Đề thi HS giỏi 9 có Hướng dẫn chấm

PHÒNG GIAO DỤC & ĐT VĨNH LINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 9 Năm học 2009-2010 Bài 1: Cho một số A gồm 4 chữ số và A là số chính phương. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì được một số B cũng là một số chính phương. Hãy tìm các số A bà B. Bài 2: Không dùng máy tính cầm tay hãy so sánh: 3 +  với   + Bài 3: Không dùng máy tính cầm tay hãy tính giá trị của biểu thức: ( )            − + +  ÷   Bài 4: Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên và tìm giá trị nguyên đó của phân thức:        Bài 5: Cho hình thoi ABCD có góc A bằng 120 0 . M là một điểm trên cạnh AB (M khác A và B). Các đường thẳng DM và BC cắt nhau ở N. Chứng minh hệ thức: AC 2 = AM.CN. Bài 6: Trong tam giác ABC lấy điểm P, còn trên cạnh AC và BC lấy các điểm tương ứng M và L sao cho · · · ·    = = . a. Chứng minh hệ thức: AM.PL = BL.PM b. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh rằng: DM = DL. PHÒNG GIAO DỤC & ĐT VĨNH LINH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 9 Năm học 2009-2010 Bài 1: (1,50 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP ( ) ( ) ( ) ( )    !"  #    "  $ %&'( )$*+,-&'.$/&)"01&'#2$3 = = 0,25 đ Trừ hai số cho nhau ta có : B – A = 1111 hay y 2 – x 2 = (y – x)(y + x) = 1111 0,25 đ A, B là các số có 4 chữ số nên x, y chỉ có thể là các số có hai chữ số 0,25 đ 1111 = 1. 1111 = 11. 101 nên ta chỉ có: (y – x)(y + x) = 11. 101 0,25 đ Giải được hệ $ (04#$ $    0,25 đ Từ đó suy ra được A = 2025 và B = 3136 0,25 đ Bài 2: (0,75 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP ( )   !        5   6= + + = + = + 0,25 đ ( )  #     6     5   = + + = + = + 0,25 đ Vì 78 6 2  &/&  2   + + 0,25 đ Bài 3: (1,75điểm) LỜI GIẢI Điểm TP ( )            − + +  ÷   0,25 đ ( )            − + +  ÷   0,25 đ ( ) ( ) ( )           − +  ÷  ÷   0,25 đ ( ) ( ) ( )          = − +  ÷   0,25 đ ( ) ( )          = − +  ÷   0,25 đ ( ) ( ) ( )          = − +  ÷   0,25 đ ( ) ( )     = − + = 2 0,25 đ Bài 4: (2,00điểm) LỜI GIẢI Điểm TP Ta có: ( ) ( )           9         = 0,25 đ  9    0,25 đ A có giá trị nguyên khi 9  &'.$/&  0,25 đ Tức là phải có (x – 3) là ước của 7 0,25 đ Do đó : x – 3 = -1 => x = 2 => A = -4 0,25 đ x – 3 = 1 => x = 4 => A = 18 0,25 đ x – 3 = -7 => x = - 4 => A = 26 0,25 đ x – 3 = 7 => x = 10 => A = 84 0,25 đ Bài 5: (1,5 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP · · :;%,*&'3 · ·  ::;  Suy ra: :  :;%''3∆ ∆: => CD.AD = AM.CN :*<'+(=.∆ => AD = AC = CD => AC 2 = AM.CN 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Bài 6: (2,5 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP a. (0,5 đ)   ∆ ∆: => AM.PL = BL.PM b. (2,0 đ) - Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AP và BP. Khi đó ta có: DE và DF là đường trung bình của tam giác ABP - Suy ra DFPE là hình bình hành (*) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ - Tam giác APM và tam giác BPL là các tam giác vuông nên ta có:  > :?  (1)  ? :>  (2) · · · · > >? ?= = (do AEM và BFL là các tam giác cân) · · >:?: (theo (*) Suy ra: · · >:?: (3) Từ (1), (2), (3) ta có :> :? ::∆ ∆ ⇒ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ F E D M L P C B A N D M C B A . AB. Chứng minh rằng: DM = DL. PHÒNG GIAO DỤC & ĐT VĨNH LINH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 9 Năm học 20 09- 2010 Bài 1: (1,50 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP ( ) ( ) ( ) ( )   . PHÒNG GIAO DỤC & ĐT VĨNH LINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 9 Năm học 20 09- 2010 Bài 1: Cho một số A gồm 4 chữ số và A là số chính phương nhau ta có : B – A = 1111 hay y 2 – x 2 = (y – x)(y + x) = 1111 0,25 đ A, B là các số có 4 chữ số nên x, y chỉ có thể là các số có hai chữ số 0,25 đ 1111 = 1. 1111 = 11. 101 nên ta chỉ có: (y