CHỦ ĐỀ 1 :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thò ( C ) tại điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) thuộc ( C ) @ PTTT có dạng (d) : y – y 0 = f’(x 0 ) (x – x 0 ) @ Tìm x 0 , y 0 , f’(x 0 ) theo sơ đồ : x 0 ⇒ y 0 ⇒ f’(x 0 ) f’(x 0 ) ⇒ x 0 ⇒ y 0 @Thế vào tìm (d) Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thò ( C ) đi qua điểm A(x A ;y A ) @ Pt dường thẳng (d) đi qua điểmA và có hệ số góc k là : (d) : y – y A = k (x – x A ) @ (d) tiếp xúc với ( C ) { ⇔ = = ) thức đa hàmvới đối ( thức) phân hàmvới đối ( képnghiệm có (d) và ) C ( của chung điểm độ hoànhtrình phương )x(g )x(f )x('g )x('f @ Giải hệ tìm k ⇒ x 0 ⇒ y 0 ⇒ (d) Bài toán 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = f (x) , đường thẳng (d) : y = g(x) và các đường x = a , x = b B1 : Ta có S = dx.)x(g)x(f b a ∫ − B2 : Khử dấu GTTĐ ( bằng các cách sau :dựa vào đồ thò ; xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ ; đưa dấu GTTĐ ra khỏi dấu tích phân ) B3 : Tính * Chú ý : Kết quả là số dương Chưa đủ 4 đường thì tìm cho đủ bằng cách lập pt hoành độ điểm chung ( hoặc pt tung độ điểm chung ) Bài toán 4 : Tính diện tích hình tròn xoay Hinh phẳng : x O trục quanh Quay b x a x có) phảic bắt buộ( 0y:Ox )x(fy:)C( = = = = Có thể tích là : V = ( ) ∫ π b a 2 dx)x(f Hinh phẳng : ( ) : ( ) : 0 ( bắt buộc phải có) y a y b quanh trục O y C x f y Oy x Quay = = = = Có thể tích là : V = ( ) ∫ π b a 2 dy)y(f * Bình phương hàm số f(x) rồi tính 1 Bài toán 5 : Dựa vào đồ thò biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0 B1 : Đưa phương trình g(x) = 0 về dạng f(x) = m ( hoặc f(x) = m + C ) (1) với f(x) là đồ thò ( C ) của hàm số vừa khảo sát ở trên B2 : (1) là pt hoành độ điểm chung của ( C ) và đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C ) Số nghiệm của (1) = số giao điểm của ( C ) và (d) B3 : Dựa vào đồ thò ta có : 5 trường hợp ( sử dụng các giá trò y CT , y CĐ trong BBT ) * m < ? * m = ? * ? < m < ?? * m = ?? * m > ?? * Có thể chỉ hỏi 1 trường hợp ( VD : dựa vào đồ thò tìm các giá trò của m để pt trình có 4 nghiệm phân biệt) Bài toán 6 : Biện luận số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x) B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại B2 : Biện luận *Nếu (1) là PT : ax + b = 0 Biện luận 2 trường hợp : a = 0 : ⇒ giá trò tham số m, thế vào PT, kết luận nghiệm ⇒ số giao điểm a≠ 0 : ⇒ giá trò m ⇒ 1 ngiệm ⇒ 1 giao điểm *Nếu (1) là PT : ax 2 + bx + c = 0 Biện luận 2 trường hợp : a = 0 : ⇒ giá trò tham số m, thế vào PT, kết luận nghiệm ⇒ số giao điểm a≠ 0 : ⇒ giá trò m ; tính ∆ ( hoặc ∆’) ; xét dấu ∆ ( hoặc ∆’) ⇒ số giao điểm Bài toán 7 :Tìm m để hàm số tăng ( hoặc giảm ) trên R hay trên từng khoảng xác đònh B1 : TXĐ B2 : Tính y’ B3 : Để hàm số tăng hoặc giảm trên R ⇒<∆ ⇒≤∆ ⇔ <> ≤≥ ⇔ m tìm BPT giải 0 m tìm BPT giải 0 lại còn hàmvới đối ) 0 y' hoặc( 0 y' ba bậc hàmvới đối ) 0 y' hoặc( 0'y Bài toán 8 : Xác đònh m để hàm số có cực trò ( hoặc có CĐ và CT ) B2 : y’ B3 : Để HS có cực trò thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > 0 ( hoặc ∆’ > 0) B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc ∆’) 2 Bài toán 9 : Xác đònh m để hàm số có cực trò ( hoặc có CĐ và CT ) B2 : y’ B3 : Để HS có cực trò thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒ ∆ > 0 ( hoặc ∆’ > 0) B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc ∆’) Bài toán 10 : Tìm m để đồ thò ( Cm ) nhận điểm uốn có hoành độ là x 0 B1 : TXĐ B2 : Tính y’ , y’’ B3 : Để đồ thò có điểm uốn tại x0 thì y’’ (x0) = 0 : giải PT tìm m B4 : (Thử lại) Thế m vào y’’ = 0 . Nếu tại x 0 đồ thò có điểm uốn thì nhận m Bài toán 11 : Tìm m để đồ thò nhận điểm I(x 0 ;y 0 ) làm điểm uốn B1 : TXĐ B2 :y’ ; y’’ B3 : I(x 0 ;y 0 ) là điểm uốn = = ⇔ 00 0 y)x(y 0)x(''y Giải hệ tìm m Bài toán 12 : Tìm m để đồ thò ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 