Tài liệu TRƯỜNG ĐIỆN TỪ docx

Nếu đã biết một nghiệm riêng y1x của phương trình vi phân từ phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1x bằng cách đặt y2x = y1x.ux Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nh

Tài liệu

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

Mục lục

TRƯỜNG ĐIỆN TỪ - ELECTROMAGNETIC FIELD THEORY

Số tiết: 45 Tài liệu tham khảo

1 Kiều Khắc Lâu, LÝ THUYẾT TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, GD, 2006

2 Ngô Nhật Ảnh, TRƯỜNG ĐIỆN TỪ, ĐHBK TPHCM, 1995

3 Nguyễn Hoàng Phương, GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT TRƯỜNG, GD, 1978

Chương 0 MỘT SỐ CÔNG THỨC TOÁN HỌC

z y

b b b

a a a

k j i

, x

3 Gradient

z

U k y

U j x

U i U gradU

∂

∂ +

∂

∂ +

a y

a x

a a a

∂

∂ +

∂

∂ +

a k x

a z

a j z

a y

a i a a

ax y z

k j i a a

z y x

e

e z = x + iy = x +

Hàm mũ là một hàm tuần hoàn có chu kì là 2πi Thực vậy, ta có

1 k sin i k cos

e k π i = π + π =

Suy ra

z i k z i k

e + π = π =

Công thức Euler

eiy = cosy +isiny

Khi đó số phức z = r ei ϕ = r(cosϕ +isinϕ)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

) x ( y a y a

Trong đó:

a1, a2 và f(x) là các hàm của biến độc lập x

f(x) = 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất

f(x) ≠ 0 ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất

a1, a2≡ const ⇒ (1) gọi là phương trình tuyến tính có hệ số không đổi

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

0 y a y a

a1, a2 là các hàm của biến x

Định lí 1 Nếu y1 = y1(x) và y2 = y2(x) là 2 nghiệm của (2) thì y = C1y1 + C2y2

(trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) cũng là nghiệm của phương trình ấy

Hai hàm y 1 (x) và y 2 (x) là độc lập tuyến tính khi ( )

( )x consty

x y 2

1 ≠ , ngược lại là phụ

thuộc tuyến tính

Định lí 2 Nếu y1(x) và y2(x) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất (2) thì y = C1y1 + C2y2 (trong đó C1, C2 là 2 hằng số tuỳ ý) là nghiệm tổng quát của phương trình ấy

Định lí 3 Nếu đã biết một nghiệm riêng y1(x) của phương trình vi phân từ

phương trình đó, độc lập tuyến tính với y1(x) bằng cách đặt y2(x) = y1(x).u(x)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất

Phương trình vi phân từ trường cấp hai là phương trình bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm của nó:

) x ( f y a y a

Trong đó:

a1 và a2 là các hàm của biến độc lập x; f(x) ≠ 0

Định lí 1 Nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (3) bằng

nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2) tương ứng và một nghiệm riêng nào đó của phương trình không thuần nhất (3)

Định lí 2 Cho phương trình không thuần nhất

) x ( f ) x ( f y a y a

Nếu y1(x) là nghiệm riêng của phương trình

) x ( f y a y a

và y2(x) là nghiệm riêng của phương trình

) x ( f y a y a

thì y(x) = y1(x) + y2(x) cũng là nghiệm riêng của phương trình (4)

Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số không đổi

Phương trình vi phân từ trường cấp hai thuần nhất có dạng:

0 qy y p

phân (7) Phương trình (11) gọi là phương trình đặc trưng của phương trình vi

y

y k k x 2

1 = 1 − 2 ≠

(13)

