PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT VĨNH LINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 8 Năm học 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tìm số tự nhiên được viết bằng 1 chữ số 1, 2 chữ số 2, 3 chữ số 3,….9 chữ số 9 sao cho số này lại bằng lập phương của một số tự nhiên. Bài 2: Cho biểu thức ( ) 3 2 3 x + 1 A = x x + x + 1+ a). Rút gọn A b). Tìm giá trị x để A nhận giá trị nguyên. c). Tìm giá trị lớn nhất của A. Bài 3: Cho hai phương trình: 2x + 1 = 0 (1) mx = 8 (2) Xác định giá trị m để phương trình (2) tương đương với phương trình (1) Bài 4: Cho phương trình: x + 2 x + 1 x - m x - 1 = Tìm giá trị của m để phương trình vô nghiệm. Bài 5: Cho tứ giác ABCD và O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng d song song với AC (d nằm cùng phía với B so với AC) cắt tia DA, BA, BD, BC và DC lần lượt tại M, N, P, Q và R. a). Chứng minh: NP PQ OA OC = b). Chứng minh: PN PQ PM PR = c). Kẻ qua N đường thẳng song song với AD cắt BD tại E. Chứng minh rằng EQ song song với CD. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT VĨNH LINH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 8 Năm học 2009-2010 Bài 1: ( 1,0 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP Giả sử số tự nhiên N được viết bằng 1 chữ số 1, 2 chữ số 2, 3 chữ số 3,….9 chữ số 9. Như vậy tổng các chữ số của số N bằng: 1 + 2.2 + 3.3 + ……….+ 9.9 = 285 0,25 đ Số 285 chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 0,25 đ Do đó số N chia hết cho 3 và không chia hết cho 9 0,15 đ Nếu vậy thì N không thể là lập phương của một số tự nhiên được (Vì nếu N = a 3 M 3 thì do 3 là số nguyên tố nên a 3 M (3.3.3) 0,25 đ Vậy không có số tự nhiên nào thỏa mãn đầu bài 0,125 đ Bài 2: (2,75 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP a). (1,0 đ) ( ) ( ) ( ) 2 3 x + 1 A = x x + 1 x + 1+ 0,5 đ = ( ) ( ) ( ) 2 3 x + 1 x + 1 x 1+ 0,25 đ = 2 3 x 1+ 0,25 đ b). (1,0 đ) A có giá trị nguyên khi x 2 + 1 nhận một trong các giá trị: 1; 3± ± là các ước của 3 0,5 đ - Với x 2 + 1 = 1 => x = 0 0,125 đ - Với x 2 + 1 = -1 => Không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức này 0,125 đ - Với x 2 + 1 = 3 => x 2 = 2 => x = 2± 0,125 đ - Với x 2 + 1 = -3 => Không có giá trị nào của x thỏa mãn đẳng thức này 0,125 đ c). (0,75 đ) A = 2 3 x 1+ ; Vì 2 x 1 1+ ≥ với mọi x R∈ nên A 3 ≤ với mọi x R∈ 0,5 đ A đạt giá trị lớn nhất bằng 3 khi x = 0 0,25 đ Bài 3: (1,0điểm) LỜI GIẢI Điểm TP Từ (1) ta có: 2x = -1 0,25 đ 1 x = - 2 ⇔ 0,25 đ Để (1) và (2) tương đương thì (2) phải nhận 1 x = - 2 là nghiệm 0,25 đ Tức là: m × 1 - 2 ÷ = 8 0,125 đ => m = -16 0,125 đ Bài 4: (1,75 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP ĐK của PT x + 2 x + 1 x - m x - 1 = (*) x – m ≠ 0 x m⇒ ≠ 0,125 đ x – 1 ≠ 0 x 1⇒ ≠ 0,125 đ Từ (*) => (x + 2)(x – 1) = (x + 1)(x – m) 0,125 đ => mx = 2 – m (**) 0,125 đ - Với m = 0 thì PT (**) có dạng : 0x = 2. Trường hợp này PT (**) vô nghiệm (1) 0,5 đ - Với m ≠ 0 thì PT (*) có nghiệm: x = 2 - m m 0,125 đ Nghiệm x = 2 - m m là nghiệm của PT (*) khi nó phải thỏa mãn điều kiện: x ≠ m và x ≠ 1 0,125 đ Tức là : 2 - m 1 2 - m m m 1 m ≠ ⇒ ≠ ⇒ ≠ 0,125 đ ( ) ( ) 2 2 - m m m + m - 2 0 m - 1 m + 2 0 m ≠ ⇒ ≠ ⇔ ≠ 0,125 đ m 1 , m -2⇔ ≠ ≠ 0,125 đ Như vậy PT (*) vô nghiệm với các giá trị của m [ ] -2; 0; 1∈ 0,125 đ Bài 5: (3,5 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP a). (1,0 đ) Hai tam giác ABO và CBO có: NP//OA và PQ//CO (gt) nên NP BP (*) OA BO PQ BP và (**) OC BO ⇒ = = Từ (*) và (**) ta có: NP PQ OA OC ⇒ = 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ b). (1,25 đ) Trong tam giác ABO ta có: NP PB (1) OA OB = 0,125 đ Trong tam giác MDP ta có: OA OD (2) PM DP = 0,125 đ Nhân vế với vế của (1) với (2) ta có: PN OA BP OD = OA PM OB DP × × 0,25 đ Hay PN BP OD = (3) PM OB DP × 0,25 đ Tương tự như trên với hai tam giác COB và DPR ta cũng có : PQ BP OD = (4) PR OB DP × 0,25 đ P C E O d N Q R D A M B Từ (3) và (4) ta suy ra : PN PQ PM PR = 0,25 đ c). (0,75 đ) * Từ NE//AD (gt) trong tam giác ABD ta có : BN BE (1) BA BD = 0,25 đ * Từ NQ//AC (gt) trong tam giác ABC ta có : BN BQ (2) BA BC = 0,25 đ Từ (1) và 2) ta có BE BQ BD BC = . Điều này chứng tỏ EQ // DC 0,25 đ . PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT VĨNH LINH ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 8 Năm học 2009-2010 Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tìm số tự nhiên được viết bằng. Chứng minh rằng EQ song song với CD. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐT VĨNH LINH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐÊ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN - LỚP 8 Năm học 2009-2010 Bài 1: ( 1,0 điểm) LỜI GIẢI Điểm TP Giả sử số tự. và CBO có: NP//OA và PQ//CO (gt) nên NP BP (*) OA BO PQ BP và (**) OC BO ⇒ = = Từ (*) và (**) ta có: NP PQ OA OC ⇒ = 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ b). (1,25 đ) Trong tam giác ABO ta có: NP