Chương 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BAI §1 C C A A Ê Ê N N B B A A Ä Ä C C H H A A I I - Căn bậc hai số học: - Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2 =a - Số đương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: số dương ký hiệu là a số âm ký hiệu là - a - Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 =0 Đònh nghóa: với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a. Số 0 được gọi là căn bậc hai số học của 0 2 0 (0) x xa xa a ≥ ⎧ = ⇔ ⎨ = ≥ ⎩ So sánh các căn bậc hai số học: Đònh lí : với hai số a và b không âm ta có: ,0,ab a b a b≥<⇔< §2 CĂN THỨC BẬC HAI - HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A A = - Căn thức bậc hai: với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn. A có nghóa (xác đònh) 0A⇔≥ Hằng đẳng thức: 2 A A= *Đònh lí : với mọi a ta có 2 A A= hay viết tắc 2 ,aa a ∀ = §3 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG Đònh lí: .( 0, 0)ab a b a b=≥≥ Quy tắc: muốn khai phương một tích của các số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân kết quả lại với nhau. - Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó §4 LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG Đònh lí:với số a không âm và số b đương ta có: 0, 0; aa ab b b ≥> = - Qui tắc khai phương một thương: muốn khai phương một thương a/b trong đó a là số không âm b là số dương, ta có thể khai phương lần lượt số a và số b , rồi lấy kết quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai. - Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số q cho số b rồi khai phương kết quả đó. §5 BẢNG CĂN BẬC HAI §6 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI - Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: A,B là biểu thức B ≥ 0 2 A B AB A B A B ⎧ ⎪ == ⎨ − ⎪ ⎩ - Đưa thừa số vào trong dấu căn: A,B là biểu thức B ≥ 0 2 A BAB= 2 A BAB=− Nếu A≥ 0 Nếu A<0 Nếu A ≥ 0 Nếu A<0 - Khử mẫu của biểu thức lấy căn: Tổng quát: A,B: biểu thức ,0;0AB B≥≠ ta có A AB B B = - Trục căn thức ở mẫu - với các biểu thức A,B,C mà A ≥ 0 và A ≠ B 2 ta có: 2 )( BA BAC BA C − = ± m - với các biểu thức A,B,C mà A ≥ 0 B ≥ 0 và A ≠ B ta có: BA BAC BA C − = ± )( m §6 RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI §7 CĂN BẬC BA Khái niệm căn bậc ba: Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3=a Kí hiệu: 3 a số 3 là chỉ số căn 3 33 33 3 3 )))(0) aa aa b a b b a b c b b b <⇔ < = ≠ Chương II: HÀM SỐ BẬC NHẤT §1 NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG CÁC KHÁI NIỆM HÀM SỐ - Khái niệm: nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mọi giá trò thay đổi x, ta luôn xác đònh được chỉ một giá trò tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x, và x được gọi là biến số. + Khi y là hàm số cảu x, tac ó thể viết y=f(x), y=g(x)… + Khi x thay đổi mà y luôn nhận một giá trò không đổi thì hàm số y được gọi là hàm hằng. - Đồ thò hàm số: tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các cặp giá trò tương ứng (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ được gọi là đồ thò hàm số y=f(x). - Hàm số đồng biến, nghòch biến: + Cho hàm số y=f(x) xác đònh với mọi giá trò x thuộc R. Nếu giá trò của biến x tăng lên mà giá trò tương ứng f(x) cũng tăng lên thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm số đồng biến trên R. Nếu giá trò của biến x tăng lên mà giá trò tương ứng f(x) lại giảm đi thì hàm số y=f(x) được gọi là hàm số nghòch biến trên R. Hay nói cách khác: với x 1 , x 2 bất kỳ thuộc R Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) < f(x 2 ) thì hàm số y=f(x) đồng biến trên R. Nếu x 1 < x 2 mà f(x 1 ) > f(x 2 ) thì hàm số y=f(x) nghòch biến trên R. §2 HÀM SỐ BẬC NHẤT - Khái niệm: hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức y = ax + b trong đó a,b là các số cho trước và a ≠ 0 - Tính chất: hàm số bậc nhất y = ax + b xác đònh với mọi giá trò x thuộc R và có tính chất sau: Đồng biến trên R, khi a > 0 Nghòch biến trên R, khi a < 0 §3 ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax + b (a ≠ 0) - Đồ thò hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng: • Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b. • Song song với đường thẳng y = ax, nếu b ≠ 0 ; và trùng với đường thẳng y = ax nếu b = 0. - Cách vẽ đồ thò: • Khi b=0 thì y=ax, đồ thò của hàm số y=ax là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0;0) và điểm A(1;a) • Trường hợp y = ax + b với a ≠ 0 và b ≠ 0. để vẽ đồ thò ta cần xác đònh 2 điểm - cho x = 0 thì y=b ta được điểm P(0;b) thuộc trục Oy - cho y=0 thì x=-b/a, ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Ox. Từ đó ta vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P, Q ta được đồ thò của hàm số y = ax + b §4 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU - Đường thẳng song song: hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’(a’ ≠ 0) song song với nhau khi và chỉ khi a= a’;b ≠ b’ và trùng nhau khi và chỉ khi a= a’;b = b’ - Đường thẳng cắt nhau: hai đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) và y = a’x + b’(a’ ≠ 0) nhau khi và chỉ khi a≠ a’ §5 HỆ SỐ GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG y = ax + b (a ≠ 0) Ta có a là hệ số góc của đường thẳng y = ax + b. Các đường thẳng có cùng hệ số góc a thì tạo với trục Ox các góc bằng nhau. - Với a> 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn. - Với a< 0 thì góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù . Chương III: HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN §1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN - Khái niệm: Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức có dạng: ax + by =c trong đó a,b,c là các số đã biết (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0). - Nếu giá trò vế trái tại x = x 0 và y = y 0 bằng vế phải thì cặp số (x 0 ,y 0 ) được gọi là một nghiệm của phương trình. - Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by =c luôn luôn có vô số nghiệm, tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng ax + by =c §2 HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: ⎩ ⎨ ⎧ =+ =+ )2(''' )1( cybxa cbyax . nếu hai phương trình trên có nghiệm chung (x 0 ,y 0 ) thì (x 0 ,y 0 ) được gọi là một nghiệm của hệ. + Phương trình (1) được biểu diễn trên đồ thò là đường thẳng d 1 + Phương trình (2) được biểu diễn trên đồ thò là đường thẳng d 2 Vậy ta có các trường hợp: - Nếu d 1 cắt d 2 thì phương trình có một nghiệm. - Nếu d 1 song song d 2 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu d 1 trùng d 2 thì phương trình có vô số nghiệm. - Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. §3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Cách giải: - dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình có một ẩn. - Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm phương trình đã cho. §4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG Cách giải: - Nhân hai vế phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau. - ÁP dụng quy tắc cộng đại số để được một phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số củamot65 trong hai ẩn bằng 0 ( tức là phương trình một ẩn) - Giải hệ phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho. §5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chương IV: HÀM SỐ y= ax 2 (a ≠ 0). PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN §1 HÀM SỐ y= ax 2 (a ≠ 0) - Tính chất hàm số y= ax 2 (a ≠ 0). • Nếu a > 0 thì hàm số nghòch biến khi x < 0 và đồng biến khi x > 0. • Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghòch biến khi x > 0. * Nếu a>0 thì y> 0 với mọi x≠ 0; y=0 khi x=0. giá trò nhỏ nhất của hàm số là y=0. * Nếu a<0 thì y< 0 với mọi x≠ 0; y=0 khi x=0. giá trò lớn nhất của hàm số lá y=0. §2 ĐỒ THỊ HÀM SỐ y= ax 2 (a ≠ 0) - Đồ thò hàm số y= ax 2 (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parapol với đỉnh O. • Nếu a>0 thì đồ thò nằm trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thò. • Nếu a<0 thì đồ thò nằm dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thò. §3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. - Đònh nghóa: phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax 2 + bx + c = 0 ; Trong đó x là ẩn; a,b,c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0 §4 CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI. - Đối với phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) và biệt thức ∆= b 2 - 4ac • Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = a b 2 ∆+− ; x 2 = a b 2 ∆−− • Nếu ∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = a b 2 − • Nếu ∆ <0 thì phương trình vô nghiệm Hay ta có công thức nghiệm thu gọn: - Đối với phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) và b=2b’ ; biệt thức ∆’= b’ 2 - ac • Nếu ∆ >0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = a b '' ∆+− ; x 2 = a b '' ∆−− • Nếu ∆ =0 thì phương trình có nghiệm kép x 1 = x 2 = a b' − • Nếu ∆ <0 thì phương trình vô nghiệm §5 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG - Nếu x 1 ; x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0) thì ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −=+ a c xx a b xx 21 21 Tìm hai số khi biết tổng và biết tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình x 2 – Sx +P =0 (điều kiện để có hai số là S 2 -4P≥0 §6 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - Phương trình trùng phương: ax 4 + bx 2 + c = 0(a ≠ 0) ; để giải phương trình này ta đặt t = x 2 thì phương trình trở thành at 2 + bt + c = 0, từ đó ta giải phương trình theo t rồi suy ra giá trò của x §7 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH . Chương 1: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BAI §1 C C A A Ê Ê N N B B A A Ä Ä C C H H A A I I - Căn bậc hai số học: - Căn bậc hai của một số a không âm là số x sao cho x 2 =a - Số đương. b≥<⇔< §2 CĂN THỨC BẬC HAI - HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A A = - Căn thức bậc hai: với A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A gọi là biểu thức lấy căn hay biểu. - Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số q cho số b rồi khai phương kết quả đó. §5 BẢNG CĂN BẬC HAI §6 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN