Trường điện từ biến thiên ppt

γ = - Mật độ dòng điện và mật độ điện tích liên hệ với nhau theo phương trình liên tục: t J Chương 4: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN 1.. Khái niệm chung H E H E - Năng lượng trường điện từ

Trang 1

1 Khái niệm chung

, t

D J H

rot

∂

∂ +

B E

- Đối với môi trường đẳng hướng, tuyến tính các đại lượng đặc

trưng cho trường điện từ liên hệ với nhau qua các phương trình

chất:

ng

E E ( J , H B , E

γ + γ

= + γ

= µ

= ε

=

- Trong đó ta gọi là cường độ trường điện “ngoài”, là mật

độ dòng điện “ngoài”, chúng đặc trưng cho nguồn ban đầu gây ra

Eng = ng = J E.

γ

=

- Mật độ dòng điện và mật độ điện tích liên hệ với nhau theo

phương trình liên tục:

t J

Chương 4: TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊN

1 Khái niệm chung

H E

H E (

- Năng lượng trường điện từ biến thiên lan truyền thành dòng

năng lượng với vectơ mật độ dòng công suất là vectơ Poynting:

- Đặc tính sóng của trường điện từ biến thiên hiện rõ qua các hiện

tượng giao thoa, nhiễu xạ… của sóng điện từ Sóng điện từ lan

Trang 2

- Do div của rot luôn bằng 0 nên từ phương trình suy ra

có thể biểu diễn:

phương trình sóng

ϕ

, 0 B div  = A

A rot )

A rot ( t E

rot t

E grad

t

A E

∂

− ϕ

−

=

⇒ ϕ

−

=

∂

∂ +

a Khái niệm thế vectơ và thế vô hướng của trường điện từ

biến thiên

t

f '

, gradf

= ϕ +

= 



A

- Số hạng chứng tỏ trường điện của trường điện từ biến

2 Thế vectơ và thế vô hướng của trường điện từ biến thiên - Các

ϕ

(A gradf) rot A rotgradf B ' rot A B rot

' A rot

A ≠

∂

∂

E

thiên không phải là trường thế, công thực hiện bởi trường điện

này khi dịch chuyển điện tích giữa 2 điểm nói chung phụ thuộc vào

đường đi.

ϕ ,

A

ϕ ,

A

B ,

E 

nào đó Đặt:

: ' , '

A ϕ '

B , '

E 

Trang 3

a Khái niệm thế vectơ và thế vô hướng của trường điện từ

biến thiên

) gradf A

( t t

f grad

t

' A ' grad

tả bởi các thế

div 

,

A ϕ A ' , ϕ '



E t

A grad

' E ) gradf ( t t

f grad t

∂

− ϕ

−

=

- Lợi dụng tính không đơn trị của người ta có thể chọn chúng

bằng cách đưa thêm các điều kiện phụ xác định Trong điện động

lực học người ta đưa vào điều kiện phụ Lorentz:

ϕ ,

A

6

b Các phương trình sóng của trường điện từ biến thiên

t

D J

H

∂

∂ +

=



- Xét 1 trường điện từ biến thiên gây ra bởi nguồn là điện tích và

dòng điện phân bố trong thể tích V’ hữu hạn với mật độ điện tích

là và mật độ dòng điện là

S

ρ

, const

= ε

- Thay ta được: D E , H B , ε = const , µ = const

µ

= ε

B rot E

t J

B

∂

∂ εµ + µ

=

⇒ ε

∂

∂ +

Trang 4

A t

grad J

t

A grad

t J

A

∂

∂ εµ

− µ

−

∂

∂ εµ + µ

E , A rot

B

∂

− ϕ

S

t

A t

grad J

A A graddiv

∂

∂ εµ

− µ

−

∆

⇒

t A

div grad J

∂

ρ

∂ εµ +



- Sử dụng điều kiện phụ Lorentz ta được:

S 2

2

J t

−

∆

8

E

∂

− ϕ

=

∂

∂ + ϕ

⇒ ε ρ

t divgrad /

t

A grad

ε ρ

−

=

∂

∂ + ϕ

div t

A div

∂

ϕ

∂ εµ

− ϕ

∆

⇒ ε ρ

2 S

ϕ

Phương trình d’Alembert đối với

Trang 5

) ,

JS ρ S

- Nghiệm của các phương trình d’Alembert sẽ lan truyền từ

nguồn (miền V’ chứa vào không gian chung quanh với vận tốc A , ϕ



- Như vậy các phương trình d’Alembert nói lên rằng trường điện từ

biến thiên có khả năng lan truyền từ nguồn ra không gian chung

quanh với vận tốc bằng vận tốc ánh sáng trong cùng môi

- Trường hợp môi trường chung quanh V’ là đồng nhất vô hạn

const ,

const

nghiệm là:

, R

' dV v

R t , ' r J

= ϕ

' V

S

R

' dV v

R t , ' r

4

1 ) , r (



10

' r r R

−

=

với là vận tốc truyền sóng điện từ và

là mật độ dòng điện và mật độ điện tích tại yếu tố thể tích dV’ (xác định bởi vectơ vị trí ở thời điểm

trước thời điểm t một thời gian bằng R/v là thời gian để tín hiệu

truyền từ dV’ đến điểm khảo sát trường M cách dV’ một khoảng R

) OM

ở thời điểm t.

- Như vậy sự thay đổi của dòng điện, điện tích tại dV’ phản ánh đến

những điểm khác nhau của trường không tức thời, mà chậm sau 1

khoảng thời gian bằng R/v để sóng điện từ truyền trong khoảng

cách từ dV’ đến điểm khảo sát.

Trang 6

- Do vậy với các thế và gọi là các thế chậm.

gọi là các phương trình sóng

A

không có phân bố dòng dẫn và điện tích tự do và J S = 0 , ρ S = 0

ϕ

const ,

const µ =

= ε

các phương trình đối với và trở thành: A

ϕ 0

− ϕ

A



- Tương tự trong môi trường điện môi lý tưởng ,

không có dòng dẫn và điện tích tự do có thể thiết lập phương trình

0 t

H H

0 t

E E

2 2 2 2

=

∂

∂ εµ

const µ =

= ε

E

H

12

a Biểu diễn phức các đại lượng điều hòa

3 Các phương trình trường điện từ biến thiên điều hòa dạng phức

- Đối với trường điện từ biến thiên điều hòa, tại mỗi điểm (x, y, z)

ba thành phần theo 3 trục tọa độ của biến thiên theo

quy luật điều hòa Chẳng hạn:

- Theo công thức Euler ta có:

J , H , B , D ,

E    

trong đó các biên độ E xm , E ym , E zm và các pha ban đầu là

những hàm của tọa độ không gian, không phụ thuộc vào thời gian t.

α + α

=

α

sin i cos

e i

z y

x , ψ , ψ ψ

là tần số góc của trường điện từ biến thiên điều hòa.

ω

)]

z , y , x ( t cos[

E i

)]

z , y , x ( t cos[

E i )]

z , y , x ( t cos[

E i )

z

y ym

y x

xm x

ψ + ω +

ψ + ω

z y

e E i Re )

zm z i ym y i xm

i (

Trang 7

với: : vectơ biên độ phức

cường độ trường điện.

- Đối với các đại lượng điều hòa khác ta cũng định nghĩa

các vectơ biên độ phức tương ứng một cách tương tự.

- Khi khảo sát trường điện từ biến thiên điều hòa, người ta biểu

diễn các đại lượng điều hòa bởi các vectơ biên độ phức tương ứng:

z y

zm z i ym y i xm x

.

e E i e E i e E i ) z

D   

.