3 điểm phân biệt (đối với Hàm bậc 3 ) B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm 1 nghiệm đặc biệt x 0 . B2 : Chia đa thức đưa về dạng :(x – x 0 )( Ax 2 + Bx + C ) = 0 (1) ⇔ =++ =− (2) 0CBxAx 0xx 2 0 B3 : ( Cm ) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm pb ⇔ (2) có 2 nghiệm khác x 0 >∆ ≠ ≠++ ⇔ 0 0A 0CBxAx 0 2 0 Bài toàn 13 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trò ( hoặc có 3 cực trò) @ TXĐ @ Tính :y’ @ Để hs có 1 cực trò ( hoặc có 3 cực trò ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb) @ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2) * Cách khác : Để hs có 1 cực trò thì a và b trái dấu ( a.b < 0) Để hs có 3 cực trò thì a và b cùng dấu ( a.b > 0) 3 Bài toán 14 : Tìm m để đồ thò ( Cm ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 4 điểm phân biệt (đối với Hàm bậc 4) @ PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) . Đưa về PT trùng phương (1) @ Đặt t = x 2 (t ≥ 0) . PT trở thành at 2 + bt + c = 0 (2) @ ( Cm ) cắt đường thẳng d tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm pb ⇔ (2) có 2 nghiệm dương pb ⇔ 0 < t 1 < t 2 ⇔ >−= >= >∆ 0 a b S 0 a c P 0 B4 : Giải hệ 3 BPT tìm m Bài toán 15 : Tìm tát cả các điểm trên đồ thò có toạ độ nguyên (x, y là số nguyên) ( đối với hàm phân thức) @ Chia tử cho mẫu để được dạng :y = Ax + @ Để x, y là số nguyên thì phải là số nguyên ⇒ (cx + d) là ước của B ⇒ x ⇒ y ⇒ điểm M(x ; y) VD : 1x 4 − là số nguyên ⇒ (x – 1) là ước của 4 ⇒ ⇒⇒−=− ⇒⇒=− ⇒⇒−−− ⇒⇒=− ⇒⇒−=− ⇒⇒=− yx41x yx41x yx21x yx21x yx11x yx11x Bài toán16 :Tìm tập hợp điểm @ Tìm toạ độ điểm M cần tìm =⇒ = = =⇒ = = =⇒ = = 0 y) F(x, : đường là M điểm các hợptập , m Khử )m(gy )m(fx M c y thẳng đường là M điểm các hợpTập cy )m(fx M c x thẳng đường là M điểm các hợpTập )m(fy cx M Bài toán 17 : Xác đònh m để hàm số có cực trò ( hoặc có CĐ và CT ) tại M(x 0 ; y 0 ) 4 B1 : TXĐ B2 : y’ B3 : Để HS có cực trò ( hoặc có CĐ và CT ) tại M thì : 0 0 0 '( ) 0 ( ) y x y x y = = B4 : Giải hệ PT tìm m B5 : Thử lại (thế m vào pt y’ = 0 ⇒ x ; Vẽ BBT nếu tại M hàm số thoả yêu cầu đề thì nhận m) Bài toán 18 : Xác đònh m để (Cm) luôn lồi ( hoặc lõm) :( đối với hàm trùng phương) @ TXĐ @ Tính :y’ ; y’’ @ Để đồ thò hs lồi (hoặc lõm) thì : y’’≤ 0 , ∀x ( hoặc y’’≥ 0 , ∀x ) ⇒ ∆ ≤ 0 ( hoặc ∆ ≥ 0) ; ∆ của y’’ @ Giải bpt tìm m Bài toàn 19 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trò ( hoặc có 3 cực trò) @ TXĐ @ Tính :y’ @ Để hs có 1 cực trò ( hoặc có 3 cực trò ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb) @ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2) * Cách khác : Để hs có 1 cực trò thì a và b trái dấu ( a.b < 0) Để hs có 3 cực trò thì a và b cùng dấu ( a.b > 0) Bài toán 20 : Chứng minh rằng từ điểm M (a ; b) bất kỳ trên đồ thò (C) có tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 1 hằng số ( không phụ thuộc vào M) : + Viết pt các đường tiệm cận dưới dạng tổng quát : Ax + By + C = 0 + p dung công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt ∆ : d (M, ∆) = 22 MM BA Cy.Bx.A + ++ tính khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận + Tính tích : d 1 .d 2 ( là 2 khoảng cách trên) + Vì M ∈ (C) ⇒ b = f( a) ( thế toạ độ điểm M vào hàm số ) + Thay vào tích : d 1 .d 2 rút gọn thành hằng số * Mở rộng bài toán : Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) đạt giá trò lớn nhất : + Làm như trên + Thêm 1 bước : p dụng BĐT Côsi cho 2 số d 1 và d 2 : 1 2 1 2 . 2 d d d d + ≤ Vì d 1 .d 2 là hằng số nên (d 1 + d 2 ) đạt giá trò mlớm nhất = 1 2 2 .d d 5 . O trục quanh Quay b x a x có) phảic bắt buộ( 0y:Ox )x(fy:)C( = = = = Có thể tích là : V = ( ) ∫ π b a 2 dx)x(f Hinh phẳng : ( ) : ( ) : 0 ( bắt buộc phải có) y a y b quanh trục. CHỦ ĐỀ 1 :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thò ( C ) tại điểm M 0 (x 0 ;y 0 ) thuộc ( C ) @ PTTT có