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (7) là

x k 2

x 1 2

1 y C e 1 C e 2y

( ) x

2 1

x 2

x 1

1 1

1 C xe C C x e e

x i x x i 1

e e e

y

e e e

y

β α β α

•

β α β α

x sin i x cos e

x sin i x cos e

x i

x i

β

− β

=

β + β

=

β

β

(17)Suy ra

(cos x i sin x)

e e

e y

x sin i x cos e e e y

x x i x 2

x x i x 1

β

− β

=

=

β + β

=

=

α β α

•

α β α

•

(18)Nếu y•1 và y•2 là 2 nghiệm của phương trình vi phân (7) thì các hàm

x sin e i 2

y y y

x cos e 2

y y y

x 2 1 2

x 2 1 1

tg y

Chương 1 CÁC ĐỊNH LUẬT

VÀ NGUYÊN LÍ CƠ BẢN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.1 Các đại lượng đặc trưng cho trường điện từ

1.1.1 Vector cường độ điện trường

trường

E q

Hay:

q

F E

0 r

r 4

Qq F

- ε - độ điện thẩm tương đối

- r 0 - vector đơn vị chỉ phương

n 1

r q 4

1 E

- các vector đơn vị chỉ phương

∫ρ πεε

=

l

2 l 0 l

r

r dl 4

1 E



∫ρ πεε

=

S

2 S 0 S

r

r dS 4

1 E



∫ρ πεε

=

V 0 V

r

r dV 4

1 E

động hay dòng điện theo định luật Lorentz

B v q

d 02  

× π





1.1.4 Vector cường độ từ trường

dụng vector cường độ từ trường H

0

B H

µµ

=



1.2 Định luật Ohm và định luật bảo toàn điện tích

1.2.1 Định luật Ohm dạng vi phân

• Cường độ dòng điện I chạy qua mặt S đặt vuông góc với nó bằng lượng điện tích q chuyển qua mặt S trong một đơn vị thời gian

dt

dq

Dấu trừ chỉ dòng điện I được xem là dương khi q giảm

điện, người ta đưa ra khái niệm mật độ dòng điện

E v v e n



σ

= ρ

S

S d E S

d J dI

EL )(

L ( ES EdS

I

S

= σ

= σ

= σ

= σ

σ - điện dẫn suất có đơn vị là 1/Ωm

1.2.2 Định luật bảo toàn điện tích

• Điện tích có thể phân bố liên tục hay gián đoạn, không tự sinh ra và cũng không tự mất đi, dịch chuyển từ vùng này sang vùng khác và tạo nên dòng điện.

tích giảm đi từ thể tích V đó

∫ρ

= V

d dt

S d J

dV t S

S

dV t dV

J S

∂

ρ

∂ +

Đây là dạng vi phân của định luật bảo toàn điện tích hay phương trình liên

tục.

1.3 Các đặc trưng cơ bản của môi trường

• Các đặc trưng cơ bản của môi trường: ε, µ, σ

E

µ µ

= 0

B H



gọi là các phương trình vật chất

• ε, µ, σ∉ cường độ trường : môi trường tuyến tính

• ε, µ, σ≡ const : môi trường đồng nhất và đẳng hướng

• ε, µ, σ theo các hướng khác nhau có giá trị không đổi khác nhau: môi trường

số Chẳng hạn ferrite bị từ hoá hoặc plasma bị từ hoá là các môi trường không đẳng hướng khi truyền sóng điện từ

• ε, µ, σ∈ vị trí : môi trường không đồng nhất

Trong tự nhiên đa số các chất có ε > 1 và là môi trường tuyến tính

Xecnhec có ε >> 1 : môi trường phi tuyến

µ > 1 : chất thuận từ : các kim loại kiềm, Al, NO, Phương trình, O, N, không khí, ebonic, các nguyên tố đất hiếm

µ < 1 : chất nghịch từ : các khí hiếm, các ion như Na+, Cl- có các lớp electron giống như khí hiếm, và các chất khác như Pb, Zn, Si, Ge, S, CO2, H2O, thuỷ tinh, đa số các hợp chất hữu cơ