J , H , B ,

D   

- Đối với lượng điều hòa vô hướng như mật độ điện tích khối

) t cos(

) z , y , x ( )

z , y , x ( J ) , z , y , x

(

J

);

z , y , x ( H ) , z , y , x ( H );

z , y , x ( B ) , z , y , x

(

B

);

z , y , x ( D ) , z , y , x ( D );

z , y , x ( E ) , z , y , x

(

E

ρ

↔ ρ

- Tương tự như trong lý thuyết mạch điện, với cách biểu diễn như

vậy, các đạo hàm riêng theo thời gian sẽ tương ứng với phép nhân

ω

E )

E i ( i t

) , z , y , x ( E

; E i t

) , z , y

↔

∂

∂ ω

rot

∂

∂ +

div  =

ρ

= D

div

- Hệ phương trình Maxwell là:

D i J H rot  =  + ω

B i E rot  = − ω 

0 B div  =

ρ

= 



D div

- Hệ phương trình Maxwell dạng phức là:

Trang 8

b Các phương trình Maxwell dạng phức

- Các phương trình chất dạng phức là:

J E ) E E ( J , H B , E

D = ε  = µ   = γ  +  = γ + 

- Phương trình Maxwell thứ nhất dạng phức có thể viết lại ở dạng:

đặt (độ thẩm điện phức) thì:

E J , 0 J , 0

Eng = ng = = γ

E i i

E i E D i E D i J H

γ

− ε ω

= ωε + γ

= ω + γ

= ω +

= ε

J div

0 ) E

~ ( div 0 ] E ) i [(

ω

γ

− ε

= ω

=

ε

⇒ div ( E) i div J div i J div i E

16

- Tóm lại hệ phương trình Maxwell dạng phức ở miền không có

nguồn ngoài là:

E

~ i H rot  = ω ε 

H i E rot  = − ωµ 

0 ) H ( div µ  =

0

=

ε ) E

~ ( div 

- Từ các phương trình trên có thể suy ra các điều kiện biên hỗn

hợp đối với các thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến của trên



n 2 2 n

1

n 2 2 n

1

2 1

E

~ E

~

H H

E E

H H

µ

= µ

=

τ τ

τ

2 2

2 , µ , γ ε

1 1

1 , µ , γ ε )

S ( ( 1 )

) 2 (

Trang 9

- Xét môi trường đồng nhất Ta có:

0

= µ

=

µ H ) div H div H (

).

const i

~ , const

ω

γ

− ε

= ε

= µ

E rot

~ i H H graddiv )

E

~ i ( rot H rotrot E

~ i

H

rot = ω ε⇒  = ω ε ⇒  − ∆ = ω ε 

- Mặt khác nên µ = const

E rot

~ i

~ H )

H i (

~ i

c Giá trị trung bình các đại lượng đo công suất, năng lượng, vectơ

E Re ) ( H ) ( E )

(

P =  ×  =  ω ×  ω

) e H e H ( 2

1 ) e E e E ( 2

1 i ω t + * − i ω t × i ω t + * − i ω t

) e H E e H E ( ) H E H E ( × * + * × + × i ω t + * × * − i ω t

4

1 4

1        

*

H ,

E 

H ,

E 

- Vì là vectơ phức liên hợp của là vectơ

phức liên hợp của nên ( E H )

 × ( E  × H* ), ( E* ×  H* e − i 2 ω t )

) e H E (×  i 2 ω t

) e H E Re(

2 e

H E e H E ), H E Re(

2 H

1 H E Re 2

1 ) ( H ) ( E

)

(

Trang 10

Poynting phức

với: gọi là vectơ Poynting phức.

- Chứng minh một cách tương tự ta có:

{E H } Re P ~ Re

2

1 dt ) ( P T

1 ) (

P

ω

π

= 2 T

*

H E

2

1

P ~ =  × 

2 m

*

* T

0 E

4

1 E E 4

1 D E 4

1 dt ) ( w T

1 ) (

* 2

m

ψ ψ

=

) e E i e E i e E i

ψ

− ψ



2 zm 2

ym 2

xm

* 2

20

*

* T

0 M

4

1 H H 4

1 H B 4

1 dt ) ( w T

1 ) (

) ( H ).

