MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH KHÔNG GIAN Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Câu 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết các tam giác SAB, SAD à vuông tại A. Hạ AH, AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAD. a) CM tam giác SBC vuông tại B và AH ⊥ SC b) Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại I. Chứng minh SC ⊥ AIA Câu 2) a)Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và AD. Biết AB=2a, CD=2a 2 và MN= 5a . Tính góc của 2 đường thẳng AB và CD. b) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có A’BC=60 0 ; A B A C ′ ′ = . Đặt .AA m ′ = Chứng minh BCC B ′ ′ là hình chữ nhật Tìm hệ thức liên hệ giữa a và m để AC và BC ′ hợp nhau góc 0 45 Câu 3) Cho hình chóp SABC có SA=SB=SC=a và các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính góc giữa 2 đường thẳng AC và SM. Câu 4) Cho tứ diện ABCD có các tam giác ABC và DBC là các tam giác đều cạnh bằng a. Cho AD= 2a . a) Chứng minh AD BC⊥ b) Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và DC. Câu 5) Cho hình chóp S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy ABCD là hình vuông. Gọi N là trung điểm của SB. a) CMR các tam giác SAC, SBD là các tam giác vuông. b) Tính góc giữa 2 đường thẳng: AN và CN, AN và SD. Câu 6) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy ABC là tam giác cân tại B. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAC và N là điểm thuộc cạnh SB sao cho SN=2NB. Chứng minh: a) BC ⊥ (SAB) b) NG ⊥ (SAC). Câu 7) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình vuông. Hạ ( ) , ,AH SB AK SD H SB K SD⊥ ⊥ ∈ ∈ . a) CM các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông. b) Chứng minh SC BD ⊥ và SC AH ⊥ c) Mặt phẳng (AHK) cắt SC tại I. Chứng minh SC AI⊥ và tứ giác AHIK có 2 đường chéo vuông góc. Câu 8) Cho hình chóp S.ABC có SA=SB=SC=a, biết 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ASB=120 , 90 , 60 .BCS CSA= = a) CM tam giác ABC vuông. b) Xác định hình chiếu H của S lên mp(ABC). Câu 9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi. Biết SD= 3a , tất cả các cạnh còn lại của hình chóp đều bằng a. a) Chứng minh (SBD) là mặt phẳng trung trực của AC và SBD là tam giác vuông. b) Xác định góc giữa SD và mp(ABCD). Câu 10) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), đáy là tam giác ABC vuông ở B. Biết 0 ˆ 30BSC = . Đặt ˆ ACB α = . Gọi I là hình chiếu của B lên SC. Xác định α để BI hợp với mp(SAC) góc 0 60 . Câu 11) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ mp(ABCD). Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết góc giữa SC và (ABCD) là 45 0 . Tính số đo góc: 1 a) Giữa đường thẳng SC và mp(SAD) b) Giữa đường thẳng SD và mp(SAC). Câu 12) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), ABCD là hình thang vuông tại A, 2 đáy SD=2a, BC=a. Biết AB=a, SA=2a. a) Chứng minh SCD là tam giác vuông. b) Tính góc giữa đường thẳng SD và mp(SAC). Câu 13) Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình chữ nhật có BC=2AB, tam giác SAB đều và mp(ABCD) vuông góc với mp(SAB). Gọi H là trung điểm AB, trên cạnh BC lấy 1 điểm M. a) Chứng minh ( ) ( ) SAD SAB⊥ b) Xác định vị trí M trên BC để ( ) ( ) SHC SDM⊥ Câu 14) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy =a, mặt bên hợp với mặt đáy góc 0 60 . Tính góc giữa các mặt phẳng: a) (SAB) và (SCD) b) (SAB) và (SBC). Câu 15) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh =a, SAB là tam giác đều và (SAB) ⊥ (ABCD). Tính góc giữa: a) mp(SCD) và mp(ABCD) b) mp(SCD) và mp(SAD). Câu 16) Cho tam giác ABC đều có cạnh =a. Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A, ta lấy 1 điểm S. Biết mặt phẳng (SBC) hợp với mặt phẳng (ABC) 1 góc 60 0 . a) Tính diện tích tam giác SBC b) Tính số đo của góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (SBC). Câu 17) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), 2 mặt bên (SBC) và (SDC) hợp với đáy 1 góc 45 0 . Mặt đáy ABCD có AB=AD=a,CB=CD = 2a .Tính góc giữa: a) SC và mặt phẳng (ABCD) b) Mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD) Câu 18) Cho hình chóp MABC có ABC là tam giác đều cạnh =a. a) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (MBC) khi đó biết diện tích của tam giác MBC= 2 3 2 a b)Cho MA=a. Tính góc giữa 2 mp(MBC) và (MAB). Câu 19) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD). Biết ABCD là hình thoi tâm O, SA=AC=2a, 0 ˆ 60ABC = . Tính: a) d(O;SC) b) d(D;DB) câu 20) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có tâm O, AB=2a, SA=4a. Tính: a) d(O;(SAB)) b) d(A;(SCD)) Câu 21) Cho tứ diện DABC có tam giác ABC là tam giác vuông tại A, AB=a, AC=2a.Các mặt (DAB) và (DAC) cùng hợp với (ABC) góc α , mặt bên (DBC) vuông góc với (ABC). a) Tính khoảng cách d từ D đến mp(ABC) theo a và α . b) Tìm số đo α khi biết d= 2 3 a , khi đó hãy tính d(C;(DAB)) 2 Câu 22) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều =a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau: a) AC và SB b) AB và SC Câu 23) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD). Đáy ABCD là hình vuông có cạnh =a, biết SA=a. Xác định và tính độ dài cạnh vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau: a) SB và AD b) SC và AD Câu 24) Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, biết AB=2a, SA=a. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AC và SB. Câu 25) Cho lăng trụ đứng .ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB=2a, AC=a, AA a ′ = . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau AB’ và BC. Câu 26) Cho hình lăng trụ tam giác .ABC A B C ′ ′ ′ có tam giác ABC đều, cạnh bên AA a ′ = , các mặt bên ( ),( )A AB A AC ′ ′ cùng hợp với mặt đáy (ABC) góc 0 0 (0 90 ). α α < < Tính khoảng cách từ A ′ đến mặt phẳng (ABC). Câu 27) Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), SA=a, đáy ABCD là hình vuông cạnh =a. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng: a) SB và CD b) AC và SD Câu 28) Cho hình lập phương .ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có cạnh =a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của C B ′ ′ và AB. Dựng và tính đoạn vuông góc chung của AN và DM. Câu 29) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC. Biết ABC là tam giác đềucó tâm O, cạnh =a, chiều cao hình chóp = 3a . Gọi I và M lần lượt là trung điểm của AC và SC. a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và BM. c) Cho (P) là mặt phẳng qua 1 điểm J thuộc đoạn OI và vuông góc với OI, (P) lần lượt cắt BA, SA, SC, BC tại P, Q, R, T. Thiết diện PQRT là hình gj? d) Tính diện tích thiết diện PQRT theo a và x=AJ. Xác định vị trí J trên OI để thiết diện có diện tích lớn nhất. Câu 30) Cho khối chóp S.ABCD có SA=x và các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích .S ABCD V của khối chóp và tìm x để .S ABCD V lớn nhất. Câu 31) Cho tứ diện DABC. Biết tam giác ABC vuông tại A, AB=a, AC=2a. Các mặt(DAB) và (DAC) cùng hợp với (ABC) góc α , mặt bên (DBC) vuông góc với (ABC). a) Tính thể tích của tứ diện theo a và α b) Xác định góc α khi biết 3 2 3 . 9 ABCD a V = 3 ĐÁP SỐ Câu 2) m=a Câu 16) b) 1 os = 4 c α Câu 3) 60 0 Câu 17) 30 0 và 60 0 Câu 4) 60 0 Câu 5) arccos(1/3) Câu 18) 0 60 ;tan 6 α β = = Câu 8) H là trung điểm AB Câu 19) 2 30 ; 2 2 a a Câu 9) 30 0 Câu 20) 14 14 ;2 15 15 a a Câu 10) arcsin(3/4) α = Câu 21) 3 2; 6 a a Câu 22) 6 ; 2 3 a a Câu 11) a) 30 0 b) 1 sin 6 β = Câu 23) 2 6 ; 2 6 a a Câu 12) 10 sin 5 = Câu 24) 6 3 a Câu 13) 1 8 CM CB= Câu 25) 2 3 a Câu 14) 60 0 ; 15 tan 2 3 β = ÷ Câu 26) 2 atan tan 4 α α + Câu 27) 3 ; 3 a a Câu 28) 15 2 5 a 4 . BÀI TẬP VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH KHÔNG GIAN Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Câu 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết các tam giác SAB, SAD à vuông tại A nhật Tìm hệ thức liên hệ giữa a và m để AC và BC ′ hợp nhau góc 0 45 Câu 3) Cho hình chóp SABC có SA=SB=SC=a và các tam giác SAB, SBC, SCA vuông tại S. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính góc giữa. có tất cả các cạnh đều bằng a, đáy ABCD là hình vuông. Gọi N là trung điểm của SB. a) CMR các tam giác SAC, SBD là các tam giác vuông. b) Tính góc giữa 2 đường thẳng: AN và CN, AN và SD. Câu