µ >> 1 : chất sắt từ : môi trường phi tuyến : Fe, Ni, Co, Gd, hợp kim các nguyên tố sắt từ hoặc không sắt từ Fe-Ni, Fe-Ni-Al Độ từ hoá của chất sắt từ lớn hơn độ từ hoá của chất nghịch từ và thuận từ hàng trăm triệu lần

điện hay điện môi

Chất dẫn điện: σ > 104 1/Ωm, σ = ∞ : chất dẫn điện lý tưởng

Chất bán dẫn: 10-10 < σ < 104

Chất cách điện: σ < 10-10, σ = 0 : điện môi lý tưởng

Không khí là điện môi lý tưởng: ε = µ = 1, σ = 0

1.4 Định lí Ostrogradski-Gauss đối với điện trường

xác định bởi tích phân

=

Φ S

S

d : vi phân diện tích theo hướng pháp tuyến ngoài

dS.cos(D,dS) : hình chiếu của S lên phương D

• Xét một mặt kín S bao quanh điện tích điểm q, tính thông lượng của D do q tạo ra qua mặt kín S, ta có

π

= π

4

S d , D cos dS q S d D

dΩ là vi phân góc khối từ điện tích q nhìn toàn bộ diện tích dS

Thông lượng của D qua toàn mặt kín S là

q d 4

q S d D

S

= Ω π

toàn mặt S dưới một góc khối nào đó Mặt S có thể chia thành 2 nửa S và S' (có giao tuyến là AB) Pháp tuyến ngoài của S và S' sẽ có chiều ngược nhau

Do đó tích phân trên S và S' có cùng giá trị nhưng trái dấu Khi đó thông lượng của D qua toàn mặt kín S bằng 0

• Xét hệ điện tích điểm q1, q2, , qn đặt trong mặt kín S, ta có

∑

=

= n1

i S iS

đại số các điện tích nằm trong thể tích V được bao quanh bởi S

Lưu ý: Vì Q là tổng đại số các điện tích q1, q2, , qn, do đó Φ có thể âm hoặc dương

• Nếu trong thể tích V được bao quanh bởi S có mật độ điện khối ρ thì Φ được tính theo

Q dV S

d D

V S

Các công thức (1.30) và (1.31) là dạng toán học của định lí Gauss đối với điện trường

Ostrogradski-Nguyên lý liên tục của từ thông

dòng điện hay nam châm Tìm biểu thức toán học biểu diễn cho tính chất này

lượng của B qua mặt kín S bằng tổng số các đường sức từ đi qua mặt S này

Do đường sức từ khép kín nên số đường sức từ đi vào thể tích V bằng số

đường sức từ đi ra khỏi thể tích V đó Vì vậy thông lượng của B được tính theo

0 S d B

1.5 Luận điểm thứ nhất - Phương trình Maxwell-Faraday

Khi đặt vòng dây kín trong một từ trường biến thiên thì trong vòng dây này

là chiều của dòng điện cảm ứng đó

Thí nghiệm với các vòng dây làm bằng các chất khác nhau, trong điều kiện nhiệt độ khác nhau đều có kết quả tương tự Chứng tỏ vòng dây dẫn không phải

là nguyên nhân gây ra điện trường mà chỉ là phương tiện giúp chỉ ra sự có mặt của điện trường đó Điện trường này cũng không phải là điện trường tĩnh vì đường sức của điện trường tĩnh là đường cong hở Điện trường tĩnh không làm cho hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện được (vì hoá ra trong điện trường tĩnh không cần tốn công mà vẫn sinh ra năng lượng điện !)

