Một số ứng dụng khác của đạo hàm

Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM A.Định lí Lagrăng Định lý:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) thì tồn tại ít nhất một điểm c thuộc khoảng (a; b) sao cho ))(()()( , abcfafbf −=− Ý nghĩa hình học của định lý Từ đẳng thức ab afbf cfabcfafbf − − =⇒−=− )()( )())(()()( ,, Ta có ab afbf − − )()( là hệ số góc của đường thẳng AB , )( , cf là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại c Vậy ý nghĩa hình học của định lý là : Nếu hàm số )(xf thỏa mãn điều kiện của định lý Lagrăng thì trên cung AB của đồ thị hàm số )(xf tồn tại ít nhất một điểm mà tiếp tuyến của đồ thị tại đó song song với AB. Hệ quả: Nếu hàm số )(xf liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b) và )()( bfaf = thì tồn tại ít nhất một điểm c thuộc khoảng (a; b) sao cho 0)( , =cf . B.Các ứng dụng khác của đạo hàm I.Chứng minh một biểu thức không phụ thuộc x. Ví dụ 1: Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào x a.A = ) 3 2 (cos) 3 2 (coscos 222 xxx −+++ ππ b.B = ) 3 2 (sin) 3 2 (sinsin 222 xxx −+++ ππ Bài giải: a.Đặt f(x) = ) 3 2 (cos) 3 2 (coscos 222 xxx −+++ ππ ta có 02sin2sin2sin 3 cos22sin )2 3 sin()2 3 sin(2sin)2 3 4 sin()2 3 4 sin(2sin ) 3 2 sin() 3 2 cos(2) 3 2 sin() 3 2 cos(2sincos2)( , =+−=+−= −−++−=−++−−= −−+++−−= xxxx xxxxxx xxxxxxxf π ππππ ππππ Do )(0)( , xfxf ⇒= là hằng số Vậy A không phụ thuộc vào x. b. Đặt g(x) = B = ) 3 2 (sin) 3 2 (sinsin 222 xxx −+++ ππ Ta có 02sin2sin)2sin( 3 cos22sin ) 3 sin() 3 sin(2sin)2 3 4 sin()2 3 4 sin(2sin ) 3 2 cos() 3 2 sin(2) 3 2 cos() 3 2 sin(2cossin2)( , =−=−+= −++−=−−++= −−−+++= xxxx xxxxxx xxxxxxxg π ππππ ππππ Do )(0)( , xgxg ⇒= là hằng số Vậy B không phụ thuộc vào x. Ví dụ 2:Tìm a sao cho xxaxxf 22 cos2sin2cos)( +−= không phụ thuộc x TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 1 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh Bài giải: xxaxxf 22 cos2sin2cos)( +−= không phụ thuộc x khi và chỉ khi Rxxf ∈∀= ,0)( , 505,02sin)5( ,0sincos6cossin22sin2 −=⇔=+⇔∈∀=+−⇔ ∈∀=−−−⇔ aaRxxa Rxxxxxax II. Dùng đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với 0 >∀ x ta có xx x x <<− sin 6 3 Bài giải: Xét hàm số xx x xf sin 6 )( 3 +−= trên khoảng (0; +∞) Ta có xxxf xxxf x x xf ∀≥−= −= +−= ,0cos1)( sin)( cos1 2 )( ,,, '' 2 , Suy ra )( ,, xf đồng biến trên );0[ +∞ ( ) )(,00)( ,,,,, xfxfxf ⇒∈∀=≥⇒ đồng biến trên );0[ +∞ )();0[,0)0()( ,, xfxfxf ⇒+∞∈∀=≥⇒ đồng biến trên [0;+∞) x x xxxx x xfxf sin 6 0,0sin 6 0,0)0()( 33 <−⇒>∀>+−⇒>∀=>⇒ (1) .Ta đã có xxxf sin)( , −= đồng biến trên .0,sin0)0(sin)();0[ ,, >∀<⇒=>−=⇒+∞ xxxfxxxf (2) Từ (1) và (2) suy ra: với 0>∀x ta có xx x x <<− sin 6 3 Ví dụ 2: Chứng minh 20 7 20sin 3 1 0 << . Bài giải: Ta có 0300300 20sin420sin3 2 3 20sin420sin360sin −=⇔−= Vậy sin20 0 là