t B 2

1 ) (

=

2 zm 2

ym 2

xm

* 2

= γ

1 2

tt tt

J E

E E J

E dt

) t P T )

t

zm 2

ym 2

Trang 11

1 2

i J H rot

B i E rot

1 4

1 2 2

1 2

−

− ω

P

~

dV w w i

dV P dV

P ~

div

V

E M V

tt S

22

d Định lý Poynting phức

- Lấy phần thực 2 vế của biểu thức (*) ta được: − ∫ =∫

V tt S

dV P dS

P ~

Re 

là công suất tiêu tán trung bình trong thể tích V.

dS P dS

P ~ Re dS

P ~

Re

S S

tích V qua bề mặt S.

- Lấy phần ảo 2 vế của biểu thức (*) ta được:

dV ) w w ( 2 dS

P ~

Im 

- Có thể chứng minh được rằng khi kích thước mạch điện đủ nhỏ so

với bước sóng trường điện từ để có thể sử dụng mô hình mạch thì:

1 dS P

~





Trang 12

1  



24

- Trường điện từ biến thiên theo thời gian tạo nên sóng điện từ lan

truyền trong không gian.

4 Sóng điện từ phẳng đơn sắc

- Tùy theo các mặt đồng pha của sóng điện từ mà ta có sóng điện từ

phẳng, sóng trụ hoặc sóng cầu…

- Sóng điện từ phẳng là sóng điện từ có mặt đồng pha là mặt

phẳng, phương truyền của sóng phẳng ở mọi nơi đều vuông góc với

mặt phẳng xác định Trong thực tế không tồn tại sóng phẳng tuyệt

đối theo định nghĩa trên.

- Các nguồn sóng có kích thước bé tạo ra các sóng có mặt đồng pha

là mặt cầu, các sóng này gọi là sóng cầu.

- Thường người ta chỉ khảo sát một phần rất nhỏ của không gian có

sóng điện từ và đủ ở xa nguồn, trong trường hợp đó một phần

không lớn của mặt cầu có thể coi là phẳng và sóng trong miền này

là sóng phẳng.

Trang 13

- Sóng điện từ gọi là đơn sắc hay điều hòa nếu các vectơ cường độ

trường điện, trường từ biến đổi hình sin theo thời gian với một tần

số xác định

- Sóng phẳng gọi là sóng phẳng đồng nhất nếu vectơ của sóng

phụ thuộc chỉ một tọa độ không gian khi chọn hướng các trục tọa

độ thích hợp Chẳng hạn nếu chọn phương của trục z là phương

truyền sóng phẳng đồng nhất thì:

- Nghĩa là tại mọi điểm trên 1 mặt phẳng vuông góc với trục z,

cũng như có giá trị như nhau.

ω

H ,

E 

).

t , z ( H H ), t , z ( E

- Dưới đây ta khảo sát sóng điện từ phẳng đơn sắc đồng nhất

- Giả sử trong môi trường không có nguồn ngoài

nguồn gây ra sóng điện từ ở cách rất xa miền khảo sát ( J ng = 0 , ρ ng = 0 )



26

- Chọn hệ tọa độ Đề các với trục z vuông góc với mặt đồng pha

của sóng, khi đó các vectơ trường không phụ thuộc vào các tọa độ

x, y

- Các biên độ phức thỏa mãn các phương trình Maxwell:

- Khai triển các phương trình này trong hệ tọa độ Đề các ta được:

0 y , 0

E 

H i E rot

E

~ i H rot

=

⇔ ε ω

= i ~ E H

rot 

z

y x

x y

E

~ i

E

~ i H dz d

E

~ i H dz d

=

ε ω

=

ε ω

=

~ ,

0

E z =

⇒ 

Trang 14

- Từ phương trình

⇔ ωµ

−

= i H E

rot 

z

y x

x y

H i

H i E dz d

dz

d i dz

E d H i E

2

= µ ε ω +

⇒ ωµ

− ε ω

−

=

⇒ ε ω

−

x

x x

dz

E d E ) i (

~ i dz

E d E

~ i H

y 2 2 y 2

= µ ε ω



- Hai phương trình trên có nghiệm là:

Kz x Kz x

E = − +

Kz y Kz y

E = − +

28

trong đó M x , M y , N x , N y là các hằng số phức.