Muốn cho các hạt điện dịch chuyển theo đường cong kín để tạo thành dòng điện thì công phải khác 0, có nghĩa là

0 l d E q

Thiết lập phương trình Maxwell-Faraday:

Theo định luật cảm ứng điện từ của Faraday, sức điện động cảm ứng xh trong một vòng dây kim loại kín về trị số bằng tốc độ biến thiên của từ thông đi qua diện tích của vòng dây

S d

S

t

B S

d dt

B d S

d B dt

d dt

S d t

B l

Vậy: Lưu số của vector cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo thời gian của từ thông gửi qua diện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)

∫

S l

S d E l

1.6 Luận điểm thứ hai - Phương trình Maxwell-Ampere

Theo luận điểm I, từ trường biến thiên theo thời gian sinh ra điện trường xoáy Vậy ngược lại điện trường biến thiên có sinh ra từ trường không ? Để đảm bảo tính đối xứng trong mối liện hệ giữa điện trường và từ trường, Maxwell đưa ra luận điểm II:

Bất kì một điện trường nào biến thiên theo thời gian cũng tạo ra một từ trường

(Đã chứng minh bằng thực nghiệm)

Lưu ý: điện trường nói chung có thể không p.bố đồng đều trong không gian, có nghĩa là thay đổi từ điểm này sang điểm khác, nhưng theo luận điểm II

sự biến thiên của điện trường theo không gian không tạo ra từ trường, chỉ có

sự biến thiên của điện trường theo thời gian mới tạo ra từ trường.

Thiết lập phương trình Maxwell-Ampere:

Theo nguyên lí tác dụng từ của dòng điện và định luật Biot-Savart-Laplace, Ampere phát biểu định luật dòng điện toàn phần:

Lưu số của vector cường độ từ trường H dọc theo một đường cong kín bất

kì bằng tổng đại số các dòng điện đi qua diện tích bao bởi đường cong này

I I l d

1

i il

=

=∑

Dòng điện I đi qua diện tích S có thể phân bố liên tục hoặc gián đoạn

Nếu dòng điện qua mặt S có phân bố liên tục với mật độ dòng điện J thì

∫

S l

S d J l d

Định luật dòng điện toàn phần cũng là một phương trình cơ bản của trường điện từ

Khái niệm về dòng điện dịch

Căn cứ vào định luật cảm ứng điện từ của Faraday và định luật dòng điện toàn phần của Ampere, Maxwell bằng lý thuyết đã chỉ ra sự tác dụng tương hỗ giữa đt và từ trường cùng với việc đưa ra khái niệm mới về dòng điện dịch Dòng điện dịch có mật độ được tính theo công thức

dP 0 0

t

P t

E t

∂

∂ ε

qua tụ Dòng điện này chính là dòng điện dịch trong chân không vì giữa 2 bản

tụ không tồn tại điện tích chuyển động và có giá trị:

t

E S

I 0 0

∂

∂ ε

′

=



(1.44)Theo định luật Gauss

S E S d E

d

S

′

=

Đối với môi trường chân không, ta có: ε = 1

Dòng điện dẫn chạy trong dây dẫn nối với tụ có giá trị bằng

t

E S S d E dt

d dt

′

= ε

-q

E 

~

Vậy: dòng điện dịch chạy giữa 2 bản tụ bằng dòng điện dẫn chạy ở mạch ngoài tụ điện.

Bằng cách bổ sung dòng điện dịch vào vế phải của phương trình (1.42), ta có

(bổ sung được vì về khía cạnh tạo ra từ trường dòng điện dịch tương đương dòng điện dẫn)

∫

∫

S S

l

S d t

D S

d J l d

= S l

S d t

D J l

Đây là phương trình Maxwell-Ampere dưới dạng tích phân

Theo giải tích vector (công thức Green-Stock)

∫

S l

S d H l

D J

=

×

Vậy: dòng điện dịch hay điện trường biến thiên theo thời gian cũng tạo ra

từ trường như dòng điện dẫn

1.7 Trường điện từ và hệ phương trình Maxwell

Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên theo thời gian tạo ra điện trường xoáy, và ngược lại điện trường biến thiên theo thời gian tạo ra từ

trường Vậy trong không gian điện trường và từ trường có thể đồng thời tồn tại

và có liên hệ chặt chẽ với nhau

Điện trường và từ trường đồng thời tồn tại trong không gian tạo thành một trường thống nhất gọi là trường điện từ

Trường điện từ là một dạng vật chất đặc trưng cho sự tương tác giữa các hạt mang điện

S d t

B l

= S l

S d t

D J l d

∂

∂ +

Diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell: điện trường biến thiên cũng sinh

ra từ trường như dòng điện dẫn.

