Trường điện tĩnh docx

- Nếu trong môi trường dẫn ở thời điểm t tại miền nào đó có phân bố điện tích khối mật độ thì mật độ dòng và mật độ điện tích khối liên hệ với nhau theo phương trình liên tục: 0 t J ∂

Trang 1

1 Khái niệm chung

- Trường điện từ tĩnh là trường điện từ thỏa mãn các điều kiện

sau:

gian các đạo hàm riêng của các đại lượng này bằng 0

b Không có sự chuyển động của các điện tích, nghĩa là không có

dòng điện mật độ dòng

, , H , B , D ,

E    ρ σ









∂

t

D J H

rot

∂

∂ +

=



t

B E

rot

∂

−

=



0 B

div  =

ρ

= D

div

Σ Σ Σ

=

−

×

=

−

=

−

×

σ

=

−

S 2 1

2 1

J ) H H ( n

0 ) B B (

n

0 ) E E ( n

) D D (

n



H B

E D



µ

=

ε

=

- Hệ phương trình Maxell và các điều kiện biên của các vectơ

trường:

2

Chương 3: TRƯỜNG ĐIỆN TĨNH

1 Khái niệm chung

0 H rot  =

0 E rot  =

0 B div =

ρ

= D div

Σ Σ Σ

=

−

×

=

−

=

−

×

σ

=

−

0 ) H H ( n

0 ) B B (

n

0 ) E E ( n

) D D (

n

2 1



- Phương trình và điều kiện biên của trường điện từ tĩnh có thể

tách thành 2 nhóm độc lập:









=

0

B

div

0

H

rot



=

−

×

=

−

Σ

Σ 0 ) H

H

(

n

0 ) B

B

.(

n

2 1

2

1



H

B 

µ

=







 ρ

=

= D div

0 E rot



=

−

×

σ

=

−

Σ

Σ 0 ) E E ( n

) D D (

n

2 1



E

D 

ε

=

Trường điện tĩnh

Trường từ tĩnh

- Hệ phương trình Maxell và các điều kiện biên của các vectơ

trường của trường điện từ tĩnh:

Trang 2

2 Tính chất thế của trường điện tĩnh

a Công của lực điện tĩnh

∫

= C dl E

- Ta có rot E = 0 và áp dụng định lý Stokes ta được:

0 dS E rot dl

E A

S C

=

- Vậy công của lực điện tĩnh thực hiện theo đường cong kín thì

bằng 0: Trường điện tĩnh là trường thế Lấy đường kín C gồm 2

nhánh PaQ và QbP:

a

b P

Q

C

- Công của lực điện tĩnh khi dịch chuyển một đơn vị điện tích

dương theo đường kín C là:

∫

PbQ PaQ

QbP PaQ

PaQbP

dl E dl E dl

E dl

E dl E

dl

.

- Vậy công của lực điện tĩnh không phụ thuộc vào đường dịch

chuyển, mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối của đường

dịch chuyển.

4

b Thế điện

ϕ đó chính là nghiệm của phương trình: rot E = 0

- Hàm thế vô hướng còn gọi là thế điện được định nghĩa là: ϕ

ϕ

−

= grad

E

- Để ý là: E dl = − grad ϕ dl

ϕ

=

∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂

z

dy y

dx x

C dl E dl

.

E

z y

z

i y

i x

dl

.

+ +









∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂

=

ϕ

- Thế điện không đơn trị, được xác định với 1 hằng số cộng thêm

- Nếu chọn trước giá trị thế điện tại điểm nào đó thì thế điện tại

tất cả các điểm khác hoàn toàn xác định

- Trong thực tế người ta chọn thế điện chuẩn của đất bằng 0

Trong lý thuyết người ta chọn thế điện chuẩn bằng 0 ở vô cùng

nếu điện tích phân bố trong miền không gian hữu hạn

Trang 3

b Thế điện

- Hiệu điện thế giữa 2 điểm bằng công của lực điện dịch chuyển

một đơn vị điện tích dương giữa 2 điểm đó.

- Hiệu điện thế giữa 2 điểm P và Q là: ( P ) ( Q ) E dl ( V )

Q

P

∫

= ϕ

−

- Nếu chọn thế điện chuẩn bằng 0 ở vô cùng thì: ϕ ( Q ) = 0

) V ( dl E ) P (

P

∫

∞

=

- Vectơ cường độ điện trường của điện tích điểm q đối xứng cầu là:

r

q r

q dr r

q dr E dl E ) P ( m

V i

r

q

E

r P

P

r P







−

πε

= πε

=

= ϕ

⇒













πε

=

∞

∫



- Nếu có một hệ gồm n điện tích điểm q 1 , q 2 ,…, q n thì thế điện tại

điểm P nhận được theo nguyên lý chồng trường là:

n 2

E

+ +

+

= E1 , E2 , , En là cường độ điện trường do q 1 ,

q 2 ,…, q n gây ra.