nghiệm của phương trình 2 3 43 3 =− xx Xét hàm số 3 43)( xxxf −= trên R có 2 1 0)(123)( ,2, ±=⇔=⇒−= xxfxxf Bảng biến thiên: + - - 0 0 f ' (x) f(x) x 1 2 - 1 2 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 2 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh Do 0 20sin, 3 1 ) 2 1 ; 2 1 ( 20 7 , −∈ vậy 20 7 20sin; 3 1 0 và là các giá trị của biến số x cùng thuộc khoảng đồng biến của hàm số 3 43)( xxxf −= Suy ra 8000 7028 2 3 27 23 ) 20 7 ()20(sin) 3 1 ( 20 7 20sin 3 1 00 <<⇔<<⇔<< fff . Do BĐT 8000 7028 2 3 27 23 << đúng nên BĐT 20 7 20sin 3 1 0 << đúng. Ví dụ 3: Chứng minh 333 4224 +> . Bài giải: Đặt 06666)42(6642 3 33 3 33 =−−⇔+=++=⇔+= xxxxx Xét hàm số 66)( 3 −−= xxxf trên R Ta có : 0)42( 33 =+f 220)(63)( 2,2, ±=⇔=⇔=⇒−= xxxfxxf Bảng biến thiên: 2 - 2 + - 0 0 f ' (x) f(x) x Do 333 2442 và+ đều lớn hơn 2 nên 333 2442 và+ là hai giá trị của biến số x cùng thuộc khoảng đồng biến );2( +∞ của hàm số 66)( 3 −−= xxxf Mà )42(24(0)24(02761824618)24( 3333 3 33 +>⇒>⇒=−>−= ffff Suy ra 333 4224 +> Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu x + y = 1 thì 8 1 44 ≥+ yx Bài giải: Từ giả thiết x + y = 1 suy ra y = 1 - x 4444 )1( xxyx −+=+⇒ Xét hàm số 44 )1()( xxxf −+= Có ])1([4)1(44)( 3333, xxxxxf −−=−−= 2 1 0)( , =⇔= xxf Bảng biến thiên: 1 8 + - 0 f ' (x) f(x) x 1 2 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 3 Mt s ng dng khỏc ca o hm Nguyn c Thanh T bng bin thiờn 8 1 ) 2 1 ()( = fxf du bng xy ra khi v ch khi 2 1 =x Vớ d 5: Cho 2 0 <<< ba . Chng minh rng b ba ab a ba 22 cos tantan cos << Bi gii: Xột hm s xxf tan)( = trờn khong (0; ) 2 Cú ) 2 ;0(,0 cos sin cos sincos2 )( cos 1 )( 34 ,, 2 , >=== x x x x xx xf x xf Suy ra x xf 2 , cos 1 )( = l hm s ng bin trờn khong ) 2 ;0( Trờn [a; b] vi a, b thuc ) 2 ;0( hm s xxf tan)( = liờn tc v cú o hm trờn khong (a; b) Theo nh lớ Lagrng thỡ );( bac sao cho ab c ab ab ab c ab afbf cf tantan cos tantan cos 1)()( )( 22 , = = = Do x xf 2 , cos 1 )( = l hm s ng bin trờn khong ) 2 ;0( b ab c ab a ab bca 222222 coscoscoscos 1 cos 1 cos 1 < < << Vy b ab ab a ab 22 cos tantan cos << . Vớ d 6: Cho n l s nguyờn l 3n . Chng minh rng vi mi 0a luụn cú: 1) !)!1( !3!2 1)( ! !3!2 1( 13232 < ++++++++ n a n aaa a n aaa a nnn Bi gii: Coi a là ẩn , điều kiện a khác 0 Đặt )!1( !2 1 ! !3!2 1 12 , 32 ++++=+++++= n aa au n aaa au nn )!1()!2( !4!3!2 1 !)!1( !3!2 1 12432 , 132 ++++= +++= n a n aaaa av n a n aaa av nn nn Khi đó ! , ! ,, n a vv n a uu nn =+= 0) )!1( !4!2 1(2 142 > ++++=+ n aaa vu n với mọi a và n lẻ n > 2 Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là f(a) Ta có )( ! ) ! () ! ()( ,,, vu n a n a uv n a vuvuuvaf nnn +=+=+= Do >< <> >+ 00)( 00)( 0,0 , , akhiaf akhiaf avu TRNG THPT H TRUNG THANH HểA 4 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh Ta cã b¶ng biÕn