~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~~ ~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~ ~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~ ~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~ ~~~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~ ~~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~~~~ ~~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~ ~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~ ~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~ ~ ~ ~~ ~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~~~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~~ ~~ ~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~~ ~ ~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~ ~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~~ ~~~~ ~ ~~~ ~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ ~~~~~ ~ ~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~ ~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~ ~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~ ~~ ~ ~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~~~~ ~~~~~ ~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~ ~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~ ~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~ ~ ~~~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~~~~~~ ~~~ ~~ ~ ~~~~~~~~ ~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~ ~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~ ~~~~ ~~~~~~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~~~ ~~ ~ ~~~ ~ ~ ~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~ ~~ ~~~~~~~ ~ ~~~~ ~ ~~~ ~~ ~~~~ ~ ~ ~ [...]... that g (X) = 2 (14. 6.1) 7r(1 +x 2 ) 2 so that a =1 and, for t > 0, q5(t) = e - '(t+ 1) (14. 6.2) Then log 4(t) = -t+log (1+t), so that, in 0 < t < l, K(t) = - t -f- t - 2t 2 +3t 3- 4t4 ~ = -Zt2 +K 3 (t) , where (14. 6.3) K 3 (t)= -t+2t2+log (1+t), exp [nK 3 (t)] = e -nt+'Int 2 (1 + t)n Thus K 4 (t) will be a truncation of e-5nlz+-z52(1 +fin 3 ) _ + 30 Now 00 Re f B 6 e -z52 3e`5x d~ = - + x5 , 0 11... yun 2 ) - nAa/o-a ya n 2a (14. 5.4) In particular, taking y = x n , nAa/faxan2a = BE n -2 ' 3+E , ( 14. 5.5) and so, combining (14 5 3) and (14. 5.4), f n (x) dx = P (Z,, > x) _ "o p X = 1-~ (x)+r2(x, n2)+BE n -2 6 + 3 +E, for x < xn This formula is also true moreover for xn < quently, for such values of x, r2 (x, n2) nAa/Q©xan2a (14. 5.6) Xx) - (2 ) e -2 " 2 du+r(x, n2) , (14. 5.8) X X where r is a rational function We notice that the coefficients of the rational function are expressed in terms of a finite number of the derivatives at zero of the radial extension y (t) of 0(t) These derivatives are called the pseudomoments of X, If 0 (t) is differentiable h times at 0 (i.e if h < a - 1) then the first (h - 1) pseudomoments... 14 Now let 1 x n , +E, 00 fY Pn (x) dx -. .. corresponding moments only by powers 14 5 INVESTIGATION OF THE AUXILIARY INTEGRALS 265 of i The pseudomoments play the role of the linear functionals aj, b; described in Chapter 2 We remark that similar conclusions may be drawn when the densities have asymptotic expansions as x *co ; P (X, > x) = f g (u) d u 6a = Jx dG (v) + 0 J a X x 61 + and similarly for x-* - oo, where G is of bounded variation (but not... + x5 , 0 11 INTEGRAL THEOREMS HOLDING ON THE WHOLE LINE 26 6 Chap 14 so that Pn (x) 2 _ (27r) 2 e z xz + B nn-f x 4 + 0 x5 ' 00 P(Zn > x ) - ( 2ir )- u2 Z l For x,>n +; x e- du + 2 37cn+ x 3 (14 6 4) E nP(X 1 > xn2) ti 3 , ( 14 6 5) 3nn~ x which agrees with (14. 6.4) Notice that in this case even the third moment fails to exist, and the pseudomoment is needed