- Định lí OG đối với điện trường

Dạng tích phân

q S d D S

=

V S

dV D S d

D   và =∫ρ

V dV

Dạng vi phân

Dạng vi phân

0 B =

Diễn tả tính khép kín của các đường sức từ trường: trường không có nguồn

Các phương trình (1.54), (1.56), (1.58), (1.60) gọi là hệ phương trình Maxwell

t

B E

∂

∂ +

∇ 

- Hệ phương trình Maxwell với nguồn ngoài

Trong lí thuyết anten bức xạ điện từ phát ra từ nguồn và đi vào không gian Dòng điện trong anten là nguồn bức xạ điện từ Nguồn dòng điện này độc lập với môi trường và không chịu ảnh hưởng của trường do nó tạo ra, gọi là nguồn ngoài Các nguồn ngoài có bản chất điện hoặc không điện Để đặc trưng cho

Đ.luật Ohm dạng vi phân:

=

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (1.61) chỉ mô tả trường điện từ tại

những điểm trong không gian không tồn tại nguồn ngoài của trường hay trường

điện từ tự do Khi có nguồn ngoài hệ phương trình Maxwell được viết lại

t

B E

D J

J

∂

∂ + +

∇

Trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng có ε, µ và σ, tức là

môi trường điện môi: D = εε0E

môi trường dẫn điện: J= σ E

môi trường từ hoá: B = µµ0H, ta có

E

∂

∂ εε + + σ

∇ 

- Nguyên lí đổi lẫn của hệ phương trình Maxwell

dẫn, không điện tích tự do và nguồn ngoài J =JO = ρ = 0

∇ 0 H =

∇ 

Nhận xét: E và H đối xứng và có thể đổi lẫn cho nhau

xứng, cần phải đưa thêm 2 đại lượng hình thức

H J

∂

∂ µµ

∂

∂ εε +

µµ

ρ

=

∇ 

Ứng dụng: nếu kết quả bài toán cho một nguồn điện (nguồn từ) đã biết, thì

sử dụng nguyên lý đổi lẫn để xác định kết quả bài toán cho một nguồn từ (nguồn điện), mà không cần phải giải cả hai

- Hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ điều hoà

biểu diễn dưới dạng phức, ta có

i mx m

E

E• = • ω ; i t

m e H

H• = • ω ; i t

m e J

J• =• ω

0 H =

∇ •

1.8 Điều kiện biên đối với các vector của trường điện từ

Xét hai môi trường 1 và 2 có mặt phân cách S, xét tính liên tục hoặc gián

đoạn của các vector của trường điện từ và đã xác định được

- đối với thành phần pháp tuyến của điện trường

n E

1 D

n H

1 B

(1.73)

- Trường hợp đặc biệt môi trường 1 là điện môi và môi trường 2 là vật dẫn

lí tưởng có σ2 = ∞ Trong vật dẫn lí tưởng trường điện từ không tồn tại, có nghĩa

là E2 = H2 = 0

Thực vậy, nếu vật dẫn lí tưởng tồn tại trường điện từ E2; H2 ≠ 0 thì dưới tác dụng của trường các điện tích tự do sẽ phân bố lại điện tích trên bề mặt của nó cho đến khi trường phụ do chúng tạo ra triệt tiêu với trường ban đầu và kết quả trường tổng hợp trong vật dẫn lý tưởng bằng 0 Trên bề mặt S của vật dẫn lí tưởng có dòng điện mặt và điện tích mặt tồn tại trong một lớp mỏng vô hạn

