Toán học căn bản - Phần 5 ppsx

CHƯƠNG I - PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC §1 NHÂN ĐƠN THỨC VỚI ĐA THỨC - Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích với nhau. §2 NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC - Muốn nhân đa thức với đa thức,ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích lại với nhau. §3 NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ - (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 - (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 - A 2 - B 2 = (A + B) (A – B) - (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 - (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 - A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 – AB + B 2 ) - A 3 - B 3 = (A - B) (A 2 + AB + B 2 ) §4 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG - Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành tích các đa thức. §5 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC §6 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NHÓM HẠNG TỬ §7 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG CÁCH PHỐI HP NHIỀU PHƯƠNG PHÁP §8 CHIA ĐƠN THỨC CHO ĐƠN THỨC - Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B ta làm như sau: + Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B. + Chia lũy thừa từng biến trong A cho lũy thừa của từng biến đó trong B. + Nhân các kết quả tìm được với nhau. §9 CHIA ĐA THỨC CHO ĐƠN THỨC Muốn chia đa thức A cho đơn thức B( trường hợp các hạng tử của đa thức A đều chia hết cho đơn thức B) ta chia mỗi hạng tử của A cho B rồi cộng kết quả lại với nhau. §10 CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP CHƯƠNG IIPHÂN THỨC ĐẠI SỐ §1 PHÂN THỨC ĐẠI SỐ - Một phân thức đại số ( hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng A/B trong đó A,B là những đa thức và B là đa thức khác 0. A gọi là tử thức , B gọi là mẫu thức. - Hai phân thức bằng nhau: D C B A = nếu A.D = B.C §2 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC - Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân thức với một đa thức khác 0 thì ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. M B MA B A . . = (M: đa thức ≠0) - Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho. N B NA B A : : = (N: Nhân tử chung của A và B) - Nếu ta đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì ta được một phân thức mới bằng phân thức đã cho B A B A − − = §3 RÚT GỌN PHÂN THỨC Muốn rút gọn phân thức ta làm như sau: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử để tìm nhân tử chung. - Chia tử và mẫu cho nhân tử chung §4 QUY ĐỒNG MẪU THỨC CỦA NHIỀU PHÂN THỨC - Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lược bằng với phân thức đã cho. - Các bước quy đồng mẫu thức nhiều phân thức: + Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung. + Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức. + Nhân cả tử và mẫu của phân thức với nhân tử phụ tưng ứng. §5 PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ - Cộng hai phân số cùng mẫu: ta cộng các tử thức lại với nhau và giữ nguyên mẫu thức. - cộng 2 phân thức không cùng mẫu thức: ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu §6 PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Muốn trừ B A cho phân thức D C , ta cộng B A với phân thức đối của D C )( D C B A D C B A −+=− D C B A D C B A − += − += §7 PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ - Muốn nhân 2 phân thức ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau. DB CA D C B A . . . = §8 PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Muốn chia B A cho phân thức D C , ta nhân B A với phân nghòch đảo của D C => )0,(.: ≠= DC C D B A D C B A §9 BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỶ GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC Chương III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN §1. MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình một ẩn:Một phương trình với ẩn x luôn có dạng A(x) = B(x),Trong đó:A(x): Vế trái của phương trình.B(x): vế phải của phương trình Ví dụ: 2x + 5 = 3(x – 1) + 2; x 2 + x = 10 là các phương trình một ẩn. - Một phương trình có thể có1,2,3…nghiệm hoặc cũng có thể không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm. Phương trình không nghiệm gọi là phương trình vô nghiệm. - Tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm phương trình. - Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm. §2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN VÀ CÁCH GIẢI - Phương trình dạng ax+b=0 với a,b làhai số đã cho và a≠0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. - Hai quy tắc biến đổi phương trình: + Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế bên này sang vế bên kia và đổi dấu hạng tử đó. + Trong một phương trình ta có thể nhân(chia) cả hai vế với cùng một số khác 0. - Từ một phương trình, dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân, ta luôn nhận