6

b Thế điện

z y

x y i z i

i

x

+ +

=

với là vectơ vị trí xác định điểm P.

∫

∞

+ + +

=

ϕ

⇒

P n P

2 P

1 P

dl E

dl E dl E dl E )

P

∑

=

= ϕ

+ + ϕ

+ ϕ

=

ϕ

1

k n

1 k k n

2 1

r

q 4

1 ) P ( )

P (

) P ( ) P ( )

P

(

∑

πε

=

ϕ

k ' r r

q )

P

(

1 4

1



z k y k x

k

k ' x ' i y ' i z ' i

+ +

z

) r (

P 

k

q

r

'

r k



0

k

r



Trang 4

b Thế điện

'

r

- Trường hợp điện tích phân bố liên tục trong thể tích V, trên mặt

S, trên đường L với mật độ điện tích khối mật độ điện tích mặt

πε

=

ϕ

L , S ,

dq )

P

4 1

trong đó dq là yếu tố điện tích điểm:







 λ σ

ρ

=

dl ).

' r (

dS ).

' r (

dV ).

' r ( dq



là vectơ vị trí xác định yếu tố thể tích dV, yếu tố diện tích dS,

yếu tố dài dl.

, ρ mật độ điện tích dài , khi đó ta có:

,

σ λ

8

3 Phương trình Poisson - Laplace

- Ta có: mà div D = ρ

ϕ

−

= ε

= E , E grad

ρ

−

= ϕ ε

⇒ ρ

= ϕ

− ε

⇒ ρ

=

ε

⇒ div ( E) div ( ( grad )) div ( grad )

- Nếu miền khảo sát là môi trường đồng nhất thì = const và ta

ε ρ

−

= ϕ

∆

⇒

ε ρ

−

= ϕ /

/ ) grad ( div

là toán tử Laplace, trong hệ tọa độ Đề các:

∆

ε ρ

−

=

∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂

=

ϕ

z y

2 2 2 2

2

Phương trình Poisson

- Nếu trong miền khảo sát không có điện tích thì: ( ρ = 0 )

0

= ϕ

Phương trình Poisson có nghiệm riêng dạng tích phân:

dV ' r r

) ' r ( )

P

(

V

∫ ρ −

πε

=



4 1

Trang 5

4 Vật dẫn trong trường điện tĩnh

- Vật dẫn hay môi trường dẫn là môi trường có các điện tích tự do.

- Nếu trong môi trường dẫn ở thời điểm t tại miền nào đó có phân

bố điện tích khối mật độ thì mật độ dòng và mật độ điện

tích khối liên hệ với nhau theo phương trình liên tục:

0 t J

∂

ρ

∂

+



với môi trường đồng nhất phương trình liên tục

trở thành:

- Dưới tác dụng của lực điện các điện tích tự do chuyển dời tạo

nên dòng điện dẫn.

- Môi trường dẫn có độ dẫn điện , mật độ dòng điện dẫn

liên hệ với vectơ cường độ điện trường theo định luật Ohm:

0

≠

E

J 

γ

= )

, P (

ρ

) E ( div J div , ) E ( div D

div = ρ ⇒ ε = ρ  = γ

const ,

const ε =

= γ

0

= ρ ε

γ +

∂

ρ

∂

- Phương trình này có nghiệm: ρ = ρ 0 e − ( γ / ε t = ρ 0 e − t / T ( C / m 3 )

ρ ε

γ

= γ

= ε

ρ

=

⇒

ρ

=

ε div E div E / , div J div ( E) div E

10

là hằng số thời gian.

)

s

(

/

T = ε γ

- Như vậy nếu tại một điểm bất kỳ trong vật dẫn mật độ điện tích

khối ở thời điểm ban đầu bằng 0 thì sẽ bằng 0 ở mọi thời

điểm.

- Vì thế không có lượng điện tích nào suy giảm ở một miền bên

trong vật dẫn để rồi xuất hiện ở một miền khác bên trong vật dẫn

này.

- Mặt khác điện tích phải bảo toàn sự suy giảm điện tích bên trong

vật dẫn chỉ có thể dãn tới sự xuất hiện điện tích mặt trên vật dẫn

Quá trình này diễn ra rất nhanh.

- Như vậy mật độ điện tích khối bên trong vật dẫn suy giảm rất

nhanh theo quy luật hàm mũ với hằng số thời gian T.

