UBND tỉnh Bắc Ninh Sở giáo dục và đào tạo ========== Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Năm học 2007 2008 Môn thi: Toán THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể giao đề) Ngày thi: 2 tháng 4 năm 2008 ============== Câu1(5 điểm) Tìm tất cả các giá trị của a để tập xác định của hàm số : f(x) = 2a x 2a x + chứa tập giá trịcủa hàm số g(x) = 2 1 x 2x 4a 2+ + . Câu2(3điểm) Giải hệ : x 4 x 3 y+ x 2 y 2 = 1 x 3 y x 2 + xy = -1 Câu 3(5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : f ( x,y,z ) = yz x 1 xz y 2 xy z 3 xyz + + ; Trên miền D = { } (x, y, z) : x 1; y 2; z 3 Câu4(3 điểm) Gọi V và S lần lợt là thể tích và diện tích toàn phần của một tứ diện ABCD . Chứng minh rằng : 3 2 S V > 288 Câu 5(2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x 2 y 2 x 2 8y 2 = 2xy Câu 6(2 điểm) Tìm tất cả các hàm số f(x) khả vi trên khoảng ( -1; 1) sao cho f(x) + f(y) = f x y 1 xy + ữ + . =========Hết========== Đề này có 01 trang Chú ý : học sinhBổ túcTHPT không phải làm câu 5 , 6 Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Đề chính thức đáp án toán 12 hsg Câu1 : ( 5 điểm ) +/ Tập xác định của f(x) là : 2 2 2 2 2 0 2 x a x a a x a x a a x + (1.0đ) +/ nếu phơng trình : x 2 + 2x +4a -2 = 0 có nghiệm x = x 0 thì 0 x x lim g(x) = nên tập xác định của f(x) không thể chứa tập giá trị của g(x) (0.5đ) Do đó phơng trình : x 2 + 2x+4a-2 = 0 vô nghiệm (0.25đ) < 0 a >3/4. (0.25đ) Khi đó TXĐ của f(x) là : [ ) 2a;2a (0.25đ) Bài toán trở thành :Tìm a > 3/4 sao cho 2a 2 1 2a, x x 2x 4a 2 < + + (0.5đ) Ta có với a > 3/4 x 2 + 2x + 4a 2 > 0 , x R (0.25đ) Nên bpt trên 2ax 2 + 4ax + 2a ( 4a 2) 1 > 0 2ax 2 + 4ax + 2a ( 4a 2 ) + 1 0 x (0.5đ) 2 2 8 6 1 0 8 6 1 0 a a a a > + (0.5đ) 3 17 8 a + > ( do a > 3 /4 ) (0.5đ) Kết luận : a > 3 17 8 + (0.5đ) Câu 2 :(3.0 điểm) +/ Điều kiện x 0 (0.25đ) +/ Viết hệ pt về dạng : 2 2 3 2 3 ( ) 1 ( ) 1 xy x x y xy x x y + = + = (0.5đ) Đặt : - x 2 + xy = u x 3 y = v (0.25đ) Hệ trở thành : u 2 + v = 1 v = 1 u 2 u + v = -1 u + 1 u 2 = -1 (0.25đ) 1 0 2 3 u v u v = = = = (0.5đ) Nếu : u = -1 , v = 0 ; 2 3 1 0 x xy x y + = = (0.25đ) giải ra ta đợc : x = 1 , y = 0 hoặc x = -1 , y = 0 (0.25đ) Nếu : u = 2 , v = - 3 ; 2 3 2 3 x xy x y + = = (0.25đ) Chỉ ra hệ vô nghiệm (0.25đ) Vậy hệ có nghiệm : x = 1 , y = 0 và x = -1 , y = 0 . (0.25đ) Câu 3 :(5.0 điểm) f ( x,y,z ) = y 2 x 1 z 3 x y z + + (0.5đ) Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho từng cặp số ta có: 1 1.1x x x x = (0.5đ) 1 2 (0.5đ) 2 2. 2 . 2 y y y y = (0.5đ) 1 2 2 (0.5đ) 3 3. 