1.9 Năng lượng trường điện từ - Định lí Umov Poynting

- Năng lượng của trường điện từ

2

2

H 2

E

- Định lí Umov Poynting

Đã chứng minh được

O t S

P P dt

dW S

dV E dV

Phát biểu: Tổng các độ biến đổi năng lượng trường điện từ, công suất tổn hao nhiệt và công suất nguồn ngoài trong thể tích V bằng thông lượng của vector Poynting qua mặt kín S bao thể tích V đó

Vector Poynting Π biểu thị sự dịch chuyển năng lượng của trường điện từ

1.10 Định lí nghiệm duy nhất

Hệ phương trình Maxwell có nghiệm duy nhất khi trường điện từ thoả mãn các điều kiện sau

1 Biết các vector cđ điện trường và từ trường tại thời điểm t0 = 0 ở tại bất

kì điểm nào trong vùng không gian khảo sát hay còn gọi là điều kiện ban đầu, tức là

Nhận xét: Định lí nghiệm duy nhất có ý nghĩa quan trọng vì bằng cách nào

đó ta nhận được nghiệm của hệ phương trình Maxwell và nếu nó thoả mãn các điều kiện trên thì nghiệm nhận được là duy nhất

m 1 m 2 E m 2 m 1 E m 1 m 2 m

2 m 1

H J H J

E J E J H

E H

E

1 m 2 E m 2 m 1 E

S

m 1 m 2 m

2 m 1

dV H J H J E

J E J

dS H

E H

0 dV H J H J E

J E J

V

m 1 m 2 M m 2 m 1 M m

1 m 2 E m 2 m 1

Giả sử trong môi trường đồng nhất và đẳng hướng, nguồn điện và từ 1 phân

chia thành 3 miền V1, V2 và miền còn lại Tuy nhiên tích phân trong miền còn lại bằng 0 vì miền này không tồn tại nguồn cho nên phương trình (1.80) được viết lại

m 1 m 2 M m 1 m 2 E 1

V

m 2 m 1 M m 2 m 1

Tham số hoá các đại lượng của trường điện từ

6 6 5

5 4

4 M 3 3 E 2 2 1

4 3 2

E

∂

∂ εε + + σ

∂

∂ µµ

Ta được

3 3 6

2 2 1

a

a c c

a

a c a c a

c

α

α σα

= ;

6

5 2 2

c

α

α εα

= ;

1

5 3 3

c

α

α α

= ;

2

5 4 4

c

α

α α

= ;

6 2

5 1 5

c

α α

α µα

Chương 2 TÍCH PHÂN CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

2.1 Phương trình sóng đối với các vector cường độ trường

Lưu ý:

- ε là độ điện thẩm tỉ đối đối với môi trường

- µ là độ từ thẩm tỉ đối đối với môi trường

E

∂

∂ εε + + σ

∂

∂ µµ

µµ

ρ

=

Nhận xét: Các phương trình (1) và (2) bao gồm E, H và các nguồn điện và

từ nên khó giải Vì vậy cần đưa chúng về dạng đơn giản hơn

Lấy rot 2 vế của các phương trình (1) và (2)

t J

E H

H

×

∇ +

×

∇ σ

E E

0 2

2 0 0

t

J 1

J t

H t

∂

∂ εε + ρ

∇ µµ +

−

∂

∂ µµ εε

−

J 1

J t

E t

E

0 0

M 0

2

2 0 0

2

∂

∂ µµ + ρ

∇ εε +

−

∂

∂ µµ εε

và điện môi lí tưởng σ = 0, ta có

0 t

H

2 0 0

∂

∂ µµ εε

E

2 0 0

∂

∂ µµ εε

2.2 Phương trình cho các thế điện động

Nhận xét: hệ phương trình Maxwell (2.1) là tuyến tính, các nguồn điện và

từ thường được kích thích riêng rẽ và độc lập với nhau

2.2.1 Đối với nguồn điện

Maxwell (2.1) được viết lại

t

E J

∂

∂ εε +

=

Đưa (2.6) vào (2) của hệ phương trình (2.5) ta được

0 t

A và ϕE được gọi chung là các thế điện động của nguồn điện

Như vậy: H và E được biểu diễn qua AEvà ϕE theo các công thức (2.6) và (2.8) tương ứng