thiªn a ∞+∞− 0 )( , af + - )(af 1 do a kh¸c 0 nªn f(a) <1 ( ®iÒu ph¶i chøng minh) III.Dùng đạo hàm để xét phương trình và bất phương trình. Ví dụ 1: Cho m > 0 và ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện: 0 12 =+ + + + m c m b m a Chứng minh rằng phương trình 0 2 =++ cbxax có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Bài giải: Xét hàm số m cx m bx m ax xf mmm + + + + = ++ 12 )( 12 ta có f(x) là hàm số xác định trên R và có đạo hàm )()( 2111, cbxaxxcxbxaxxf mmmm ++=++= −−+ Ta thấy hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện của định lí Lagrăng trên đoạn [0; 1] Suy ra tồn tại )1;0( 0 ∈x sao cho 0)( )( 12 )01)(()0()1( 0 2 0 1 0 0 2 0 1 00 , =++⇔ ++=+ + + + ⇔−=− − − cbxaxx cbxaxx m c m b m a xfff m m Vì 00)1;0( 0 2 0 1 00 =++⇒≠⇒∈ − cbxaxxx m Vậy phương trình 0 2 =++ cbxax có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên chẵn và a > 3 thì phương trình 0)2(3)1( 212 =++−+ +++ nnn axnxn vô nghiệm. Bài giải: Xét hàm số 212 )2(3)1()( +++ ++−+= nnn axnxnxf . Có    = = ⇔=⇒ −++=++−++= + 3 0 0)( )3()1)(2()1)(2(3)1)(2()( , 1, x x xf xxnnxnnxnnxf nnn Do n chẵn nên 0≥ n x . Ta có bảng biến thiên f(3) 0 3 + - - 0 0 f ' (x) f(x) x Từ bảng biến thiên suy ra 03)3()(min 22 >−== ++ nn R afxf (Do a > 3) Như vậy đồ thị hàm số f(x) không cắt trục hoành nên phương trình f(x) = 0 vô nghiệm. Ví dụ 3: Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 13 2 +=+ xmx . Bài giải: TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 5 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh Vì ⇒≠+ 01 2 x phương trình: m x x xmx = + + ⇔+=+ 1 3 13 2 2 . Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số mx x xf + + = 2 3 )( với đường thẳng y = m. Xét hàm số 1 3 )( 2 + + = x x xf là hàm số xác định trên R và có 3 1 0)(, )1( 13 )( , 32 , =⇔= + +− = xxf x x xf Lại có 1 1 3 lim)(lim 2 −= + + = −∞→−∞→ x x xf xx và 1 1 3 lim)(lim 2 = + + = +∞→+∞→ x x xf xx Bảng biến thiên: 10 1 -1 + ∞ - ∞ + - 0 f ' (x) f(x) x 1 3 Từ bảng biến thiên ta có: Nếu m < - 1 hoặc m > 10 phương trình vô nghiệm. Nếu -1 < m 1≤ hoặc m = 10 phương trình có 1 nghiệm. Nếu 1 < m < 10 phương trình có 2 nghiệm. Ví dụ 4: Tìm a để phương trình 0218 23 =−+− aaxxx có 3 nghiệm dương phân biệt. Bài giải: Phương trình )91(20218 2323 xaxxaaxxx −=−⇔=−+− Nhận thấy 9 1 =x không phải là nghiệm của phương trình đã cho Suy ra phương trình a x xx xaxx = − − ⇔−=− )91(2 )19(2 23 23 Phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số )91(2 )( 23 x xx xf − − = Và đường thẳng y = a cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ dương Xét hàm số f(x) xác định trên tập D = R \       9 1 và có     = = ⇔= − −− = 3 1 0 0)(, )91( )13( )( , 2 2 , x x xf x xx xf Bảng biến thiên: TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 6 