3 3 z z z z = (0.5đ) 1 2 3 (0.5đ) Cộng vế vế các bất đẳng thức ta đợc f(x,y,z) 1 1 1 (1 ) 2 2 3 + + (0.5đ) . Đẳng thức xảy ra khi x = 2 , y = 4 , z = 6 (0.5đ) Do đó max f ( x , y , z ) = 1 1 1 (1 ) 2 2 3 + + với ( x , y , z ) D (0.5đ) Câu 4 :(3.0 điểm) +/ Gọi diện tích các mặt ABC , ACD , ADB , BCD lần lợt là S D , S B , S C , S A +/ Gọi B / là hình chiếu của B lên mp ( ACD ) +/ Gọi C / là hình chiếu của B lên mp ( ADB ) C A D B H +/ Ta có V = / / B C 1 1 S BB S CC 3 3 = (0.5đ) 2 / / B C 1 V S S BB .CC 9 = (0.25đ) +/ Dựng BH AC BB / BH và CC / AC (0.25đ) V 2 B C B C D 2 1 2 S S . AC.BH .S S S 9 2 9 = (0.25đ) Dấu bằng xảy ra 0 BAC CAD DAB 90 = = = (0.25đ) Tơng tự ta có: 2 2 9 A B C V S S S 2 2 9 A B D V S S S 2 2 9 A C D V S S S (0.5đ) Nhân vế vế ta đợc: 2 3 4 2 ( ) 9 A B C D V S S S S< (do dấu bằng không đồng thời xẩy ra) (0.5đ) (nếu không chỉ ra dấu bằng không đồng thời xẩy ra cho 0.25đ) Ta có 3 3 2 3 4 ( ) 288 2 ( ) 9 A B C C A B C D S S S S S V S S S S + + + < (0.5đ) (áp dụng bất đẳng thức cô si cho tử 0.25đ , rút gọn ra 288cho 0.25đ) Câu 5 :(2.0 điểm) Dễ thấy phơng trình có nghiệm x = y = 0 (0.25đ) Với x , y đều khác không ta có : (1) y 2 ( x 2 7) = ( x + y) 2 (2) (0.5đ) Từ (2) suy ra x 2 7 là bình phơng của một số nguyên. x 2 7 = a 2 ( a Z ) (3) (0.25đ) (3) x 2 a 2 = 7 ( x a )( x a ) 7 + = (0.25đ) ( x a ) 7+ = ; ( x a ) 1 = ; x 4 = hay x = 4 (0.5đ) +/ Thay x = 4 vào (2) ta đợc 9y 2 = ( y + 4 ) 2 ( y + 1)( y 2) = 0 y = -1, y = 2 (0.5đ) +/ Thay x = - 4 vào (2) ta đợc 9y 2 = ( y 4) 2 ( y 1)( y + 2) = 0 y = 1 , y = 2 . (0.5đ) Vậy phơng trình (1) có các nghiệm nguyên : ( x ; y ) là ( 0 ; 0 ) , ( 4 ;- 1) ,(4 ; 2) , ( - 4 ; 1) , ( - 4 ; - 2) (0.25đ) Câu6 :(2.0 điểm) .Ta có f(0)=0 (0.25đ) f(x)+f(-x)=0 f(x)=-f(-x) với ( 1;1)x (0.25đ) Với a ( 1;1) ta có 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) lim lim lim[ ( )] lim 1 (1 ) 1 ( ) (0) 1 (0) 1 1 1 lim ( ) 1 2 1 1 1 + = = = = = = + + x a x a x a x a x a x a f f x f a f x f a x a ax f a f x a x a x a x a ax ax ax x a f f f ax x a a a a ax Do đó (0.5đ) (0) 1 1 ( ) ( ) ( 1;1) 2 1 1 = + + f f x x x x (0.25đ) (0) 1 ( ) ln 2 1 f x f x C x + = + (0.25đ) Ta có (0) 0 (0) ln1 0 2 f f C C = = + = (0.25đ) Vậy (0) 1 ( ) ln 2 1 f x f x x + = (0.25đ) Chú ý : Các cách giải khác đúng cho điểm tơng ứng . nguyên : ( x ; y ) là ( 0 ; 0 ) , ( 4 ;- 1) ,(4 ; 2) , ( - 4 ; 1) , ( - 4 ; - 2) (0.25đ) Câu6 :(2.0 điểm) .Ta có f(0)=0 (0.25đ) f(x)+f(-x)=0 f(x)=-f(-x) với ( 1;1)x (0.25đ) Với a (. Đặt : - x 2 + xy = u x 3 y = v (0.25đ) Hệ trở thành : u 2 + v = 1 v = 1 u 2 u + v = -1 u + 1 u 2 = -1 (0.25đ) 1 0 2 3 u v u v = = = = (0.5đ) Nếu : u = -1 , v. , y = 0 hoặc x = -1 , y = 0 (0.25đ) Nếu : u = 2 , v = - 3 ; 2 3 2 3 x xy x y + = = (0.25đ) Chỉ ra hệ vô nghiệm (0.25đ) Vậy hệ có nghiệm : x = 1 , y = 0 và x = -1 , y = 0 . (0.25đ) Câu