) 0 ( ρ 0 =

Trang 6

- Các điện tích cảm ứng này tạo ra một điện trường phụ làm triệt

tiêu điện trường bên trong vật dẫn và làm méo điện trường bên

ngoài vật dẫn.

- Điều kiện cân bằng tĩnh điện đòi hỏi mật độ dòng

do (trong vật dẫn) = 0

- Khi đặt vật dẫn vào trường điện ngoài, dưới tác dụng của lực

điện sẽ có sự phân bố lại các điện tích tự do trên mặt vật dẫn.

:

J 0 = J = γ E = 0 E

⇒

≠

γ

do (trong vật dẫn) = E

0 grad ϕ =

− ϕ

⇒ (vật dẫn) = const

- Thế điện tại mọi điểm bên trong vật dẫn đều bằng nhau: vật dẫn

là vật đẳng thế.

12

- Vậy các đường sức điện trường vuông góc với mặt vật dẫn Tại

những điểm bên trong vật dẫn:

- Vậy điện tích chỉ phân bố ngoài mặt vật dẫn với mật độ điện tích

mặt

- Vì cường độ điện trường bên trong vật dẫn bằng 0 nên theo điều

kiện biên tại mặt vật dẫn ta có:

0 D div , 0 E div =  =

n n D D

D n D

n



σ

=

= σ

(trong vật dẫn) = 0

ρ

⇒

ρ

=

D

div

).

m

/

C

( 2

σ

0

E = 0

E = q

n

+ + +

−

Trang 7

5 Sự phân bố thế điện và điện tích trong hệ thống vật dẫn

a Định lý tương hỗ

- Hệ thống n vật dẫn, điện tích các vật dẫn lần lượt là q 1 , q 2 ,…, q k ,…,

q n và thế điện lần lượt là ϕ 1 , ϕ 2 , , ϕ k , , ϕ n

- Khi điện tích các vật dẫn thay đổi nhận trị số mới q 1 ’, q 2 ’,…, q k ’,…,

q n ’, thế điện các vật dẫn thay đổi theo có giá trị lần lượt là

' , , '

, ,

'

,

' 1 ϕ 2 ' ϕ k ϕ n

ϕ

- Giả sử các vật dẫn phân bố trong 1 miền giới nội đặt trong môi

trường tuyến tính đẳng hướng không có phân bố điện tích khối

- Miền không gian có điện trường V là toàn không gian trừ đi thể

tích các vật dẫn Tại điểm P trong miền V cảm ứng điện trước và

sau khi các vật dẫn thay đổi thỏa mãn phương trình Maxwell:

' grad '

E , grad E

0 ' D div , 0 D div

ϕ

−

= ϕ

−

=



14

- Mặt kín S bao gồm toàn không gian ở vô cùng và các mặt

vật dẫn Tích phân lấy theo mặt bằng 0 vì các vật dẫn

phân bố trong miền giới nội, do đó ta có:

∫

⇒

ϕ

= ϕ

⇒

ε

−

=

−

= ϕ +

ϕ

= ϕ

ε

−

=

−

= ϕ +

ϕ

= ϕ

S S

V V

dS ) ' D ( dS ) D ' ( dV ).

' D ( div dV

).

D ' ( div

) ' D ( div ) D ' (

div

' E E E '.

D grad

' D ' D div )

' D

(

div

' E E ' E D ' grad D D div ' ) D

'

(

div



) (

S ∞

∑

=

n

1

k

∑ ϕ

⇒ ϕ

= ϕ

=

∫

∑

n

k S

n

k S S

n k n

k

dS ) ' D ( dS ) D ' ( dS

) ' D ( dS ) D ' (

1 1



Trang 8

- Trên vật dẫn k: , nên ta có: ϕ k = const , ϕ ' k = const

∫

∑ ϕ

=

k

n

1

k k S

n

1

dS ' D dS

D

- Áp dụng định luật Gauss ta có:

(*) '

q q

1

k n

1

=

- Hệ thức (*) là biểu diễn toán học của định lý tương hỗ.

16

b Hệ số thế

- Thế điện và điện tích q của một vật dẫn cô lập liên hệ nhau qua

thông số C gọi là điện dung của vật dẫn cô lập:

k pk

k = B q ϕ

- Điện dung C của vật dẫn cô lập phụ thuộc vào hình dạng, kích

thước của vật dẫn và môi trường đặt vật dẫn, C đo bằng Farad (F).

