~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~ ~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~ ~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~ ~ ~~~ [...]... = Erik (18 5.21) nq Since a(n) is monotone, k-1 k-1 E a(pi) < E j=1 jp- 1 E P -1 j=1 00 a (S) < P -1 s=(j- 1)p E a(1) , j=0 so that it follows from (18. 5 20) that k-1 n -1 Z (k - j)Eriogj C C2 k q 2 k-1 0 - n j=1 < co kq2 np a (Pi) j=1 co a(1)=O(n 2 /P 4) = 0( 1 /log o y(P) )-* 0 (18 5.22) = (18. 5 23) j=o as n-* oo Similarly, n -1 k-i Enink Z j=0 = 0 ? a (PJ) = O Jk-E1 Combining (18 5.21 )-( 18 5 23)... (2r-1) h (2 r-s+1) h (2r-1+1) h (2r-1) h(2r-1) h(2r-s) - ( h(2r-2) -sHere we choose s so that 2r l < N < 2r - s, so that ) h(2 r -1 -l c4 h(2r-1)< (1+E3)s < c4(1+E3) 1-1 If E 3 and e are chosen so small that (1+E3)(2+E) 2-1 -+ b < p < 1 , we obtain Yr < c5/(1 - P) = c3'' Thus, for this choice of e, 18 5 SUFFICIENT CONDITIONS 343 a2r < ( 2+ E)' a,+ C6 (U2r- 1)2+b = 2+b U2r h(2r -1 ) 2+t 2h (2 ) r Now... Since R (t) -+ 0 , lim (U` t1, b2) = 0 r- 00 for all ~ 1 , b2 EL ,,,(X) Hence, using (18. 3 6), (utY_Y) , = lim 2 U t S(Tn) - S(Tn) , Z n - oo Z-1 pT„+TX 'r f X (t) dt, ~ J i X (t) dt , ) 0 Since ~ is arbitrary, (t) dt, - lim 0 n- op Tn _ 18 4 333 STRONGLY MIXING SEQUENCES Ut Y- Y Y(T) - Y(0) = - i z _1 i T ~ X (t)dt , (18 3.7) 0 and since R (t) is continuous, t -1 ~ limEli X(t)dt-X(0) _ -r-0 0 t t... distribution of Z n is the same as that of Z;,, to the investigation of which we now turn We denote the characteristic function of an 1 ~ o by /n (t), and prove that IE(e On -+ 0 (18. 4.12) "z") (t)k I as n > oo The variable exp it (~o+ +~k-2) n is measurable with respect to 9(k -1 )p+(k-2)qI and it x exp - k-1 [Un is measurable with respect to fl(k-1)p+(k-1)q+ i t k-1 E exp - 1 By Remark 17 2.1, It k-2 ~j -. .. - an j=0 It ~ j E exp - ~ k-1 6n j=0 16a (q) , 6n and similarly, for 1 < k - 2, E exp it < ~j - E exp an j = 0 it