Giả sử rằng một nhà đầu tư quyết định đầu tư một danh mục tài sản P. Tại thời điểm t, giá trị của danh mục đầu tư là Vt. Sau một khoảng thời gian
t, tức là tại thời điểm k = t + t thì giá trị của danh mục đầu tư là Vk. Khi đó, giá trị ( ) cho biết sự thay đổi giá trị của danh mục P trong khoảng thời gian t. V(k) gọi là hàm lỗ - lãi (Profit&Loss – P&L(k)) k chu kỳ của danh mục. Ta nhận thấy:
- Nhà đầu tư ở vị trí “trường” đối với P sau chu kỳ k nếu ∆V(k) < 0 (P&L(k) < 0) sẽ bị tổn thất.
-Nhà đầu tư ở vị trí “đoản” đối với P sau chu kỳ k nếu ∆V(k) > 0 (P&L(k) > 0) sẽ bị tổn thất.
Vk là biến ngẫu nhiên nên P&L(k) cũng là biến ngẫu nhiên. Gọi Fk(x) là hàm phân bố xác suất của P&L(k) và cho 0 < < 1. Khi đó ta có P(P&L(k) x) = và giá trị x gọi là “phân vị mức ” của hàm phân bố Fk. Với khá nhỏ thì x< 0 do đó P&L(k) < 0 tức là nhà đầu tư trường vị sẽ bị tổn thất . Xét P(P&L(k) x), ta có P(P&L(k) > x) = 1 – P(P&L(k) x) = 1 - ; do đó, với khá nhỏ thì P&L(k) > 0 tức nhà đầu tư đoản vị sẽ bị tổn thất.
Vt Vk k t t+k fk(x) x x
Xem xét nhà đầu tư ở vị thế trường vị, khi V(k) < 0 tức là nhà đầu tư sẽ chịu tổn thất. P(V(k) x) = ta nói rằng xác suất để nhà đầu tư chịu tổn thất dưới mức x (x < 0) là .
Ngược lại, nhà đầu tư ở vị thế đoản vị, V(k) > 0 tức là nhà đầu tư sẽ chịu tổn thất. P(V(k) x) = 1 – P(V(k) x) = 1 - ta nói rằng xác suất để nhà đầu tư chịu tổn thất trên mức mức x (x > 0) là 1 - .
VaR của một danh mục (hoặc của một lượng tài sản) với chu kỳ k (đơn vị thời gian) và độ tin cậy (1- ) là phân vị mức của hàm Fk(x). Ta sẽ ký hiệu đại lượng này là VaR(k, ) và dấu âm của VaR biểu thị tổn thất (thua lỗ).
Như vậy ta có P(P&L(k) VaR(k, )) = . Từ đây suy ra ý nghĩa của VaR(k, ): nhà đầu tư nắm giữ danh mục P sau chu kỳ k, với độ tin cậy (1-), khả năng tổn thất một khoảng bằng VaR(k, ) trong điều kiện thị trường hoạt động bình thường.
Chú ý :
- Ta có thể áp dụng cách tính VaR trong trường hợp “đoản vị” bằng cách sử dụng hàm phân bố xác suất của P&L(k).
- Độ chính xác của ước lượng VaR phụ thuộc vào các yếu tố: giá trị hiện tại của các danh mục;
mức độ tin cậy định trước (); chu kỳ tính (k);
số liệu và phương pháp để tính; - Trong thực tế, theo tiêu chuẩn quốc tế:
Nếu chu kỳ tính k = 1 ngày thì = 1% hoặc 5%. Nếu chu kỳ tính k = 10ngày thì = 1%.