ĐỀ THI HỌC KÌ II – Năm học: 2009-2010 Môn: Toán – Thời gian: 90 phút Câu 1 (2,5 điểm): Giải bất phương trình và hệ bất phương trình sau: a) 2 2 2 3 2 0 5 4 0 x x x x − + + ≥ − + > b) 2 21 4 3x x x− − < + Câu 2 (3 điểm): 1. Cho biết 4 sin 5 a = với 2 a π π < < . Tính sin2a; cos2a 2. Rút gọn biểu thức: sin( ) osasinb sin( ) cosasinb a b c a b + − − + 3. CMR: 4sin sin sin sin 3 3 3 a a a a π π + − = Câu 3 (0,75 điểm): Cho hình chữ nhật tạo bởi 3 hình vuông xếp kề nhau như hình vẽ. CMR: 4 π α β + = β α Câu 4 (1,25 điểm): Cho đường tròn (C): 2 2 12 2 3 0x y x y+ − + + = a) Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C) b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) qua P(-2; -3) Câu 5 (2,5 điểm): Cho parabol (P): y 2 = 4x và đường thẳng d: 2x – y – 4 = 0 a) Xác định tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol (P) b) Xác định tọa độ giao điểm A, B của d và (P) c) Tìm điểm C thuộc parabol (P) sao cho ∆ABC có diện tích bằng 12 Hết ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm 1a + Bất phương trình 2 2 3 2 0x x− + + ≥ có tập nghiệm 1 1 ;2 2 S − = + Bất phương trình 2 5 4 0x x− + > có tập nghiệm ( ) ( ) 2 ;1 4;S = −∞ ∪ +∞ + Tập nghiệm của hệ là: 1 2 1 ;1 2 S S S = ∩ = − ÷ 0,5 0,5 0,25 1b 2 2 2 2 2 2 21 4 0 21 4 3 3 0 21 4 ( 3) 21 4 0 3 0 5 6 0 7 3 3 6 1 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − ≥ − − < + ⇔ + > − − ≥ + − − ≥ ⇔ + > + − > − ≤ ≤ ⇔ > − < − ∨ > ⇔ < ≤ − 0,5 0,25 0,25 0,25 2a + 2 2 2 2 2 2 16 9 os sin 1 os 1 sin os 1 os 25 25 c a a c a a c a c a+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = + Do 2 a π π < < nên 3 osa=- 5 c + 4 3 24 sin 2 2sin cos 2 5 5 25 a a sa = = − = − ÷ ÷ + 2 9 7 os2a=2cos 1 2. 1 25 25 c a − = − = − 0,5 0,25 0,25 0,25 2b sin( ) osa.sinb sin .cos osa.sinb-cosa.sinb sin( ) cosa.sinb sin .cos osa.sinb+cosa.sinb sin .cos sin .cos 1 a b c a b c a b a b c a b a b + − + = − + − = = 0,5 0,25 0,25 2c 2a 2 4sin sin sin 2sin ( os os ) 3 3 3 3 3 3 2a 2sin os sin 3 3 3 sin sin sin 3 3 sin sin sin sin 3 3 a a a a c c a a c a a a a a a a π π π + − = − = + = + − + ÷ = − + = 0,25 0,25 0,25 0,25 3 Ta có: 1 1 tan ; tan 2 3 α β = = tan tan tan( ) 1 tan .tan 1 1 2 3 1 1 1 6 α β α β α β + + = − + = = − Do α, β các góc nhọn nên 4 π α β + = 0,25 0,25 0,25 4a Ta có: 2 12 6 2 2 1 3 3 a a b b c c = − = − = ⇒ = = = Tâm I(6; -1), bán kính 2 2 6 ( 1) 3 34R = + − − = 0,25 0,25 4b Gọi đường thẳng ∆ qua P(-2; -3) có VTPT ( ; )n a b= r Phương trình ∆ là: a(x + 2) + b(y + 3) = 0 ⇔ ax + by +2a +3b = 0 ∆ là tiếp tuyến của đường tròn (C) ⇔ d(I, ∆) = R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 3 34 8 2 34. 64 32 4 34 34 30 32 30 0 15 16 15 0 a b a b a b a b a b a ab b a b a ab b a ab b − + + = ⇔ + = + + ⇔ + + = + ⇔ + − = ⇔ + − = Chọn b = 1 ta có 2 3 5 15 16 15 0 5 3 a a a a = + − = ⇔ = − Vậy: Có 2 tiêp tuyến với (C) đi qua P(-2; -3) là: ∆ 1 : 5x – 3y + 1 = 0 ∆ 2 : 3x + 5y + 21 = 0 0,25 0,25 0,25 5a Phương trình parabol có dạng chính tắc y 2 = 2px với p = 2 Tiêu điểm F(1; 0) Phương trình đường chuẩn: x = -1 0,25 0,25 0,25 5b Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ: 2 4 2 4 0 y x x y = − − = Giải hệ ta được: 1 4 ; 2 4 x x y y = = = − = Vậy: d cắt (P) tại A(1; -2); B(4;4) 5c 9 36 3 5AB = + = Gọi 2 ( ; ) 4 c C c thuộc (P), khoảng cách C đến đường thẳng d là: 2 2 8 2 5 c c h − − = Diện tích của ∆ABC =12 2 2 2 8 1 24 24 . 12 2 2 5 3 5 2 8 16 6 4 c c AB h h AB c c c c − − ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − − = = ⇔ = − Vậy: có 2 điểm cần tìm C 1 (9; 6) và C 2 (4; -4) 0,25 0,25 0,25 0,25 . ĐỀ THI HỌC KÌ II – Năm học: 2009-2 010 Môn: Toán – Thời gian: 90 phút Câu 1 (2,5 điểm): Giải bất phương trình và hệ bất