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh - + ∞ - ∞ 0 1 9 + - - 0 0 f ' (x) f(x) x 1 3 Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy nếu đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) thì không có quá hai điểm có hoành độ dương Vậy không có giá trị nào của a để phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt. Ví dụ 5: Tìm m để phương trình mxxxx =−+−−++ )6)(3(63 có nghiệm. Bài giải: Đặt t = xx −++ 63 với [ ] 6;3−∈x Ta có 2 3 63 36 0, )6)(3(2 36 ,, =⇔    ≤≤− +=− ⇔= −+ +−− = x x xx t xx xx t Bảng biến thiên: t 3 2 t ' -3 6 3 3 + - 0 x 3 2 Từ bảng biến thiên của hàm số t suy ra [ ] 23;3∈t Khi đó 2 9 )6)(3( 2 − =−+ t xx Phương trình đã cho trở thành )1( 2 9 22 9 22 mt t m t t =++−⇔= − − Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi đường thẳng y = m và đồ thị hàm số 2 9 2 )( 2 ++−= t t tf có điểm chung. Xét hàm số 2 9 2 )( 2 ++−= t t tf với [ ] 23;3∈t có 1)( , +−= ttf Bảng biến thiên : TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 7 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh 3 2 - 9 2 3 2 t 3 1 3 - f ' (t) f(t) Từ bảng biến thiên của hàm số f(t) ta có những giá trị cần tìm của tham số m là:       −∈ 3; 2 9 23m Ví dụ 6: Biết rằng: 4a + 3b +3c = 0. Chứng minh rằng phương trình 0 2 =++ cbxax có nghiệm trong khoảng (0; 2) Bài giải: Xét hàm số cx bxax xf ++= 23 )( 23 . ta có f(x) là hàm số liên tục trên R và cbxaxxf ++= 2, )( Áp dụng định lí Lagrăng Ta có trên đoạn [0; 2] luôn tồn tại )2;0( 0 ∈x sao cho 0 0)334( 3 1 3 4 2 2 2 4 3 8 02 )0()2( )( 0 2 0 0 , =++⇒ =++=++= ++ = − − = cbxax cbacb a c ba ff xf Điều đó chứng tỏ phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng ( 0; 2). Ví dụ 7: Cho a, b , c là ba số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài giải: Xét hàm số ))()(()( cxbxaxxf −−−= Là hàm số xác định và có đạo hàm tại mọi x thuộc R =)( , xf (x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) Ta có 0)()()( === cfbfaf Theo định lý Lagrăng thì tồn tại x 1 , x 2 sao cho cxbxa <<<< 21 sao cho 0)()( 2 , 1 , == xfxf Điều đó có nghĩa là phương trình =)( , xf (x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) = 0 có ít nhất hai nghiệm. Mặt khác phương trình =)( , xf (x – a)(x – b) + (x – a)(x – c) + (x – b)(x – c) = 0 là phương trình bậc hai nên có tối đa hai nghiệm suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt. Ví dụ 8: Tìm m để bất phương trình 13 +≤−− mxmx có nghiệm. Bài giải: Tập xác định của bất phương trình là [ ) ∞+;3 Đặt [ ) +∞∈⇒−= ;03 txt Bất phương trình đã cho trở thành 2 1 2)2( 2 2 + + ≤⇔+≤+ t t mttm (1) Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm ⇔ bất phương trình (1) có nghiệm 0 ≥ t . TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 8 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh Điều đó tương