2 / 1

2 2 2 2

/ 1

2 2

2

1 1

2 ,

1 1

2

i

~ i

γ +

εµ ω

= β

γ +

εµ ω

=

α

β + α

= µ ε ω

=

, e N Z

1 e

M Z

1

c

Kz y c

x c

Kz x c

Z

1 e M Z

1

- K: hệ số truyền

) ( e z

~

~ i

i K

ωµ

= ωµ

2 2

4 / 1

2 2 2

2 2

z

β + α

β

= θ β

α

= θ Ω

Trang 15

- Đặt:

- Thay vào ta được:

y x

y

y y

i x x

i y y

i x

+ β α

−

ϕ β α ψ

+ β α

−

β α ϕ β

α

− ψ

β α ϕ β

α

− ψ

) z ( i z y ) z ( i z y y

) z ( i z x ) z ( i z x x

z ) i ( i y z ) i ( i y y

z ) i ( i x z ) i ( i x x

y y

x x

y y

x x

e e n e

e m E

e e n e

e m E

e e n e

e m E

e e n e

e m E

ψ + β α

−

θ ϕ β α θ

ψ + β α

−

) z ( i z c

x ) z ( i z c

x y

) z ( i z c

y ) z ( i z c

y x

x x

y y

e e z

n e

e z

m H

e e z

n e

e z

m H

ψ + β

− ω

=

ϕ + β + ω +

ψ + β

− ω

=

α α

−

α α

−

0 ) (

E

) z t cos(

e n ) z t cos(

e m ) (

E

) z t cos(

e n ) z t cos(

e m ) (

E

z

y z

y y z

y y

x z

x x z

x x

30

- Từ các biểu thức trên ta rút ra một số nhận xét sau:

trục z, nghĩa là năng lượng sóng điện từ lan truyền theo phương

trục z Vậy các vectơ của sóng phẳng vuông góc với phương

truyền Ta nói sóng điện từ phẳng thuộc loại sóng TEM.

H E

− θ

− ψ + β

− ω

=

θ

− ϕ + β + ω +

θ

− ψ + β

− ω

−

=

α α

−

α α

t cos(

z

e n ) z

t cos(

z

e m

t cos(

z

e n ) z

t cos(

z

e m )

z x x

c

z x y

y c

z y y

c

z y x

H ,

E 

Trang 16

Các mặt đẳng pha là các mặt phẳng vuông góc với phương truyền

có phương trình do đó các mặt đẳng pha

dịch chuyển theo chiều dương trục z với vận tốc

2 Trong các biểu thức của E x (t), E y (t), H x (t), H y (t) ở vế phải gồm 2

số hạng:

ω

+ Các số hạng thứ 1 là các hàm điều hòa tần số góc , trong biên

độ có chứa thành phần , trong góc pha có chứa , vì vậy

chúng mô tả một sóng phẳng đơn sắc lan truyền theo phương và

chiều dương trục z, gọi là sóng thuận Khi lan truyền biên độ sóng

giảm dần theo quy luật hàm mũ.

− ω

dt

dz const z

t

β ω

32

Các mặt đẳng pha là các mặt phẳng vuông góc với phương truyền

có phương trình do đó các mặt đẳng pha

dịch chuyển theo chiều dương trục z với vận tốc

ω

+ Các số hạng thứ 2 là các hàm điều hòa tần số góc , trong biên

độ có chứa thành phần , trong góc pha có chứa , vì vậy

chúng mô tả một sóng phẳng đơn sắc lan truyền theo phương và

chiều âm trục z, gọi là sóng ngược Khi lan truyền biên độ sóng

giảm dần theo quy luật hàm mũ.

dt

dz const z

t

β ω

- Vận tốc dịch chuyển các mặt đẳng pha được gọi là vận tốc pha

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	176,93 KB