I.PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển bất phương trình ban đầu thành một bất phương trình với một ẩn phụ. II.VÍ DỊ MINH HỌA: Ví dụ 1: Giải bất phương trình : ( ) ( ) 1 2 1 3 1x x x− − ≤ − (1) Giải Điều kiện : 1 2 1 0 2 x x− ≥ ⇔ ≥ (*) Đặt ( ) 2 1 2 1, 0 1 2 t x t x t= − ≥ ⇒ = + Khi đó bất phương trình có dạng: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 1 1 1 1 3 1 1 2 2 3 3 0 1 1 3 0 1 3 1 2 1 3 1 5 t t t t t t t t t t x x + − ≤ + − ⇔ − − + ≤ ⇔ + − − ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ − ≤ ⇔ ≤ ≤ So với (*) ta có, nghiệm của phương trình là 1 5x≤ ≤ Chú ý: 1.Ta không thể bình phương hai vế của bất phương trình ban đầu vì chưa khẳng đònh được dấu của hai vế. 2.Hoàn toàn có thể sử dụng phép biến đổi tương đương để thực hiện ví dụ trên , như sau: ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 3 0 1 0 1 1 2 1 3 0 2 1 3 0 2 1 9 1 5 1 0 1 1 2 1 9 2 1 3 0 2 1 3 x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ − − − ≤ − ≥ ≥ ≥ − − ≤ − ≤ ≤ − ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≥ − − ≥ − − ≥ − ≥ Ví dụ 2: Cho bất phương trình : ( ) ( ) 2 1 3 4 5x x x x+ + ≤ − + + (1) Giải Điều kiện : ( ) 2 2 4 5 0 2 1 0x x x+ + ≥ ⇔ + + ≥ ⇒ D=R (1) được viết lại dưới dạng : ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 4 5 0 4 5 4 5 2 0x x x x x x x x+ + + + + ≤ ⇔ + + + + + − ≤ Đặt 2 4 5, 1t x x t= + + ≥ Khi đó bất phương trình có dạng : 2 2 0 2 1t t t+ − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Kết hợp với 1t ≥ , ta có 1t = . Khi đó ta có : ( ) 2 2 4 5 1 2 0 2x x x x+ + = ⇔ + = ⇔ = − Vậy bất phương trình có nghiệm là 2x = − Ví dụ 3: Cho bất phương trình: 5 1 5 2 4 2 2 x x x x + + + (1) Giải Điều kiện: 0x (*) Bất phương trình được viết lại là: 1 1 5 2 4 4 2 x x x x + + + ÷ ÷ (2) Đặt cos 1 1 2 2 2 2 i t x x x x = + ≥ = (**) Suy ra : 2 2 1 1 1 1 4 4 t x x t x x = + + ⇔ + = − Khi đó phương trình có : ( ) 2 2 1 5 2 1 4 2 5 2 0 2 2 t t t t t t− + ⇔ − + ⇔ ∨ Kết hợp với (**) ta suy ra 2t Khi đó ta có : 1 2 2 x x + (3) Đặt X x= , 0X . Khi đó (3) trở thành : 2 1 2 2 4 1 0 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 X X X X X x x x X x + ⇔ − + + + + ⇔ ⇔ ⇔ − − − Kết hợp với (*) ta suy ra nghiệm của bất phương trình 3 3 0; 2 2; 2 2 − ∪ + + ∞ ÷ ÷ Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 2 2 3 5 4 x x x + − (1) Giải Điều kiện : 2 2x x ∨ − (*) Trường hợp 1 : Với 2x − Bất phương trình vô nghiệm (do vế trái âm) Trường hợp 2 : Với 2x Bình phương 2 vế phương trình (1) ta được : 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 4 45 4 45 4 4 4 4 x x x x x x x x x + + ⇔ + − − − − (2) Đặt 2 2 , 0 4 x t t x = − Khi đó phương trình có (2) có dạng : 2 2 4 2 2 2 2 4 45 0 5 5 25 100 0 4 5 5 5 25 5 5 5 5 x t t t x x x x x x x x x x + − ⇔ ⇔ ⇔ − + − ∨ − ⇔ ⇔ ⇔ − Kết hợp với điều kiện đang xét ta suy ra nghiệm của bất phương trình là : ( ) ( ) 2; 5 5;∪ +∞ III.BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài tập 1 : Giải các bất phương trình : a. 2 2 2x x− − − b. ( ) 2 2 1 1 1 1x x x− + − + c. 2 2 3 2 2 3 5x x x x+ + ≥ + + Bài tập 2: Giải bất phương trình : a. ( ) ( ) 3 2 1 1 3 1 0x x x x+ + + + + b. 2 1 4 2 2 2 x x x x + + + c. 2 35 12 1 x x x + −