Biến đổi Fourier Fourier transform-FT Tín hiệu xt không tuần hoàn xt -τ/2 τ/2 t... Biến đổi Fourier rời rạcDiscrete Fourier Transform DFT Tín hiệu xn rời rạc, không tuần hoàn, chiều d
Trang 1Xử lý số tín hiệu
Chương 8: Biến đổi DFT và FFT
Trang 2Các phép biến đổi Fourier
Miền thời gian Miền tần số
dt
t f π
j2 e s(t) S(f)
dt T
0
t ω k j e s(t) T
1 k
N
n k π 2 j e s[n]
N
1 k c~
N
n k π 2 j e s[n]
N
1 k c~
Trang 3Chuỗi Fourier (Fourier series-FS)
Tín hiệu x(t) tuần hoàn, chu kỳ Tp , tần số F0 = 1/Tp
j
k e c t
x(t) τ
t -F0 F0
Trang 4Biến đổi Fourier (Fourier transform-FT)
Tín hiệu x(t) không tuần hoàn
x(t)
-τ/2 τ/2 t
Trang 5Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
Trang 6Biến đổi Fourier thời gian rời rạc
Discrete – Time Fourier Transform (DTFT)
Tín hiệu x(n) rời rạc, không tuần hoàn
X n
22
1 )
e n x
Trang 7Chuỗi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Sequence (DFS)
Tín hiệu x(n) rời rạc, tuần hoàn với chu kỳ N
)
k
N kn
j
k e c n
1 N
n
N kn
j
N
Trang 8Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
Tín hiệu x(n) rời rạc, không tuần hoàn, chiều dài L hữu hạn Biến đổi DTFT cho phổ liên tục X(ω)
ω
Trang 9Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
Lặp lại tín hiệu x(n) với chu kỳ N ≥ L Tín hiệu xp(n) tuần hoàn chu kỳ N
xp(n)
Trang 10 xp(n) tuần hoàn chu kỳ N Tính DFS của xp(n) Xp(k)
Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
Trang 11Xp(k) tuần hoàn chu kỳ N Đặt X(k) = Xp(k), k = 0, ,N-1
Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
|X(k)|
k
0 L-1 n x(n)
DFT
Trang 12Công thức biến đổi DFT N-điểm cho chuỗi chiều dài L:
Biến đổi Fourier rời rạc
Discrete Fourier Transform (DFT)
, 0 , 1 , 2 , , 1 )
n
N kn
e k
X N
n
k
N kn
j
IDFT
DFT
Trang 13 Tính trực tiếp DFT N – điểm của x(n):
Giải thuật biến đổi Fourier nhanh
Fast Fourier Transform (FFT)
2 cos
N
n
I R
R
N
kn n
x N
kn n
x k
2 sin
N
n
I R
I
N
kn n
x N
kn n
x k
Chi phí tính toán lớn
Trang 14N n
nk N
W n x k
X
k N
N
k
W
Trang 15 Xét chuỗi x(n) = {x(0), x(1)}
FFT 2 điểm của x(n):
(Lưu ý: W 2 = 1)
Giải thuật biến đổi Fourier nhanh
Fast Fourier Transform (FFT)
) 1 ( )
0 ( )
1 ( )
0 ( )
1 (
) 1 ( )
0 ( )
1 ( )
0 ( )
0
(
1 2
0 2
0 2
0 2
x x
W x
W x
X
x x
W x
W x
1 Bướm (Butterfly)
Trang 16 Xét chuỗi x(n) có chiều dài N = 2K
Đặt g(n) = x(2n) g(n) = {x(0), x(2), … }
Đặt h(n) = x(2n + 1) h(n) = {x(1), x(3), …}
DFT N điểm của x(n):
Giải thuật FFT phân chia theo thời gian
(Decimation in time – DIT)
1 2
, , 1
, 0
, )
( )
(
) ( k G k W H k k N
1
, , 2
,
) 2
(
) 2
( )
( k G k N W 2 H k N k N N
X
N k N
Trang 17Giải thuật FFT phân chia theo thời gian
FFT N/2 điểm
FFT N/2 điểm
FFT N/2 điểm
FFT N/2 điểm
N N
W X(N/2-1)
k =0
N/2 -1
0
N W
X(N/2)
1
N W
N N W
X(N – 1)
Trang 18Chi phí tính toán
So với tính trực tiếp: chi phí tính toán thấp hơn
0 500 1000 1500 2000
Trang 19Ví dụ
FFT 8 điểm phân chia theo thời gian
Trang 20Ví dụ
FFT 8 điểm phân chia theo thời gian
Trang 21Ví dụ
FFT 8 điểm phân chia theo thời gian
Trang 22Ví dụ
FFT 8 điểm phân chia theo thời gian
Trang 23Ví dụ
Thứ tự chuỗi x(n) trong pp Decimation – in - time
Trang 24Ví dụ
FFT 8 điểm phân chia theo tần số (Decimation in freq)
Trang 25Ví dụ
FFT 8 điểm phân chia theo tần số
Trang 26Ví dụ
FFT 8 điểm phân chia theo tần số