chương iia- tổ hợp

PHẠM HỒNG PHONG - ĐẶNG VĂN HIẾU ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 TỔ HỢP KHỞI THẢO THÁNG 5 – 2014 Khách có kẻ: Giương buồm giong gió chơi vơi, Lướt bể chơi trăng mải miết … (Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu) Mục lục Chủ đề 1. Hai quy tắc đếm cơ bản 1 Chủ đề 2. Ba khái niệm cơ bản của tổ hợp 7 §1. Phương trình, bất phương trình và hệ liên quan đến các số chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị 8 §2. Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào bài toán đếm 14 Chủ đề 3. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn 23 §1. Chứng minh đẳng thức 24 §2. Hệ số của một lũy thừa trong khai triển 29 Khách có kẻ: Giương buồm giong gió chơi vơi, Lướt bể chơi trăng mải miết … (Bạch Đằng giang phú – Trương Hán Siêu) 1 Chủ đề 1. Hai quy tắc đếm cơ bản A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Quy tắc cộng Giả sử để thực hiện công việc A , ta phải thực hiện một trong k công việc: 1 A , 2 A , , k A . Nếu thực hiện công việc i A có i n cách ( 1, , i n   ), thì thực hiện công việc A có 1 2 1 k i k i n n n n n       (cách). n k cách . . . Phương án A k Phương án A 2 n 1 +n 2 + +n k cách n 2 cách n 1 cách Phương án A 1 Công việc A: Hình 1: Quy tắc cộng 2. Quy tắc cộng Giả sử để thực hiện công việc A , ta phải lần lượt thực hiện k công việc: 1 A , 2 A , , k A . Nếu thực hiện công việc i A có i n cách ( 1, , i n   ), thì thực hiện công việc A , ta có 1 2 1 . . . k i k i n n n n n      (cách). n 1 n 2 n k cách n k cách n 2 cách n 1 cách Công việc A kCông việc A 2 Công việc A 1 Công việc A: Hình 2: Quy tắc nhân B. CÁC VÍ DỤ 2 Ví dụ 1. Bạn Kiên có 5 cuốn sách Văn học khác nhau và 6 cuốn sách Lịch sử khác nhau. Hỏi Kiên có bao nhiêu cách chọn một cuốn sách để tặng sinh nhật một người bạn. Giải. Để chọn một cuốn sách, Kiên có hai phương án:  Phương án 1: Chọn sách Văn học. Vì Kiên có 5 cuốn sách Văn học khác nhau nên số cách thực hiện phương án này là 5 (cách)  Phương án 2: Chọn sách Lịch Sử. Vì Kiên có 6 cuốn sách Lịch sử khác nhau nên số cách thực hiện phương án này là 6 (cách) Theo quy tắc cộng, số cách chọn sách của Kiên là: 5 6 11   (cách). Ví dụ 2. Từ tỉnh A đến tỉnh B có 3 đường đi, từ tỉnh B đến tỉnh C có 4 đường đi. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh C biết rằng muốn đi từ tỉnh A đến tỉnh C bắt buộc phải đi qua tỉnh B . Giải. Để đi từ tỉnh A đến tỉnh C ta phải thực hiện hai bước.  Bước 1: Đi từ tỉnh A đến tỉnh B . Vì có 3 đường đi từ A đến B nên số cách thực hiện bước này là 3 (cách).  Bước 1: Đi từ tỉnh B đến tỉnh C . Vì có 4 đường đi từ B đến C nên số cách thực hiện bước này là 4 (cách). Theo quy tắc nhân, số cách đi từ A đến C là 3 4 12   (cách). Ví dụ 3. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ 0 đến 9 . Giải. Giả sử số cần lập là  1 2 5 A a a a  . Để lập số A , ta phải lần lượt chọn 1 a , 2 a , , 5 a sao cho 1 0 a  và 1 a , 2 a , , 5 a đôi một khác nhau.  Vì 1 0 a  nên có 9 cách chọn 1 a .  Vì 2 a có thể bằng 0 , tuy nhiên 2 1 a a  nên có 9 cách chọn 2 a .  Lập luận hoàn toàn tương tự, ta có số cách chọn 3 a , 4 a , 5 a lần lượt là: 8 , 7 , 6 cách. Vậy theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 9.9.8.7.6 27216  (cách). Ví dụ 4. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau chia hết cho 5 từ các chữ số từ 0 đến 9 . Giải. Giả sử số cần lập là  1 2 5 A a a a  . Để lập số A ta có hai phương án như sau với chú ý rằng 5 a phải bằng 0 hoặc 5 :  Phương án 1: Nếu chọn 1 5 a  thì 5 0 a  . Số cách chọn 2 a , 3 a , 4 a lần lượt là: 8 , 7 , 6 cách. Theo quy tắc nhân thì phương án này có số cách thực hiện là: 8.7.6 336  (cách).  Phương án 2: Nếu Chọn 1 5 a  thì có 8 cách chọn 1 a , 2 cách chọn 5 a ( 5 a có thể bằng 0 hoặc 5 ). Số cách chọn 2 a , 3 a , 4 a lần lượt là: 8 , 7 , 6 cách. Theo quy tắc nhân thì phương án này có số cách thực hiện là: 8.2.8.7.6 5376  cách. Áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lập số A là 336 5376 5712   cách. 3 Nhận xét. Việc lập số A trong Ví dụ 4 được chia thành hai phương án vì việc 1 a có bằng 5 hay khác 5 có ảnh hưởng đến số cách chọn 5 a . Ví dụ 5. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ 0 đến 9 biết rằng số này có đúng hai chữ số 1 và các chữ số còn lại đôi một khác nhau. Giải. Giả sử số cần lập là 1 2 5 A a a a  . Để lập số A ta có hai phương án như sau (về cách chọn 1 a ):  Phương án 1: 1 1 a  .  Chọn thêm một vị trí nữa cho cho chữ số 1 có 4 cách.  Lần lượt chọn chữ số cho ba vị còn lại có số cách lần lượt là 9 , 8 , 7 cách. Do đó, số cách lập số A theo phương án này là 1.4.9.8.7 2016  cách.  Phương án 2: 1 1 a  .  Có 8 cách chọn 1 a .  Có 6 cách chọn hai vị trí cho chữ số 1 : chọn 2 a và 3 a , 2 a và 4 a , 2 a và 5 a , 3 a và 4 a , 3 a và 5 a , 4 a và 5 a .  Lần lượt chọn chữ số cho hai vị còn lại có số cách lần lượt là 8 , 7 cách. Do đó, số cách lập số A theo phương án này là 8.6.8.7 2688  cách. Vậy số cách lập số A là 2016 2688 4704   cách. Ví dụ 6. Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số đôi một khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3 . Giải. Giả sử số cần lập là 1 2 5 A a a a  . Để lập số A ta có hai phương án như sau:  Phương án 1: xếp 2 và 3 vào hai vị trí đầu tiên có 1 2 n  cách ( 1 2 a  , 2 3 a  hoặc ngược lại). Số cách chọn chữ số cho các vị trí 3 a , 4 a , 5 a lần lượt là 4 , 3 , 2 cách. Do đó, số cách thực hiện phương án này là 4 3 2 24    (cách).  Phương án 2: xếp 2 và 3 vào hai vị trí khác vị trí 1 a . Có thể xếp 2 và 3 vào các vị trí: 2 a và 3 a , 3 a và 4 a , 4 a và 5 a , suy ra số cách xếp 2 và 3 theo phương án này là  2.3 6 cách. Số cách chọn 1 a là 2 3 m  cách. Chọn chữ số cho 2 vị trí còn lại có số cách lần lượt là 3 , 2 . Vậy số các thực hiện phương án này là 6 3 3 2 108     (cách) Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 24 108 132   . Ví dụ 7. Có 6 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 6 , 5 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 5 và 4 quả cầu vàng được đánh số từ 1 đến 4 . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 quả cầu vừa khác mầu vừa khác số. Giải. Để chọn được 3 quả cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta lần lượt làm như sau:  Bước 1: Chọn quả cầu vàng có 1 4 n  cách. 4  Bước 2: Chọn quả cầu đỏ: vì không được chọn quả cầu đỏ có số trùng với số của quả cầu vàng đã chọn ở bước 1 nên số cách chọn quả cầu đỏ là 2 4 n  .  Bước 3: Chọn quả cầu xanh: vì không được chọn quả cầu xanh có số trùng với số của các quả cầu đã chọn ở bước 1 và bước nên số cách chọn quả cầu đỏ là 3 4 n  . Vậy số cách chọn ra 3 quả cầu vừa khác mầu vừa khác số là: 1 2 3 . . 64 n n n  . C. BÀI TẬP Bài 1. Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40 có 4 màu khác nhau. Hỏi a) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo? b) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ? ĐS: a) 9 ; b) 20 . Bài 2. Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 4 màu là trắng, đỏ, xanh, vàng; áo cỡ 40 có 3 màu là trắng, đỏ, tím. Hỏi a) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo? b) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ? c) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cả cỡ và màu? ĐS: a) 7 ; b) 12 ; c) 10. Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho 3 chữ số đầu tiên khác nhau và các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau. ĐS: 648. Bài 4. Từ cách chữ số 1 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Có bốn chữ số. b) Có bốn chữ số đôi một khác nhau. ĐS: a) 256; b) 24. Bài 5. Từ các chữ số 1 , 5 , 6 , 7 có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số tự và lớn hơn 4000 nếu a) Các chữ số không nhất thiết khác nhau. b) Các chữ số đôi một khác nhau. ĐS: a) 64 ; b) 6 . Bài 6. Có bao nhiêu số có 3 chữ số được tạo thành từ các chữ số 2 , 3 , 4 , 5 , 6 nếu a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau. b) Các chữ số của nó đôi một khác nhau. c) Các chữ số của nó hoàn toàn giống nhau. ĐS: a) 125 ; b) 60 ; c) 5 . Bài 7. Từ cách chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên a) Có bốn chữ số. b) Có bốn chữ cố đôi một khác nhau. c) Có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5. ĐS: a) 1080 ; b) 300 ; c) 108 . 5 Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng   2000;3000 có thể tạo nên từ các chữ số 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 nếu a) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau. b) Các chữ số của nó đôi một khác nhau. ĐS: a) 125 ; b) 60 . Bài 9. Khi gieo đồng thời ba con xúc xắc khác nhau có bao nhiêu khả năng mà tổng số chấm xuất hiện trên ba mặt của ba con súc sắc lớn hơn 9 . ĐS: 6 . Bài 10. Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu có 4 toa. Hỏi a) Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của 4 hành khách. b) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có 1 người lên. c) Có bao nhiêu trường hợp mà một toa có 3 người lên, một toa có 1 người lên và hai toa còn lại không có ai lên. ĐS: a) 256 ; b) 24 ; c) 36 . [...]... một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A  Số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần là k An  n!  n  n  1 n  2   n  k  1  n  k ! (1) Ta thấy cơng thức (1) cũng có nghĩa khi k  0 nên, để cho tiện, ta định nghĩa số Ank với k , n ngun và 0  k  n 3 Tổ hợp  Cho tập hợp A có n phần tử ( n  1 ) và số ngun k với 1  k  n Mỗi cách lấy ra k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập... hai tổ có số học sinh bằng nhau Hỏi có bao nhiêu cách chia mà mỗi tổ đều có học sinh giỏi và có ít nhất là 2 học sinh khá 24 Tổ I gồm 10 người và tổ II gồm 9 người Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm câu lạc bộ bóng bàn gồm 8 thành viên sao cho mỗi tổ có ít nhất hai người thuộc câu lạc bộ này 25 Trong một lớp có 33 người trong đó có 7 nữ và 26 nam Có bao nhiêu cách chia lớp thành ba tổ sao cho: tổ 1...  k (cơng thức phần bù)  k k Cn 1  Cn  Cnk 1 (cơng thức Pa-xcan) 7 §1 Phương trình, bất phương trình và hệ liên quan đến các số chỉnh hợp, tổ hợp, hốn vị A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Khi giải phương trình, bất phương trình và hệ liên quan đến các số chỉnh hợp tổ hợp, hốn vị, ta cần chú ý:  Pn  n !  