Tìm AEvà ϕE ?

Từ các công thức (2.6) và (2.8) thay H và E vào (1) của (2.5) ta có

E 0

E 0 0 E 2

E 2 0 0 E

t A

t

0 0

∂

ϕ

∂ µµ εε +

(2.11) còn gọi là hệ thức chuẩn

Phương trình sóng (2.10) được viết lại

E 0 2

E 2 0 0 E

−

Từ công thức (2.8) thay E vào (3) của (2.5) và áp dụng (2.11) ta có

0 2

E 2 0 0 E

− ϕ

Các phương trình (2.12) và (2.13) gọi là các phương trình sóng không thuần nhất hay các phương trình d’Alambert cho các thế điện động của trường điện từ đối với nguồn điện AEvà ϕE

2.2.2 Đối với nguồn từ

Hệ phương trình Maxwell (2.1) đối với nguồn từ trong điện môi lí tưởng σ

∂

∂ µµ

0

M

H

M 2 0 0 M

−

∇

0

M 2

M 2 0 0 M

− ϕ

0 t A

0 0

∂

ϕ

∂ µµ εε +

M

A và ϕM là các thế điện động đối với nguồn từ

Nếu trong môi trường điện môi lí tưởng tồn tại đồng thời cả nguồn điện và nguồn từ thì trường điện từ tổng hợp bằng chồng chất trường của nguồn điện và nguồn từ, có nghĩa là

2.2.3 Đối với trường điều hoà

Nếu các nguồn của trường biến thiên điều hoà theo thời gian với tần số góc

ω thì các phương trình sóng d’Alambert (2.12), (2.13) và (2.16) viết dưới dạng biên độ phức như sau

Em 0 2

Em

2 2 Em

t

A k

Em

2 2 Em

∇

•

•

Mm 0 2

Mm

2 2 Mm

t

A k

Mm

2 2 Mm

∇

•

•

Trong đó: k = ω εε0µµ0 là số sóng trong môi trường

(2.19) là các phương trình không thuần nhất, còn gọi là phương trình Hemholtz

Biểu thức của E và H có dạng

Em Mm

0

A i

− ω

A A

0

•

∇ µµ ωεε

=

Mm 0

0

•

∇ µµ ωεε

2.3 Phương trình sóng cho các vector Hertz

2.3.1 Vector Hertz điện

t

0 0

Γ

∂ µµ εε

=



Trong đó: ΓE gọi là vector Hertz điện

Thay (2.22) vào (2.6) ta được

=

×

∇ µµ

E

t

t

A E

∂

Γ

∂ µµ εε

− Γ

∇

∇

= ϕ

E 2 0 0 E

2 0

0 2

E 2 0 0 E

t t

− Γ

∇

∂

∂ µµ εε

=

∂

∂ µµ εε

−

Hay

E 0 2

E 2 0 0 E

t t

− Γ

− Γ

0

E 0 2

E 2 0 0 E

E J dt

E

P gọi là vector phân cực của nguồn điện

Phương trình (2.29) được viết lại

E 2

E 2 0 0 E

− Γ

Γ

∂ µµ εε

t

H

∂

Γ

∂ µµ εε

− Γ

M 2 0 0 M

t t

− Γ

− Γ

0

M 0 2

M 2 0 0 M

M J dt

M

P gọi là vector từ hoá của nguồn từ

(2.37) được viết lại

0

M 2

M 2 0 0 M

− Γ

∇





Như vậy: vector từ hoá PM là nguồn tạo ra vector Hertz từ ΓM Do đó ΓM

còn gọi là thế vector từ hoá

Nhận xét: E và H được biểu diễn qua vector Hertz điện ΓE hoặc vector Hertz từ ΓM đơn giản hơn phương pháp dùng các thế điện động

