PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 9-NH:09-10 MÔN : TOÁN 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1(1đ) : Tìm số dư trong phép chia Q = 3 8 + 3 6 + 3 2004 cho 91 Bài 2(2đ): Tính giá trị của biểu thức: a/ A = 1 1 1 3 3 2 3 + + .x với x = 5 1 12 6 − b/ B = x 3 + 3x + 2 với x = 3 3 1 2 1 2 1 − − − Bài 3(3đ) : Cho M = 2 1 2 1 . 1 1 2 1 a a a a a a a a a a a a + − − + − + − ÷ ÷ − − − với a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 1 4 a/ Rút gọn M b/ Cho M = 6 1 6+ . Tìm giá trị của a ? c/ Chứng minh rằng M 2 3 〉 Bài 4(2đ) : Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đường tròn tâm O, có đường cao AH. Gọi I,J,K theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABH, ABC và AHC. Đường thẳng IK cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. a/ Chứng minh : J là trực tâm của tam giác AIK. b/ Chứng minh S (AMN) ≤ 1 2 S (ABC) . Bài 5(2đ) : Cho tam giác đều ABC cạnh a . Trên các canh BC, CA lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BM=CN . Hai đường cao AH và BK của tam giác cắt nhau tại O a/ Chứng minh rằng H, K và trung điểm I của MN thẳng hàng. b/ Xác định vị trí của M trên BC và N trên CA để MN ngắn nhất. Họ và tên học sinh : Số Báo danh : ĐỀ CHÍNH THỨC KHẢO SÁT HSG 9-NH: 2009-2010 BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOAN 9 Bài Câu Nội dung Điểm 1(1đ) 1(đ) Ta có 3 6 - 1 = 729 -1 =728 M 91 Do đó Q=3 8 + 3 6 + 3 2004 = (3 8 - 3 2 )+ (3 6 - 1) + (3 2004 - 1) + 3 2 + 1 + 1 = 3 2 (3 6 - 1) + (3 6 - 1) + [(3 6 ) 334 - 1 334 ] + 11 Vì : 3 6 - 1 M 91 ; (3 6 ) 334 - 1 334 M 3 6 - 1 (a n - b n M a - b) Nên Q chia cho 91 dư 11 0.25 0.25 0.25 0.25 2(2đ) a(1đ) x = 5 1 12 6 − = 5 2 6 12 − = ( ) 2 3 2 12 − = 3 2 2 3 − Nên A = 1 1 1 3 3 2 3 + + . 3 2 2 3 − = 3 2 3 2 3 6 6 − + + = 2 3 2 3 2 6 + + − = 3 2 0.5 0.25 0.25 b(1đ) Đặt a = 3 2 1− , b = 3 1 2 1− => 1 x a b ab = − = Do đó x 3 = (a - b) 3 = a 3 - b 3 - 3ab(a - b) x 3 = 1 2 1 2 1 − − − - 3x x 3 = 2 1 2 1− − − - 3x x 3 = - 2 - 3x x 3 + 3x + 2 = 0 Vậy B = 0 0.25 0.25 0.25 0.25 3(3đ) a(1đ) M = 2 1 2 1 . 1 1 2 1 a a a a a a a a a a a a + − − + − + − ÷ ÷ − − − với a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 1 4 = 1 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 . 2 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a + − − + − − − − + − + + = 1 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 1 . 