1 2   n có nghĩa khi và chỉ khi n   k  An  n! n! k và Cn  có nghĩa khi và chỉ khi: n   và...Chủ đề 2 Ba khái niệm cơ bản của tổ hợp 1 Hốn vị  Cho tập hợp A có n phần tử ( n  1 ) Mỗi cách sắp xếp n phần tử của nó theo một thứ tự được gọi là một hốn vị của n phần tử của A  Số các hốn vị của tập hợp có n phần tử là Pn  n !  1.2.3 .n Với quy ước 0!  1 , ta có thể định nghĩa P0  1 2 Chỉnh hợp  Cho tập hợp A có n phần tử ( n  1 ) và số ngun k với 1  k  n ... của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A  Số các tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử là: k Cn  n  n  1 n  2   n  k  1 Ank n!   k ! k ! n  k  ! k! (2) k Ta thấy cơng thức (2) cũng có nghĩa khi k  0 nên, để cho tiện, ta định nghĩa số Cn với k , n ngun và 0  k  n  Hai tính chất cơ bản của số tổ hợp:  k n Cn  Cn  k (cơng thức phần bù)  k k Cn 1  Cn  Cnk... số này ở vị trí hàng chục cũng là 840 Tổng số lần xuất hiện các chữ cố 2 , 4 , 6 , 8 ở vị trí hàng chục là 6720  5.840  2520 Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là như nhau nên số lần xuất hiện mỗi chữ số này ở 2520 vị trí hàng chục là  630 4 Như vậy, tổng các chữ số hàng đơn vị là 840 1  3  5  7  9   630  2  4  6  8   33600  Tương tự, tổng các chữ số hàng trăm, hàng nghìn và... Có 7 nghệ sĩ, trong đó có 4 nam và 3 nữ, tham gia một buổi biểu diễn mà mỗi người phải biểu diễn đúng một tiết mục a) Có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho trong chương trình ấy xen kẽ hết nam lại đến nữ nghệ sĩ biểu diễn b) có bao nhiêu cách sắp xếp chương trình sao cho 2 tiết mục đầu và tiết mục sau cùng là do nam biểu diễn 21 Có bao nhiêu cách xếp 10 vật phân biệt vào 4 hộp phân biệt sao... a5  nên số cách chọn các chữ số này là A84 Theo quy tắc nhân thì số cách lập số A là 4 A84  6720 Để tính tổng các số lập được, ta tính tổng từng vị trí  Vì vai trò của các chữ số 2 , 4 , 6 , 8 là giống nhau nên số lần xuất hiện của mỗi chữ số n này ở hàng đơn vị là  1680 Từ đây suy ra tổng các chữ số ở hàng đơn vị là 4 1680  2  4  6  8  33600  3 Nếu cố định a4  1 thì có 4 cách chọn a5... sao cho mỗi tổ có ít nhất hai người thuộc câu lạc bộ này 25 Trong một lớp có 33 người trong đó có 7 nữ và 26 nam Có bao nhiêu cách chia lớp thành ba tổ sao cho: tổ 1 gồm 10 người, tổ 2 gồm 11 người, tổ 3 gồm 12 người và mỗi tổ có ít nhất hai nữ 20 26 Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu Cháu ngoan Bác Hồ, trong đó có 4 cặp anh em sinh đơi Hỏi có bao nhiêu cách chọn một nhóm 3 học sinh trong... hàng trăm, hàng nghìn và hàng vạn bằng nhau và bằng 33600 Vậy tổng các số lập được là 33600 1  10  100  1000  10000   33600.11111  373329600 B BÀI TẬP 1 Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đơi một khác nhau thỏa mãn thêm điều kiện a) là số chẵn b) chia hết cho 5 2 Tính tổng các số có 5 chữ số đơi một khác nhau thõa mãn điều kiện chia . 3. Tổ hợp  Cho tập hợp A có n phần tử ( 1 n  ) và số nguyên k với 1 k n   . Mỗi cách lấy ra k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A .  Số các tổ. tắc đếm cơ bản 1 Chủ đề 2. Ba khái niệm cơ bản của tổ hợp 7 §1. Phương trình, bất phương trình và hệ liên quan đến các số chỉnh hợp, tổ hợp, hoán vị 8 §2. Ứng dụng ba khái niệm cơ bản vào. số tổ hợp:  k n k n n C C   . (công thức phần bù)  1 1 k k k n n n C C C     (công thức Pa-xcan). 8 §1. Phương trình, bất phương trình và hệ liên quan đến các số chỉnh hợp, tổ