uuur không đồng phẳng c) 0,5đ 1 3 V [AB,AC].AD 6 2 = = uuur uuur uuur Câu V.a ( 1,0 điểm ) : P = -2 2. Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : a) 1đ Gọi mặt phẳng Qua M(1; 1;1) Qua M(1; 1;1) (P): (P): (P): x 2y 3 0 + ( ) + VTPT n = a ( 1;2;0) 2 P 2 + − + − ⇒ ⇒ − − = ⊥ ∆ = − r r Khi đó : 19 2 N ( ) (P) N( ; ;1) 2 5 5 = ∆ ∩ ⇒ b) 1đ Gọi A ( ) (P) A(1;0;0) , B ( ) (P) B(5; 2;1) 1 2 = ∆ ∩ ⇒ = ∆ ∩ ⇒ − Vậy x 1 y z (m) (AB): 4 2 1 − ≡ = = − Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Pt hoành độ giao điểm của (C ) m và trục hoành : 2 x x m 0 (*) − + = với x 1≠ điều kiện 1 m , m 0 4 < ≠ Từ (*) suy ra 2 m x x= − . Hệ số góc 2 x 2x 1 m 2x 1 k y 2 x 1 (x 1) − + − − ′ = = = − − Gọi x ,x A B là hoành độ của A,B thì phương trình (*) ta có : x x 1 , x .x m A B A B + = = Hai tiếp tuyến vuông góc với nhau thì y (x ).y (x ) 1 5x x 3(x x ) 2 0 5m 1 0 A B A B A B ′ ′ = − ⇔ − + + = ⇔ − = 1 m 5 ⇔ = thỏa mãn (*) Vậy giá trị cần tìm là 1 m 5 = - 3 - . làm phần dành riêng cho chương trình đó 1. Theo chương trình chuẩn : Câu IV.a ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 4 điểm A( − 2;1; − 1) ,B(0;2; − 1) ,C(0;3;0) , D(1;0;1). trên tập số phức: x 2 + 2x + 7 = 0 2. Theo chương trình nâng cao : Câu IV.b ( 2,0 điểm ) : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(1; − 1;1) , hai đường thẳng x 1 y z ( ): 1 1 1 4 − ∆. ( 2 ∆ ) . b. Viết phương trình đường thẳng cắt cả hai đường thẳng ( ) ,( ) 1 2 ∆ ∆ và nằm trong mặt phẳng (P) . Câu V.b ( 1,0 điểm ) : Tìm m để đồ thị của hàm số 2 x x m (C ): y m x 1 −