được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho. - Vậy phương trình ax+b=0 luôn có nghiệm duy nhất là 12 x 3 = §3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯC VỀ DẠNG ax + b = 0 Khi giải một phương trình người ta thường đưa về dạng ax + b = 0. quá trình giải có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số bằng 0(tức là a=0) khi đó phương trình có thể là vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. §4 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH - Phương trình tích có dạng A(x).B(x)=0. - Để giải ta áp dụng công thức A(x).B(x)=0 ⇔ A(x)=0 hoặc B(x)=0. Vậy nghiệm phương trình A(x).B(x)=0 là tất cả nghiệm của 2 phương trình A(x)=0 ; B(x)=0 §5 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU - Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không tương đương với phương trình ban đầu. - Tìm điều kiện xác đònh của một phương trình là tìm các giá trò của biến sao cho mẫu thức khác 0 - Cách giải phương trình có chứa ẩn ở mẫu: B1: Tìm điều kiện xác đònh của phương trình B2: Quy đồng mẫu 2 vế của phương trình rồi khử mẫu. B3: Giải phương trình vừa nhận được. B4: Các giá trò vừa tìm được ở bước 3 nếu thỏa mãn điều kiện xác đònh của phương trình(B1)thì đó chính là nghiệm của phương trình. §6 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - Các bước cơ bản để giải bài toán bằng cách lập phương trình . B1: lập phương trình - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết. - Lập phương trình biểu thò mối quan hệ giữa các đại lượng. B2: Giải phương trình B3: trả lời: kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận. Chương IV: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. §1 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG Khi so sánh 2 số thực a và b xảy ra 1 trong 3 trường hợp sau: - a bằng b : a = b Hoặc - a lớn hơn b: a > b hoặc - a nhở hơn b : a < b chú ý: a lớn hơn hoặc bằng b ta ký hiệu: a ≥ b a không âm ta ký hiệu : a≥0 a bé hơn hoặc bằng b ta ký hiệu: a ≤ b - Ta gọi các hệ thức dạng a < b (Hay a ≥ b; a > b; a ≤ b) là bất đẳng thức Tính chất: với 3 số a, b, c ta có: nếu a < b thì a + c < b + c; nếu a > b thì a + c > b + c; nếu a ≤ b thì a + c ≤ b + c; nếu a ≥ b thì a + c ≥ b + c. Khi cộng một số vào cả 2 vế của một bất đẳng thức, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. §2 LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN - Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương: khi nhân cả 2 vế của một bất đẳng thức với cùng 1 số dương ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho. + với 3 số a, b, c mà c>0 ta có nếu a < b thì ac < bc; nếu a > b thì ac > bc; nếu a ≤ b thì ac ≤ bc; nếu a ≥ b thì ac ≥ bc. - Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm: khi nhân cả 2 vế của một bất đẳng thức với cùng 1 số âm ta được một bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho. + với 3 số a, b, c mà c < 0 ta có nếu a < b thì ac > bc; nếu a > b thì ac < bc; nếu a ≤ b thì ac ≥ bc; nếu a ≥ b thì ac ≤ bc. - Tính chất bắc cầu: với 3 số a, b, c ta thấy rằng: nếu a < b và b < c thì a < c §3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Ví dụ: x 2 >2x+8 hay x < 5 gọi là bất phương trình một ẩn Tất cả các nghiệm của phương trình gọi là tập nghiệm của bất phương trình. Ví dụ: tập nghiệm của bất phương trình x ≥ 2 là tập hợp các số lớn hơn hoặc bằng 2, hay ta viết S= { x| x≥ 2} Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm gọi là bất phương trình tương đương. §4 BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT MỘT ẨN - Bất phương trình dạng ax + b < 0 (hay ax + b > 0; ax + b ≥ 0 ax + b ≤ 0) trong đó hai số a,b là các số đã cho với a≠0. được gọi là bất phương trình bật nhất một ẩn. - Hai quy tắc biến đổi bất phương trình. a.Quy tắc chuyển vế: trong bất phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế bên này sang vế bên kia và đổi dấu hạng tử đó b. Quy tắc nhân với một số: khi nhân 2 vế bất phương trình với cùng một số khác 0. + Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương. + Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. - Để giải bất phương trình bật nhất một ẩn ta thường đưa về dạng ax + b < 0 ; ax + b > 0; ax + b ≥0 ax + b ≤ 0 để giải. §5 PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI - Ta có: |a| = a nếu a ≥ 0; |a| = -a nếu a < 0 . A 2 + 2AB + B 2 - (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 - A 2 - B 2 = (A + B) (A – B) - (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 - (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 - A 3 + B 3 =. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - Các bước cơ bản để giải bài toán bằng cách lập phương trình . B1: lập phương trình - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số. - Biểu diễn. + B 3 = (A + B) (A 2 – AB + B 2 ) - A 3 - B 3 = (A - B) (A 2 + AB + B 2 ) §4 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT NHÂN TỬ CHUNG - Phân tích đa thức thành nhân tử là biến