2 1 1 1 1 a a a a a a a a a a a a a a a + − + + − + − + − − − − + + + = 1 + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 1 a a a a a a a a a a a + − + + − − − + + + − = 1 - ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 a a a a a a a + − + + + − = 1 - 1 a a a+ + = 1 1 a a a + + + 0.25 0.25 0.25 0.25 b(1đ) M = 6 1 6+ 1 1 a a a + + + = 6 1 6+ 1 6 6a a+ + + = 6 6 6a a+ + 6 1 0a a− + = 6 4 2, 2∆ = − = ∆ = 1 1 6 2 2 3 2 a a + = => = + 2 2 6 2 2 3 2 a a − = => = − 0.25 0.25 0.25 0.25 c(1đ) Ta có ( ) 2 1 0a − ≥ nên 1 2a a+ ≥ hay 1 2 a a + ≤ Do đó ( ) 1 3 1 1 1 2 2 a a a a a + + + ≤ + + = + (1) Vì a >0 nên 1 0a a+ + > , chia 2 vế của (1) cho ( ) 3 1 2 a a+ + ta được 1 2 3 1 a a a + ≥ + + Vì a ≠ 1 nên dấu = không xãy ra . Vậy M 2 3 > 0.25 0.25 0.25 0.25 4(2đ) a(1đ) 0.25 0.25 0.25 0.25 b(1đ) ∆ MAN có AJ là phân giác cũng là đường cao nên ∆ MAN vuông cân tại M. Suy ra AM = AN . Cm : ∆ AMI = ∆ AHI (g-c-g) Suy ra : AM = AN = AH S (AMN) = 1 2 AM.AN = 1 2 AH 2 ≤ 1 2 AH.AO = 1 2 . 1 2 AH.BC S (ABC) = 1 2 AH.BC Suy ra : S (AMN) ≤ S (ABC) 0.25 0.25 0.25 0.25 · · ABH HAC= (Tam giác ABC vuông tại A) Suy ra : · · ABI C AK= Nên · · · · BAK ABI BAK CAK+ = + = · 0 90BAC = => BI ⊥ AK (Cm tương tự): CK ⊥ AI Vậy J là trực tâm cua ∆ AIK 5(2đ) a(1đ) (a), (b), (c) Suy ra : · · MIH NIK= H,I,K thẳng hàng 0.25 0.25 0.25 0.25 b(1đ) Vẽ NP vuông góc BC. Đặt CN = x (0 ≤ x ≤ a) Tính được : NP = 3 2 x ; CP = 2 x ; MP = 3 2 x a − Từ đó MN 2 = NP 2 + MP 2 = 3x 2 - 3ax + a 2 = 2 2 2 3 2 4 4 a a a x − + ≥ ÷ Suy ra MN ≥ 2 a = HK Do đó MN ngắn nhất khi M ≡ H và N ≡ K 0.25 0.25 0.25 0.25 Chú y: * Không làm tròn điểm toàn bài * Nếu HS làm cách khác đi đến đung kết quả thì được điểm tối đa. ( )BOM CON g c g∆ = ∆ − − => · · à MO = NOBOM CONv= ∆ MON cân tại O có OI là trung tuyến nên OI Là đường cao . Tứ giác MHIO nội tiếp Suy ra · · MIH MOH= (a) Tứ giác NIOK nội tiếp Suy ra · · NIK NOK= (b) · · 0 à MOH 60M BOM= − · · 0 60NOK CON= − Nên · · MOH NOK= (c) . PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC KHẢO SÁT CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG 9- NH: 09- 10 MÔN : TOÁN 9 Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1(1đ) : Tìm số dư trong phép chia Q = 3 8 + 3 6 + 3 2004 cho 91 Bài 2(2đ): Tính. tên học sinh : Số Báo danh : ĐỀ CHÍNH THỨC KHẢO SÁT HSG 9- NH: 20 09- 2010 BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOAN 9 Bài Câu Nội dung Điểm 1(1đ) 1(đ) Ta có 3 6 - 1 = 7 29 -1 =728 M 91 Do đó Q=3 8 + 3 6 + 3 2004 . (3 6 - 1) + [(3 6 ) 334 - 1 334 ] + 11 Vì : 3 6 - 1 M 91 ; (3 6 ) 334 - 1 334 M 3 6 - 1 (a n - b n M a - b) Nên Q chia cho 91 dư 11 0.25 0.25 0.25 0.25 2(2đ) a(1đ) x = 5 1 12 6 − = 5