đương với có phần đồ thị hàm số 2 1 )( 2 + + = t t tf ứng với 0 ≥ t không nằm dưới đường thẳng y = m Xét hàm số 2 1 )( 2 + + = t t tf có 31 0 31 31 0 022 0)( )2( 22 )( 2 , 22 2 , +−=⇔      ≥     +−= −−= ⇔    ≥ =+−− ⇔=⇒ + +−− = t t t t t tt tf t tt tf Bảng biến thiên: - ∞ 3 +1 4 -1+ 3 -1- 3 + ∞ + ∞ + _- 0 0 f'(t) f(t) t Từ bảng biến thiên suy ra những giá trị cần tìm của m là 4 13 + ≤m Ví dụ 9: Tìm m sao cho hệ bất phương trình      <++ <−+ 013 0123 3 2 mxx xx Có nghiệm . Bài giải: Với mọi m thì x = 0 không phải là nghiệm của hệ đã cho nên                   + −< <<      + −> <<− ⇔        <++ ≠ <<− ⇔      <++ <−+ x x m x x x m x mxx x x mxx xx 3 1 3 1 0 3 1 01 013 0 3 1 1 013 0123 3 3 3 3 2 Xét hàm số x x xf 3 1 )( 3 + −= trên (-1; 0 ) \ { } 0 có 3 , 2 3 , 2 1 0)( 3 21 )( =⇔=⇒ − = xxf x x xf Bảng biến thiên: 1 3 2 + - 28 27 1 3 -1 - ∞ + ∞ + 0 0 f'(x) f(x) x TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 9 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh Từ bảng biến thiên suy ra hệ (1) có nghiệm khi m > 0 , hệ (2) có nghiệm khi 27 28 −<m Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ít nhất một trong hai hệ (1) hoặc (2) có nghiệm Khi và chỉ khi m > 0 hoặc m < 27 28 − Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi a khác 0 hệ phương trình        += += x a xy y a yx 2 2 2 2 2 2 Có nghiệm duy nhất Bài giải: Do x và y đều khác 0 nên    =− >= ⇔        > > =+++− += ⇔        > > += += ⇔        += += )2(2 )1(0 0 0 0)22)(( 2 0 0 2 2 2 2 223 22 222 222 222 2 2 2 2 axx yx y x yxyxyx ayyx y x axxy ayyx x a xy y a yx Ta nhận thấy số nghiệm của hệ phương trình đã cho chính là số nghiệm dương của phương trình (2) Xét hàm số 23 2)( xxxf −= trên khoảng );0( +∞ có 3 1 0)(26)( ,2, =⇔=⇒−= xxfxxxf +∞== +∞→ → + x x lim;0lim 0 Bảng biên thiên: + ∞ + ∞ + _- 1 3 0 0 0 f'(x) f(x) x Từ bảng biến thiên ta nhận thấy đường thẳng y = a 2 chỉ cắt đồ thị hàm số 23 2)( xxxf −= tại một điểm có hoành độ dương duy nhất với mọi a nên phương trình (2) chỉ có một nghiệm dương với mọi a suy ra hệ đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a. C.Bài tập luyện tập Bài 1: Cho n > 1 và 0 < a < b. Chứng minh: )()( 11 abnbababna nnnn −<−<− −− Bài 2: Với a + b 0 ≥ và n nguyên dương. Chứng minh 2 ) 2 ( nn n baba + ≤ + Bài 3: Chứng minh rằng: 9 32 )1( 2 ≤− xx với )1;0(∈∀x . Áp dụng để chứng minh: Nếu a, b, c dương và 1 222 =++ cba thì 2 33 222222 ≥ + + + + + ba c ac b cb a . TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 10 [...].. .Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh n Bài 4: Cho n nguyên dương Chứng minh rằng: x 1 − x < 1 2ne với mọi x ∈ (0; 1) Bài 5: Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có: a sinx < x − x3 x5 + 3! 5! b cos x < 1 − x2 x4 + 2! 