2.3.2 Trường loại điện và trường loại từ

Trường hợp các vector Hertz điện ΓE và vector Hertz từ ΓMchỉ có một thành phần Trong hệ toạ độ Decac các vector Hertz điện ΓE và vector Hertz từ

- Trường của nguồn điện (ứng với vector Hertz điện ΓE một thành phần) sẽ

có H theo phương z bằng 0 (Hz = 0), còn các thành phần khác của H nói chung khác 0 Trường điện từ loại này gọi là trường loại điện dọc E hay từ ngang TM

- Trường của nguồn từ (ứng với vector Hertz từ ΓM một thành phần) sẽ có

E theo phương z bằng 0 (Ez = 0), còn các thành phần khác của Enói chung khác

0 Trường điện từ loại này gọi là trường loại từ dọc H hay điện ngang TE

Như vậy: trong trường hợp tổng quát và điều kiện biên nhất định, trường điện từ có thể xem như tổng hợp của 2 loại trường: loại điện và loại từ

2.4 Tìm nghiệm của phương trình sóng

Nhận xét: áp dụng nguyên lí đối lẫn, việc tìm nghiệm của các phương trình d’ Alambert chỉ cần xác định E hoặc H Do đó có thể sử dụng một hàm vô hướng để đại diện cho ϕE và ϕM hoặc bất cứ thành phần nào trong hệ toạ độ Decac của ΓE, ΓM, AE và AM, phương trình d’ Alambert được viết lại

g

t 2

2 0 0

∂

ψ

∂ µµ εε

− ψ

g - hàm nguồn của trường phân bố trong thể tích V

Nghiệm của (2.42) bằng tổng nghiệm của phương trình sóng thuần nhất không vế phải và nghiệm riêng của phương trình sóng thuần nhất có vế phải, tức

là tìm nghiệm của phương trình sau

0

t 2

2 0 0

∂

ψ

∂ µµ εε

− ψ

∂

ψ

∂

= ψ

r r r

1 r r

2

2 2

2

Đặt φ = rψ ta có

0 t

2 0 0 2

v

r t f v

r t

Suy ra

r v

r t f r

v

r t

(2.47)

Trong đó:

0 0

1 v

µµ εε

mô tả sóng cầu hội tụ truyền từ vô cùng → nguồn

Điều kiện bức xạ tại vô cùng:

0 E ik t

E r lim

0 H ik t

H r lim

Vậy

r v

r t

(2.49)

sóng thuần nhất mà phải thoả mãn phương trình sóng d’ Alambert vì thế ta phải chọn dạng của f1 sao cho ψ là nghiệm của phương trình sóng d’ Alambert và phải thoả mãn trường ở trạng thái dừng

Ở trạng thái dừng, phương trình sóng d’ Alambert được viết lại

g 4

1 v

r t

=

ψ

V

dV r

v

r t r g 4

1 t r

(2.53)

Nhận xét: trường ở thời điểm t tại vị trí quan sát bằng giá trị của nguồn ở thời điểm t’ sớm hơn t một khoảng thời gian là

=

V

E 0

r v

r t r J 4 t r A

εε

= V

M 0

r v

r t r J 4 t r A

i ikr m v

r t i

g v

r t

r t i Em

v

r t

r t i Mm

v

r t

e t r g 4

1 t r

0

r

e t r J 4 t r A

ikr M

0

r

e t r J 4 t r A



2.5 Trường điện từ của lưỡng cực điện