chuyên đề hình học

Các bài tập hình học phẳng I. Các bài tập liên quan đến tam giác Dạng 1 : Biết một đỉnh của tam giác và hai đờng cao. VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;1) hai đờng cao trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d 1 ) : 3x + 2y - 18 = 0 ; (d 2 ) : x 5y + 9 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(-1;5) hai đờng cao trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d 1 ) : 2x + y - 7 = 0 ; (d 2 ) : 3x 2y + 17 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD3: Lập phơng trình các cạnh ABC nếu cho B(- 4; - 5) và hai đờng cao có phơng trình: (d 1 ): 5x + 3y - 4 = 0 và (d 2 ): 3x + 8y + 13 = 0 VD4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho ABC có đỉnh A(1; 0) và hai đ- ờng thẳng lần lợt chứa các đờng cao vẽ từ B và C có phơng trình tơng ứng là: x - 2y + 1 = 0 và 3x + y - 1 = 0. Tính diện tích ABC. Dạng 2: Biết một đỉnh và hai đờng trung tuyến VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;1) hai đờng trung tuyến trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d 1 ) : 8x + 5y - 46 = 0 ; (d 2 ) : x + 7y - 27 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(-1;5) hai đờng trung tuyến trong tam giác lần lợt có phơng trình là : (d 1 ) : 3x +8y - 30 = 0 ; (d 2 ) : y - 4 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. Dạng 3 : Biết một đỉnh và một đờng trung tuyến và một đờng cao VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;1); đờng cao trong tam giác tại B có phơng trình là : (d 1 ) : 3x + 2y - 18 = 0 ; đờng trung tuyến trong tam giác tại C có phơng trình là : (d 2 ) : x + 7y - 27 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(-1;5) ); đờng cao trong tam giác tại B có phơng trình là : (d 1 ) : 2x + y - 7 = 0; đờng trung tuyến trong tam giác tại C có phơng trình là (d 2 ) : y - 4 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD3: Lập phơng trình các cạnh của ABC biết đỉnh C(4; -1) đờng cao và đờng trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phơng trình tơng ứng là (d 1 ): 2x - 3y + 12 = 0 và (d 2 ): 2x + 3y = 0 Dạng 4 : Biết một đỉnh và hai đờng phân giác VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(0;0) ); hai đờng phân giác trong của tam giác ABC lần lợt có phơng trình (d 1 ) : 3x + y 4 = 0 ; (d 2 ) : x + 2y - 3=0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(2;-1) ); hai đờng phân giác trong của tam giác ABC lần lợt có phơng trình (d 1 ) : x -2y + 1 = 0 ; (d 2 ) : x + y + 3=0. Lập phơng trình cạnh BC của tam giác ABC. Đáp số : 4x y + 3 = 0. VD3: Cho ABC biết A(2; -1) và hai đờng phân giác của góc B, C có phơng trình (d B ): x - 2y + 1 = 0 và (d C ): x + y + 3 = 0. Lập phơng trình cạnh BC. Dạng 5 : Biết một đỉnh và một đờng trung tuyến và một đờng phân giác VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;0) ); đờng phân giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d 1 ) : 3x + y 4 = 0 ; đ ờng trung tuyến của tam giác ABC tại C có phơng trình (d 2 ) : 4x -3y = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(2;-1) ; đờng phân giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d 1 ) : y 1 = 0 ; đ ờng trung tuyến của tam giác ABC tại C có phơng trình (d 2 ) : 6x -5y +3 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. Dạng 6 : Biết một đỉnh và một đờng cao và một đờng phân giác VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(2;-1) ; đờng phân giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d 1 ) : y 1 = 0 ; đ ờng cao của tam giác ABC tại C có phơng trình (d 2 ) : 5x -2y -4 = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC với điểm A(3;0) ); đờng phân giác trong của tam giác ABC tại B có phơng trình (d 1 ) : 3x + y 4 = 0 ; đ ờng cao của tam giác ABC tại C có phơng trình (d 2 ) : 3x -4y = 0. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD3: Viết phơng trình các cạnh của ABC biết đờng cao và phân giác trong qua đỉnh A, C lần lợt là: (d 1 ): 3x - 4y + 27 = 0 và (d 2 ): x + 2y - 5 = 0 Dạng 7 : Biết hai cạnh và trực tâm của tam giác. VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : x -5y + 22 = 0; phơng trình cạnh AC : 4x y - 7 = 0. Trực tâm 3 23 ( ; ) 19 19 H . Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. * Đáp số : A(3;5) ; B( -7;3) ; C(1; -3) VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 5x -2y + 10 = 0; phơng trình cạnh AC : 5x +3y - 15 = 0. Trực tâm 6 (0; ) 5 H . Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. Dạng 8 : Biết hai cạnh và trọng tâm của tam giác. VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : x -5y + 22 = 0; phơng trình cạnh AC : 4x y - 7 = 0. Trọng tâm 5 ( 1; ) 3 G . Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 5x -2y + 10 = 0; phơng trình cạnh AC : 5x +3y - 15 = 0. Trọng tâm 1 5 ( ; ) 3 3 G . Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC. * Đáp số : A(0;5) ; B( -2;0) ; C(3; 0) Dạng 9: Biết hai cạnh và tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác. VD1: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : y -1 = 0; phơng trình cạnh AC : x - 1 = 0. Tâm đờng tròn ngoại tiếp 5 (3; ) 2 I . Lập phơng trình cạnh BC của tam giác ABC. Đáp số : A(1;1) ; B( 5;1) ; C(1; 4) VD2: Trong hệ trục toạ độ Oxy. Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 3 4 0x y + = ; phơng trình cạnh AC : 3 4 0x y+ = . Tâm đờng tròn ngoại tiếp (0;0)O . Lập phơng trình cạnh BC của tam giác ABC. Dạng 10 : Biết trực tâm, trọng tâm của tam giác và phơng trình một cạnh. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C của tam giác. Vd1. Cho tam giác ABC có phơng trình cạnh AB : 3 4 0x y + = ; Trực tâm (2 2 3;2 2 3)H + ; trọng tâm 2 2 3 2 2 3 ( ; ) 3 3 G + . Lập phơng trình cạnh BC, CA của tam giác ABC. VD2: Cho ABC có A(-1; 5) và phơng trình đờng thẳng BC: x - 2y - 5 = 0 (x B < x C ) biết I(0 ; 1) là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. 1) Viết phơng trình các cạnh AB và AC. 2) Gọi A 1 , B 1 , C 1 lần lợt là chân đờng cao vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Tìm toạ độ các điểm A 1 , B 1 , C 1 3) Gọi E là tâm đờng tròn nội tiếp A 1 B 1 C 1 . Tìm toạ độ điểm E. Dạng 11 : Biết một cạnh, biết trọng tâm thuộc đờng thẳng (d) và diện tích tam giác. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. VD1. Cho tam giác ABC có A(-2;-1); C(-1; 2) trọng tâm G thuộc đờng thẳng 12x -3y - 4=0. Diện tích tam giác ABC là 9. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. ĐS: A(-2;-1) ; B( 4;-1) ; C(-1; 2) VD2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho ABC có đỉnh A(2; -3) , B(3; -2) và diện tích ABC bằng 2 3 . Biết trọng tâm G của ABC thuộc đờng thẳng d: 3x - y - 8 = 0. Tìm toạ độ điểm C. Dạng 12: Dạng khác VD1 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy. Xét ABC vuông tại A, phơng trình đờng thẳng BC là: 033 = yx , các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 2. Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC. VD2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcác vuông góc Oxy cho ABC có: AB = AC, = 90 0 . Biết M(1; -1) là trung điểm cạnh BC và G 0 3 2 ; là trọng tâm ABC. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C . VD3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho điểm A(0; 2) và B ( ) 13 ; . Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp OAB. VD4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho ABC có các đỉnh A(-1; 0); B(4; 0); C(0; m) với m 0. Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC theo m. Xác định m để GAB vuông tại G. VD5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho ABC và điểm M(-1; 1) là trung điểm của AB. Hai cạnh AC và BC theo thứ tự nằm trên hai đờng: 2x + y - 2 = 0 và x + 3y - 3 = 0 1) Xác định tọa độ ba đỉnh A, B, C của tam giác và viết phơng trình đờng cao CH. 2) Tính diện tích ABC. VD6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho điểm A(8; 6). a. Lập phơng trình đờng thẳng qua A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12. b. Lập phơng trình đờng thẳng qua A và tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. c. Lập phơng trình đờng thẳng qua đi qua A; cắt trục hoành tại B và cắt trục tung tại C sao cho A là trung điểm của BC. VD7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho hai điểm A(-1; 3), B(1; 1) và đờng thẳng (d): y = 2x. a) Xác định điểm C trên (d) sao cho ABC là một tam giác đều. b) Xác định điểm C trên (d) sao cho ABC là một tam giác cân. VD8/ Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm A(2; 2) và các đờng thẳng: d 1 : x + y - 2 = 0 d 2 : x + y - 8 = 0 Tìm toạ độ các điểm B và C lần lợt thuộc d 1 và d 2 sao cho ABC vuông cân tại A II. Các bài tập liên quan đến hình bình hành, hình chữ nhât, hình thoi, hình vuông Dạng 1 : Biết tâm hình bình hành, biết hai điểm nằm trên hai cạnh đối và phơng trình một cạnh mà hai điểm không nằm trên. VD1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho hai đờng thẳng: x + y - 1 = 0 và 3x - y + 5 = 0. Hãy tìm diện tích hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đờng thẳng đã cho, một đỉnh là giao điểm của hai đờng đó và giao điểm của hai đờng chéo là I(3; 3). VD2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy. Cho hình bình hành ABCD, 7 3 ( ; ) 2 2 I là tâm của hình bình hành; E(1;3) thuộc đờng thẳng BC; F(2;0) thuộc đờng thẳng AD; phơng trình cạnh AB là : 3x - y - 3 =0. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D. Dạng 2 : Biết tâm của hình vuông, biết hai điểm nằm trên hai cạnh đối. VD1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy. Cho hình vuông ABCD, với tâm của hình vuông là I(3;2) ; E(0;4) thuộc đờng thẳng BC; F(2;0) thuộc đờng thẳng AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D. Dạng 3: Biết tâm của hình chữ nhật và hai điểm nằm trên hai cạnh đối, biết tỉ lệ giữa hai cạnh. VD1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy. Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 0 2 1 ; , phơng trình đờng thẳng AB là x - 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm Dạng 4: Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông biết hai đỉnh đối diện thuộc d 1 và hai đỉnh còn lại thuộc d 2 và d 3 VD1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hai đờng thẳng d 1 : x - y = 0 và d 2 : 2x + y - 1 = 0 Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d 1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành Dạng 5: Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông biết bốn điểm nằm trên bốn cạnh của hình vuông. VD1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các điểm A(2; 1) B(0; 1) C(3; 5) D(-3; -1). Tính toạ độ các đỉnh hình vuông có hai cạnh song song đi qua A và C, hai cạnh song song còn lại đi qua B và D, biết rằng tọa độ các đỉnh hình vuông đều dơng. III. dựng hình vuông nội tiếp tam giác cho trớc VD1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho các điểm A(-2; 0) B(4; 0) C(0; 6). Tìm M,N thuộc đoạn thẳng AB ; P thuộc đoạn thẳng BC và Q thuộc đoạn thẳng AC sao cho MNPQ là hình vuông. IV. Vị trí tơng đối của hai điểm đối với đờng thẳng. VD1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy. Cho ( ) : 2 0x y + = và điểm A(-3;3); B(-5;1); C(-1;3) a. Tìm M thuộc đờng thẳng sao cho ( MA + MB ) là nhỏ nhất. b. Tìm N thuộc đờng thẳng sao cho NA NB là lớn nhất . VD2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy. Cho ( ) : 2 0x y + = và điểm A(-5;3); B(-3;1); C(-1;3). Tìm M thuộc đờng thẳng sao cho 2 3MA MB MC+ + uuur uuur uuuur là nhỏ nhất V. Lập phơng trình các đờng phân giác trong của tam giác. VD1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy. Cho tam giác ABC với A(-1;2) ; B(3;5); C(7;-4). Lập phơng trình đờng phân giác trong góc A của tam giác trên. Bài tập góc và khoảng cách : 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đ- ờng thẳng y = x - 2y - 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6. 2) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các đờng thẳng: d 1 : x + y + 3 = 0 d 2 : x - y - 4 = 0 d 3 : x - 2y = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên đờng thẳng d 3 sao cho khoảng cách từ M đến đờng thẳng d 1 bằng hai lần khoảng cách từ M đến đờng thẳng d 2 3) Lập phơng trình đờng thẳng qua P(2; -1) sao cho đờng thẳng đó cùng với hai đờng thẳng (d 1 ): 2x - y + 5 = 0 và (d 2 ): 3x + 6y - 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Đờng tròn : 1) Trên mặt phẳng toạ độ cho A(1, 0); B(0, 2); O(0, 0) và đờng tròn (C) có phơng trình: (x - 1) 2 + 2 2 1 y = 1. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua các giao điểm của đờng thẳng (C) và đờng tròn ngoại tiếp OAB. 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực Đêcác vuông góc Oxy cho đờng tròn: (C): (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 4 và đờng thẳng d: x - y - 1 = 0 Viết phơng trình đờng tròn (C') đối xứng với đờng tròn (C) qua đờng thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C'). 3)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(2; 0) và B(6; 4). Viết phơng trình đờng tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5. 4). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 -2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(- 3; 1). Gọi T 1 và T 2 là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phơng trình đờng thẳng T 1 T 2 5) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): x 2 + y 2 - 2x - 2y + 1 = 0 và đờng thẳng d: x - y + 3 = 0. Tìm toạ độ điểm M nằm trên d sao cho đờng tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đờng tròn (C) tiếp xúc ngoại với đờng tròn (C) 6) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho ABC có A(0; 2) B(-2 -2) và C(4; -2). Gọi H là chân đờng cao kẻ từ B; M và N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phơng trình đờng tròn đi qua các điểm H, M, N 7). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đờng tròn (C): (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 9 và đờng thẳng d: 3x - 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ đ ợc hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho PAB đều 8) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hai đờng tròn: (C 1 ): x 2 + y 2 - 10x = 0, (C 2 ): x 2 + y 2 + 4x - 2y - 20 = 0 a) Viết phơng trình đờng tròn đi qua các giao điểm của (C 1 ), (C 2 ) và có tâm nằm trên đờng thẳng x + 6y - 6 = 0. b) Viết phơng trình tiếp tuyến chung của các đờng tròn (C 1 ) và (C 2 ). 9) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho hai đờng tròn: (C 1 ): x 2 + y 2 - 4y - 5 = 0 và (C 2 ): x 2 + y 2 - 6x + 8y + 16 = 0 Viết phơng trình các tiếp tuyến chung hai đờng tròn (C 1 ) và (C 2 ) 10) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy cho đờng thẳng d: x - y + 1 = 0 và đờng tròn (C): x 2 + y 2 + 2x - 4y = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng d mà qua đó ta kẻ đợc hai đ- ờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A và B sao cho góc AMB bằng 60 0 . 11) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy cho đờng thẳng d: x - 7y + 10 = 0. Viết phơng trình đờng tròn có tâm thuộc đờng thẳng : 2x + y = 0 và tiếp xúc với đờng thẳng d tại điểm A(4; 2). 12) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác Oxy. Cho đờng tròn (S) có phơng trình: x 2 + y 2 - 2x - 6y + 6 = 0 và điểm M(2 ; 4) a) Chứng minh rằng điểm M nằm trong đờng tròn. b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm M, cắt đờng tròn tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB. c) Viết phơng trình đờng tròn đối xứng với đờng tròn đã cho qua đờng thẳng AB. Elip 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ đề các vuông góc Oxy cho Elíp (E) có phơng trình: 1 916 2 2 =+ y x . Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N chuyển động trên tia Oy sao cho đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định toạ độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó. 2) Trên mặt phẳng toạ độ với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip có phơng trình: 4x 2 + 3y 2 - 12 = 0. Tìm điểm trên elip sao cho tiếp tuyến của elip tại điểm đó cùng với các trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích nhỏ nhất. 3). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm C(2; 0) và Elip (E): 2 2 1 4 1 x y + = . Tìm toạ độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng A, B đối xứng với nhau qua trục hoành va ABC là tam giác đều. 4). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac Oxy. Cho elip (E): 1 49 2 2 =+ y x và đờng thẳng d m : mx - y - 1 = 0. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng d m luôn cắt elíp (E) tại hai điểm phân biệt. b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1; -3) Các bài tập về phơng pháp toạ độ trong không gian mẫu mực Bài tập 1 : Trong không gian cho 4 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0); D(5; 6 ; 4) a. Tìm M sao cho 032 =++ MCMBMA b. Tìm I thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho ICIBIA 32 ++ nhỏ nhất. c. Tìm K thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho KBKD lớn nhất d. Tìm E thuộc mặt phẳng (Oxz) sao cho KCKD lớn nhất Bài tập 2 : Trong không gian cho 4 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0); D(1; 3 ; 4) Cho mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0. a. Tìm M sao cho 032 =++ MCMBMA b. Tìm I thuộc mặt phẳng (P) sao cho ICIBIA 32 ++ nhỏ nhất. c. Tìm H thuộc mặt phẳng (P) sao cho HB + HD là nhỏ nhất. d. Tìm K thuộc mặt phẳng (P) sao cho KBKD lớn nhất e. Tìm E thuộc mặt phẳng (P) sao cho KCKD lớn nhất Bài tập 3: Trong không gian cho 3 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0); a. Tìm M sao cho 032 =++ MCMBMA b. Tìm I thuộc trục Ox sao cho ICIBIA 32 ++ nhỏ nhất Bài tập 4: Trong không gian cho 3 điểm A(1; 3; 2); B(1; 3; 5); C( 1; - 3; 0); Cho đờng thẳng )( có phơng trình : 12 1 1 2 = = zyx a. Tìm M sao cho 032 =++ MCMBMA b. Tìm I thuộc đờng thẳng )( sao cho ICIBIA 32 ++ nhỏ nhất Bài tập 5: Trong không gian cho điểm A(4; -1; -2); B( 0; - 9; -14) và đờng thẳng )( có ph- ơng trình : 3 3 2 2 1 2 = = zyx . Tìm M thuộc )( sao cho MA + MB nhỏ nhất. Bài tập 6: Trong không gian cho tứ diện ABCD với A(3; 5; -1); B(7; 5; 3); C( 9; - 1; 5); D(5; 3;-3). a. Lập phơng trình mặt phẳng (P) đi qua điểm B ; C và điểm A; D cách đều mặt phẳng (P). b. Lập phơng trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện đó. c. Lập phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. d. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD. e. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC. f. Lập phơng trình trục đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài tập 7: Lập phơng trình mặt phẳng đi qua M o ( 1;1;1) cắt các tia Ox. Oy, Oz lần lợt tại A, B, C sao cho thể tích của OABC là nhỏ nhất. Bài tập 8: Xác định k, m để ba mặt phẳng sau cùng đi qua một đờng thẳng : (P) : 5x + ky + 4z + m =0 (Q) : 3x - 7y + z - 3 = 0 (R) : x - 9y - 2z + 5 = 0 Bài tập 9 : Cho đờng thẳng (d) : 1 1 1 2 2 3 + = + = zyx và mặt phẳng ( P ) : x + y + z = 2. Gọi M là giao điểm của (d) và (P). Viết phơng trình đờng thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng (P) sao cho ( ) vuông góc với d và khoảng cách từ M đến ( ) là 42 Bài tập 10 : Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đờng thẳng (d): 1 1 1 2 2 3 + = + = zyx và điểm M( 2; 3; - 4). Lập phơng trình đờng thẳng ( ) biết ( ) đi qua M, ( ) cắt và vuông góc với (d) Bài tập 11 : Trong không gian cho hai đờng thẳng : ; 1 9 2 3 1 7 :)( 1 = = zxx ; 31 21 73 :)( 2 += += = tz ty tx ( t tham số, t thuộc R ) a. CMR )( 1 chéo )( 2 b. Lập phơng trình đờng vuông góc chung của )( 1 và )( 2 . c. Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng )( 1 và )( 2 d. Tìm A thuộc )( 1 và B thuộc )( 2 sao cho AB vuông góc với )( 1 và AB vuông góc với )( 2 e. Lập phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất sao cho )( 1 và )( 2 tiếp xúc với mặt cầu đó. f. Lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa )( 1 và mặt phẳng (P) song song với )( 2 . Tính khoảng cách từ )( 2 tới mặt phẳng (P). g. Lập phơng trình mặt phẳng (Q) chứa )( 2 và mặt phẳng (Q) song song với )( 1 . Tính khoảng cách từ )( 1 tới mặt phẳng (Q). h. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Bài tập 12 : Trong không gian cho mặt phẳng (P): x - 2y +2z - 5 = 0 và hai điểm A(- 3; 0; 1) và B(1; - 1; 3). Trong các đờng thẳng đi qua A và song song với (P), hãy viết phơng trình đ- ờng thẳng mà khoảng cách từ B tới đờng thẳng đó là nhỏ nhất. Bài tập 13 : Trong không gian toạ độ Oxyz cho đờng thẳng ; 4 21 3 :)( = += += z ty tx ( t tham số, t thuộc R ) và đờng thẳng ; 2 2 11 2 :)'( == + zxx M 0 (1;1;2) a. Lập phơng trình đờng thẳng (d) đI qua M 0 , (d) cắt cả )( và )'( . b. Lập phơng trình đờng vuông góc chung của )( và )'( . c. Lập phơng trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhât sao cho )( và )'( tiếp xúc với mặt cầu đó. Bài tập 14 : Cho mặt cầu (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 2x - 2y - 2z - 1 = 0, điểm A(1;1;3); B(2;4;7). Lập phơng trình (d) là tiếp tuyến của mặt cầu (S) tại A sao cho khoảng cách từ B tới (d) là nhỏ nhất. Bài tập 15 : Cho ;9 24 :)( = = = tz ty tx cho điểm M(1; 0; 5). Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M, (d) vuông góc và cắt )( Bài tập 16 : Cho mặt phẳng (P) : 3x + 5y - z - 2 = 0; đờng thẳng (d) : ; 1 1 3 9 4 12 :)( = = zyx d Lập )( là đờng thẳng nằm trong (P), )( vuông góc và cắt (d) Bài tập 17 : Cho ; 14 10 8 23 :)( 1 zyx d = + = + và ;22 23 :)( 2 = = += tz ty tx d a. Lập phơng trình mặt phẳng (P 1 ) ; (P 2 ) lần lợt đi qua (d 1 ); (d 2 ) và song song với nhau b. Lập )( song song với trục Oz và cắt cả (d 1 ) và (d 2 ). Bài tập 18 : Cho đởng thẳng ; 012 033 :)'(; 01 012 :)( =+ =++ =+ =++ yx zyx zyx yx Chứng minh rằng )( cắt )'( và lập phơng trình các đờng phân giác của các góc tạo bởi )( và )'( Bài tập 19 : Tìm tập hợp các điểm cách đều 3 điểm : A(1;1;1); B(-1;2;0); C(2; - 3; 2) Bài tập 20 : Cho 4 đờng thẳng ; 22 2 1 1 :)( 1 = = zyx d ; ; 44 2 2 2 :)( 2 = = zyx d ; ; 1 1 12 :)( 3 == zyx d ; ; 1 1 22 2 :)( 4 == zyx d Lập phơng trình đờng thẳng cắt cả bốn đờng thẳng trên. Bài tập 21 : Cho tứ diện ABCD với A(3;-5;1) ; B(7; 5; 3) ; C( 9; -1; 5) ; D( 5; 3; - 3) a. Lập phơng trình mặt phẳng cách đều bốn đỉnh của tứ diện b. Lập phơng trình mặt phẳng chứa A, C và cách đều B, D Bài tập 22 : Cho điểm A(a;0;0) ; B(0;b;0) ; C(0;0;c), a,b,c > 0 thoả mãn a 2 + b 2 + c 2 = 3. Xác định a, b, c để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới mặt phẳng (ABC) là lớn nhất. Bài tập 23 : Cho mặt phẳng (P): 5x + ky + 4z + m = 0 ; (Q): 3x - 7y + z - 3 = 0; (R): x - 9y - 2z + 5 = 0. Tìm k, m để 3 mặt phẳng cùng đi qua một đờng thẳng. Bài tập 24 : Cho mặt phẳng (P): x + y + z - 6 = 0 ; (Q): mx - 2y + z + m - 1 = 0; (R): mx + (m -1)y - z + 2m = 0. Tìm m để 3 mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau và tìm toạ độ giao điểm của chúng. Bài tập 25 : Cho M 0 ( 1; 2; 4) . Lập phơng trình mặt phẳng cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho OA = OB = OC ( A, B, C khác O ). Bài tập 26 : Cho M 0 ( 1; 1; 1) . Lập phơng trình mặt phẳng cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho thể tích OABC là nhỏ nhất. Bài tập 27 : (S) : x 2 + y 2 + z 2 - 4mx + 4y + 2mz + m 2 + 4m = 0. Xác định m để (S) là phơng trình mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất. Bài tập 28 : (S) : x 2 + y 2 + z 2 + 2x.cos - 2ysin - 4z - ( 4 + sin 2 ) = 0. Xác định để (S) là phơng trình mặt cầu. Tìm m để bán kính mặt cầu là nhỏ nhất, lớn nhất. Bài tập 29 : a. A(2;0;0); B(0; 4; 0); C(0;0;6) ; D(2;4;6). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho 4 =+++ MDMCMBMA . b. A(a;0;0); B(0; b; 0); C(0;0;c). Tìm tập hợp các điểm M sao cho MA 2 + MB 2 + MC 2 = MO 2 ; O là gốc toạ độ. Bài tập 30 : Tứ diện ABCD có A(2;1;-1); B(3;0;1) ; C(2; -1;3) ; Tìm D thuộc Oy sao cho thể tích ABCD bằng 5. Bài tập 31 : Cho tam giác ABC với A(1;2;-1); B(2;-1;3) ; C(- 4; 7; 5) a. Tính độ dài đờng cao của tam giác ABC từ đỉnh A b. Tính độ dài đờng phân giác trong của tam giác ABC tại đỉnh B. Bài tập 32 : Cho tam giác ABC với A( 1; 0; 0 ); B(0; 0; 1) ; C( 2; 1;1 ). a. Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC b. Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài tập 33 : ; 211 :)( 1 zyx d == ; 1 21 :)( 2 += = = tz ty tx d (P): x - y - z = 0 Tìm M thuộc (d 1 ) và N thuộc (d 2 ) sao cho MN // mp(P) và 2=MN Bài tập 34 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 ). Phơng trình (d 1 ): 12 1 1 zyx = + = ; phơng trình (d 2 ): =+ =+ 012 013 yx zx a. Chứng minh rằng (d 1 ) và (d 2 ) chéo nhau và vuông góc với nhau b. Viết phơng trình tổng quát của đờng thẳng (d) biết (d) cắt cả (d 1 ) và (d 2 ) và song song 2 3 4 7 1 4 : = = zyx Bài tập 35 : Trong khụng gian vi h to Oxyz , cho hai im )2;1;1(A , )2;0;2(B . a. Tỡm qu tớch cỏc im M sao cho 5 22 = MBMA . b. Tỡm qu tớch cỏc im cỏch u hai mt phng )(OAB v )(Oxy . áp Dụng phơng pháp toạ độ giải các bài tập hình học kGian I. Dng tam din vuụng Vớ d 1. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c ụi mt vuụng gúc. im M c nh thuc tam giỏc ABC cú khong cỏch ln lt n cỏc mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) l 1, 2, 3. Tỡm a, b, c th tớch O.ABC nh nht. [...]... mp(SBC) Ví dụ 4 (trích đề thi Đại học khối A – 2002) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a Gọi M, N là trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích ∆ AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) II Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi) tâm O... tích khối tứ diện MABC Bài 11 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = h và đáy ABC có cạnh bằng a Điểm M, N là trung điểm của cạnh AC, AB tương ứng Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính hình chiếu nội tiếp hình chóp đó Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD với AB = 2a, BC = a Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng 1 Tính thể tích của hình chóp S.ABCD 2 Gọi M, N, E,... theo b và α e Hình chóp tứ giác đều có cạnh bên là b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng β Tính thể tích khối chóp theo b và β Bài 2 a Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α Tính thể tích khối chóp theo a và α b Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy β Tính thể tích khối chóp theo a và β bằng c Hình chóp tam giác đều có cạnh... Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a SC vng góc với mặt phẳng (ABCD) ; SC = 2a Hai điểm M, N lần lượt thuộc SB và SD sao cho Mặt phẳng (AMN) cắt SC tại P Tính thể tích hình chóp S.MANP theo a Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Biết rằng góc nhọn tạo bởi hai đường chéo AC và BD là , các tam giác SAC và SBD đều có cạnh bằng a Tính thể tích hình chóp theo a Bài 10 Cho hình. .. thĨ tÝch khèi ®a diƯn Bài 1 a Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α Tính thể tích khối chóp theo a và α b Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng β Tính thể tích khối chóp theo a và β c Hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên là b Tính thể tích khối chóp theo a và b d Hình chóp tứ giác đều có cạnh bên là b, góc giữa... chóp theo a và b d Hình chóp tam giác đều có cạnh bên là b, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng α Tính thể tích khối chóp theo b và α e Hình chóp tam giác đều có cạnh bên là b, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng β Tính thể tích khối chóp theo b và β Bài 3 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=2a và SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vng góc... phẳng (ABC) và (ACE) 3 Tính thể tích hình chóp A.BCFE Bài 3 Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vng góc với nhau từng đơi một Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB) 1 Tính thể tích tứ diện HA’B’C’ 2 Gọi S là điểm đối xứng của H qua O Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều Bài 4 Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đơi... Trong trường hợp đó tính thể tích 3 hình chóp S.BCNM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a D SAD đều và vng góc với (ABCD) Gọi H là trung điểm của AD 1 Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD) 2 Mặt phẳng (a ) qua H và vng góc với SC tại I Chứng tỏ (a ) cắt các cạnh SB, SD 3 Tính góc của hai mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (SCD) Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O SO vng góc với đáy... khoảng cách giữa IK và AD 3 Tính diện tích tứ giác IKNM Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Tính góc của hai mặt phẳng (BA’C) và mp(DA’C) Bài 23 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất Bài 24 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a 1 Chứng minh A’C vng góc với (AB’D’)... dài cạnh là 2cm Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vng ADD’A’ 1 Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N 2 Tính bán kính r của đường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D 3 Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có · đáy hình thoi cạnh a, BAD = 600 Gọi M, N là trung điểm . tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và đáy là hình vng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vng. b) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng (hoặc hình thoi). (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích ∆ AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC). II. Hình. sao cho ABC vuông cân tại A II. Các bài tập liên quan đến hình bình hành, hình chữ nhât, hình thoi, hình vuông Dạng 1 : Biết tâm hình bình hành, biết hai điểm nằm trên hai cạnh đối và phơng trình