4! Bài 6: Chứng minh rằng nếu 0 < x < cos x π >8 thì 2 sin x(cos x − sin x ) 4  π 3π  Bài 7: Chứng minh rằng x ∈  ;  thì: 5 5  1... 2 x 3 − x 2 + x − 1 = 0 chỉ có một nghiệm duy nhất x 3 2 Bài 19: Chứng minh rằng phương trình : x − − 6 x − x + 1 + 1 = 0 không có nghiệm âm 2  x 2 − 4 xy + y 2 = m  Bài 20: Chứng minh hệ phương trình:  2  y − 3 xy = 4  Có nghiệm với mọi m TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG – THANH HÓA 11 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh 4 2 Bài 21: Cho a ≤ 6, b ≤ −8, c ≤ 3 Chứng minh rằng bất phương trình... + sin 3x + sin 4 x ≥ 2 3 4 3 1 2 1 2 25 Bài 8: Chứng minh với a, b > 0 và a + b = 1 thì (a + ) + (b + ) ≥ a b 2 Bài 9: Chứng minh: 1 7 0 0 a tan 10 > , b tan 55 > 6 5 0 3 3 3 3 c 43 < 9 + 3 < 44 , d 5 tan 6 > 6 tan 50 π Chứng minh rằng α sin α − β sin β > 2(cos β − cos α ) 2 Bài 11: Với n là số nguyên dương cho trước, hãy biện luận theo a số nghiệm của phương trình: x 2n+ 2 x n+2 x 2 + + +a =0 2n... Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x + m = m x 2 + 1 Bài 15: Chứng minh phương trình ( x + a) 3 + ( x − b) 3 − x 3 = 0 không thể có 3 nghiệm phân biệt với mọi a, b thuộc R 2 2 Bài 16: Tìm a để phương trình 2 x − 3 x − 2 = 5a − 8 x − 2 x có nghiệm duy nhất Bài 10: Cho 0 < α < β < 2 2 Bài 17: Tìm a để phương trình − 2 x + 10 x − 8 = x − 5 x + a có 4 nghiệm phân biệt Bài 18: Chứng minh phương... 22: Chứng minh rằng bất phương trình x 4 + px + q ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ R khi và chỉ khi 256q 3 ≥ 27 p 4 Bài 23:Tìm m để bất phương trình x + 1 − 4 − x ≥ m có nghiệm Bài 24: Tìm m để hệ bất phương trình  x 2 − 3x ≤ 0   3 2  x − 2 x x − 2 − m − 20m > 0  Có nghiệm Bài 25: Tìm m để phương trình 2 x 2 − 2(m + 4) x + 5m + 10 + 3 − x = 0 có nghiệm Bài 26: Cho a, b , c , d là bốn số thực đôi một khác. .. + 5m + 10 + 3 − x = 0 có nghiệm Bài 26: Cho a, b , c , d là bốn số thực đôi một khác nhau Chứng minh rằng phương trình (x – a)(x – b)(x – c) + (x – a)(x – b)(x – d) + (x – a)(x – c)(x – d)+ (x – b)(x – c)(x – d) = 0 có ba nghiệm phân biệt a b c d Bài 27: Cho 4 số a; b; c; d thỏa mãn điều kiện: + + + = 0 Chứng minh rằng phương trình 6 5 4 3 3 2 ax + bx + cx + d = 0 có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) TRƯỜNG . Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA ĐẠO HÀM A.Định lí Lagrăng Định lý:Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng. HÓA 2 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh Do 0 20sin, 3 1 ) 2 1 ; 2 1 ( 20 7 , −∈ vậy 20 7 20sin; 3 1 0 và là các giá trị của biến số x cùng thuộc khoảng đồng biến của hàm số. THANH HÓA 8 Một số ứng dụng khác của đạo hàm Nguyễn Đức Thanh Điều đó tương đương với có phần đồ thị hàm số 2 1 )( 2 + + = t t tf ứng với 0 ≥ t không nằm dưới đường thẳng y = m Xét hàm số 2 1 )( 2 + + = t t tf