ϕ

- Đối với hệ n vật dẫn mang điện, thế điện của mỗi vật dẫn phụ

thuộc vào điện tích, hình dạng, và sự phân bố của tất cả vật dẫn

đặt trong hệ Thế điện tại điểm P do điện tích q k gây ra:

C

q

= ϕ

với B pk là hệ số tỷ lệ

- Thế điện tại điểm P do cả hệ n vật dẫn mang điện q 1 , q 2 ,…, q n gây

ra:

n pn k

pk p

pn pk

p

p = ϕ + + ϕ + + ϕ = B q + + B q + + B q

Trang 9

- Nếu điểm P chọn trên vật dẫn k thì thế điện của vật dẫn k bằng:

∑

=

= +

+ +

+

=

1 m

m km n

kn k

kk 1

1

- Các hệ số B km , với , gọi là hệ số thế tương hỗ giữa vật dẫn

- Hệ số thế tương hỗ phụ thuộc hình dạng, kích thước và vị trí

tương hỗ giữa các vật dẫn và môi trường đặt vật dẫn.

- Khi vật dẫn m mang điện tích , các vật dẫn còn lại không

mang điện thì: q m ≠ 0

) 0 q

q q

( 1 = 2 = = n =

) F ( q / B

q

k

1

−

ϕ

=

⇒

=

ϕ

- Vật dẫn k đặt trong điện trường của vật dẫn m mang điện tích q m

> 0 sẽ có điện thế ϕ k > 0 do đó:

0

B km >

18

- Giả thiết ở trạng thái ban đầu chỉ có vật dẫn k mang điện ,

các vật dẫn khác không mang điện

mk km m

k mk k m km

k mk m m km k

m m k k

B B ' q q B q ' q B

q B ,

' q B '

' q q

'

=

⇒

=

⇒

= ϕ

ϕ

= ϕ

- Vậy các hệ số thế tương hỗ không độc lập đối với nhau.

0

q k ≠ ).

0 q

q q ( 1 = 2 = = n =

- Ở trạng thái mới chỉ có vật dẫn m mang điện các vật dẫn

khác không mang điện Theo định lý tương hỗ

ta có:

0 '

q m ≠ ).

0 ' q

' q ' q

- Các hệ số thế B 11 ,…, B kk ,…, B nn gọi là hệ số thế riêng Hệ số thế

riêng phụ thuộc vào hình dạng, kích thước của vật dẫn và môi

trường đặt vật dẫn.

Trang 10

- Khi vật dẫn k mang điện , các vật dẫn khác không mang

điện thì: q k ≠ 0

), 0 q

q

( 1 = 2 = = n =

) F ( q /

k k kk

−

ϕ

=

- Vật dẫn k điện tích q k > 0 sẽ có điện thế ϕ k > 0 , do đó:

0

B kk >

20

- Có thể xác định điện tích của 1 vật dẫn theo thế điện của các vật

dẫn trong hệ n vật dẫn bằng cách giải hệ n phương trình:

∑

= ϕ + + ϕ + + ϕ + + ϕ

1 m

m km n

kn k

kk m

km 1

1

q

- Các hệ số A km với , gọi là hệ số điện dung tương hỗ giữa

vật dẫn k và vật dẫn m, còn gọi là hệ số cảm ứng k ≠ m

- Các hệ số cùng chỉ số A kk gọi là hệ số điện dung riêng.

- Các hệ số điện dung tính qua hệ số thế: A km = ∆ km / ∆

với là định thức lập từ các hệ số thế, là phần phụ đại số của

phần tử B km trong định thức :

nn nm

1

n

kn km

1

k

n 1 m

1 11

B

=

∆

nn nm

1 n

kn km

1 k

n 1 m

1 11

) m k ( km

B

) 1 ( − +

=

∆

km

∆

c Hệ số điện dung - Hệ số cảm ứng

Trang 11

- Nối tất cả các vật dẫn với đất, trừ vật dẫn k khi đó:

- Vì điện tích nạp cho vật dẫn k là q k cùng dấu với điện thế nên:

) F ( / q A , A q

k m mk k mk m

k k kk k kk k

ϕ

= ϕ

=

ϕ

= ϕ

=

mk

km = ∆

∆

) 0

( ϕ 1 = ϕ 2 = = ϕ n =

k

ϕ 0

A kk >

- Sự có mặt của điện tích q k trên vật dẫn k làm xuất hiện điện tích

cảm ứng q m ngược dấu với q k , nghĩa là ngược dấu với do đó: ϕ k

0

A mk <

- Các hệ số điện dung phụ thuộc hình dạng, kích thước, vị trí tương

hỗ giữa các vật dẫn và phụ thuộc môi trường.

22

- Hệ 2 vật dẫn cảm ứng điện toàn phần (có điện tích bằng nhau và

trái dấu) là một tụ điện Ta có:

- Hệ thức này nghiệm đúng với mọi giá trị của khi:

0 ) A A ( ) A A (

q A

A q

q A

A q

2 22 12 1 21 11

2 22 1 21 2

2 12 1 11 1

= ϕ + + ϕ +

⇒

−

= ϕ + ϕ

=

= ϕ + ϕ

=

2

1 ,ϕ ϕ

- C là điện dung của tụ điện, đặc trưng cho khả năng tích điện của

tụ điện:

C A A A

A

0 A A , 0 A A

22 12 21

11

22 12 21

11

=

−

=

−

=

⇒

= +

) F (

q C

ϕ

− ϕ

=

Trang 12

d Điện dung bộ phận

- Ta có:

với: hiệu điện thế giữa vật dẫn k và đất U ko = ϕ k

∑

≠

=

≠

=

+

=

⇒

− + ϕ

=

⇒

ϕ

− ϕ

− + ϕ +

ϕ

=

⇒

ϕ + ϕ

− ϕ +

ϕ

=

⇒

ϕ

= ϕ + + ϕ + + ϕ + + ϕ

=

n

k m 1 m

km km ko

kk k n

k m 1 m

km km n

1 m km k

k

m n

k m 1 m

k km k

n

k m 1 m km k

kk k

k k n

k m 1 m

m km k

kk k

n 1 m

m km n

kn k

kk m

km 1

1

k

U C U

C q U

) A ( A

q

) )(

A ( A

A

q

) (

A A

q

A A

A

q

∑

=

= n

1 m

km

24

d Điện dung bộ phận

0

U km = ϕ k − ϕ m =

km

C = − điện dung bộ phận tương hỗ giữa vật dẫn k và vật dẫn m.

- Điện dung bộ phận phụ thuộc hình dạng, kích thước, vị trí tương

hỗ của các vật dẫn và phụ thuộc môi trường đặt các vật dẫn.

- Khi nối tất cả các vật dẫn trong hệ với vật dẫn k:

rút ra: q k = C kk U ko = C kk ϕ k

- Vì điện tích nạp cho vật dẫn k q k và thế điện của vật dẫn này

0

C kk >

- Vì A km = A mk nên: C km > 0 , C km = C mk

- Điện tích q k của vật dẫn k là tổng các điện tích:

+ Điện tích bộ phận (C kk U ko ) gây nên hiệu thế giữa vật dẫn k và

đất.

+ Điện tích bộ phận (C km U km ) gây nên hiệu thế giữa vật dẫn k và

vật dẫn m.

Trang 13

6 Năng lượng trường điện

) m /

C

ρ

- Giả sử trường điện được tạo nên bởi các điện tích phân bố khối

mật độ trong thể tích V’ và điện tích phân bố mặt mật độ

- Ta có:

- Năng lượng trường điện biểu diễn qua các vectơ đặc trưng cho

trường điện bởi hệ thức:

) J ( dV D E 2

1 W

V

e = ∫ 

trên mặt S’ Ta có:

)

m

/

C

σ

∫

=

⇒ ϕ

− ϕρ

=

⇒

ρ

= ϕ

− ϕ

= ϕ

−

=

V V

2

1 dV 2

1 W ) D ( div D

.

E

D div ), D ( div D div grad

D D

.

E



∫

S '

S V

dS D ' dS D dV

) D (

' S

' S S

2

dS

1

dS

' dS

n

) 1 ( ) 2 (

26

6 Năng lượng trường điện

- Tích phân lấy theo mặt S’’ ở vô cùng bằng 0 nếu các điện tích

phân bố trong một miền giới nội.

- Tích phân lấy theo mặt S’’ bao toàn không gian có trường điện

và mặt S bao mặt S’ có phân bố điện tích tự do mặt.

' dS dS

D dV

)

D

(

div

' dS ) D D ( n ' dS D ' dS D dS

D

' S S

V

' S

1 2 '

S 1 '

S

2 S

∫

ϕσ

−

= ϕ

− ϕ

= ϕ

− ϕ

=

ϕ



- Tích phân lấy theo mặt S khi đến giới hạn S co sát S’, được tách

thành 2 tích phân:

' dS 2

1 dV 2

1 W

' S '

V

e = ∫ϕρ + ∫ϕσ

⇒

- Nếu trường điện tạo bởi hệ thống gồm n vật dẫn mang điện q 1 ,

q 2 ,…, q n thì năng lượng của hệ thống vật dẫn mang điện là:

k n

k S k k '

S

W

k

∑ ∫

=

1 2

1

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	86,14 KB