Dau hieu chia het.doc

Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết A. phần mở đầu Lí do chọn đề tài: 1) Cơ sở khoa học +) Các bài toán về Dấu hiệu chia hết có vai trò quan trọng trong trơng trình toán THCS đặc biệt là phần tính chia hết trong tập hợp các số nguyên. +) Để giải các bài toán về Dấu hiệu chia hết đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt,sáng tạo các kiến thức và tính chất chia hết, luỹ thừa, phép chia còn d, kể cả môt số hằng đẳng thức cơ bản, số nguyên tố,. +)Giải các bài toán chia hết giúp học sinh phát triển t duy, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong giải toán đồng thời giáo dục ý thức tự giác, cẩn thận, lòng say mê học tập. 2) Cơ sở thực tiễn: +) Qua một số năm trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ở trờng THCS tôi thấy trong giảng dạy lý thuyết cũng nh giảng dạy các bài tập trong SGK ,trong sách bài tập và một số sách tham khảo khác nếu chỉ cốt tìm ra đáp số và dừng lại ở đó thì kiến thức thu đợc còn nhiều hạn chế . Còn giải ít bài tập nhng lại luôn suy nghĩ trên mỗi bài tập đó tìm tòi thêm cách giải khác, khai thác thêm những ý của bài toán và đề xuất thêm những bài tập tơng tự nh thế sẽ khắc sâu kiến thức nhanh nhất và đạt hiệu quả cao nhất trong học tập đặc biệt là trong các kỳ thi. +)Bài toán về dấu hiệu chia hết có mặt ở phần số học trong trơng trình toán THCS, ở các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn của THCS , vào các lớp chuyên toán của các trờng THPT . Giáo viên giảng dạy trên lớp chủ yếu tập chung vào các dấu hiệu chia hết cơ bản nh : Chia hết cho 2; 3; 5; 9 mà cha tập chung vào khai thác sâu các dấu hiệu chia hết khác,đặc biệt là các bài tập có tính chất phối hợp giữa các dấu hiệu chia hết và tính chất chia hết. +)Hiểu biết, nhận thức của học sinh về dạng toán này nhìn chung còn hạn chế, t tởng học sinh còn sợ khi gặp dạng toán này. Vì vậy việc nghiên cứu các dấu hiệu chia hết là một việc làm cần thiết góp phần nâng cao chất lợng dạy và học. II) Mục đích và nhiệm vụ: 1. Mục đích: Nghiên cứu các dấu hiệu chia hết trong trơng trình toán THCS giúp giáo viên nâng cao năng lực tự học tập nghiên cứu đồng thời mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phơng pháp giảng dạy tốt đạt hiệu quả cao nhất Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 1 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết 2. Nhiệm vụ: Thông qua việc nghiên cứu các dấu hiệu chia hết nhằm su tầm làm tài liệu cho giáo viên góp phần nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ. Thông qua hệ thống lý thuyết Hệ thống bài tập giúp giáo viên định hớng xác định trọng tâm trong việc bồi dỡng của mình, giúp cho học sinh có phơng pháp học tập đúng đắn. Thông qua chuyên đề này học sinh đợc củng cố lý thuyết và rèn kỹ năng khi làm bàigóp phần nâng cao chất lợng học tập, chất lợng thi học sinh giỏi và chất l- ợng thi vào các trờng chuyên, lớp chọn đạt kết quả tốt hơn. III) Phơng pháp nghiên cứu: Phơng pháp nghiên cứu qua các tài liệu tham khảo. Phơng pháp phân tích , tổng kết kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy, bồi dỡng học sinh giỏi. Kiểm tra kết quả: Dự giờ đồng nghiệp, kiểm tra chất lợng học sinh, điều tra trực tiếp thông qua các giờ học. IV) Phạm vi và đối tợng nghiên cứu: 1, Đối tợng nghiên cứu: Học sinh trờng THCS Hải Phúc- Hải Hậu Nam Định 2, Phạm vi nghiên cứu: Các dấu hiệu chia hết và tính chia hết trong chơng trình toán THCS. B Nội dung I)Dấu hiệu chia hết cho 2: 1. Lý thuyết: Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn thì chia hết cho 2 và chỉ những số đó mới chia hết cho 2: Tổng quát: A = 0 11n n a aaa 2 a 0 2 a 0 {0, 2, 4, 6, 8} 2. Ví dụ: a)Ví dụ 1: Chứng minh số A = n.(5n + 3) chia hết cho 2 với mọi n Z Giải: A = n.(5n + 3) Nếu n chắn => n chia hết cho 2 => A 2 Nếu n lẻ => (5n + 3) chia hết cho 2 => A 2 Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 2 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết Vậy A chia hết cho 2 với mọi n Z b) Ví dụ 2: Chứng minh rằng ba số tự nhiên bất kỳ, có ít nhất 2 số mà hiệu chia hết cho 2 Giải: Cách 1: Giả sử ba số tự nhiên bất kỳ là a, b, c ta chia ba số tự nhiên a, b, c cho 2. Có ba phép chia mà chỉ có hai số d do đó có ít nhất hai số tự nhiên khi chia cho 2 có cùng số d, khi đó hiệu của hai số đó chia hết cho 2 Cách 2: Giả sử ba số tự nhiên bất kỳ là a; b ; c và a > b > c +) Nếu cả ba số a; b ; c đều chẵn hoặc lẻ thì các hiệu a b; b c; a c đều là các số chẵn nên chúng đều chia hết cho 2. +) Nếu có hai số chẵn,Giả sử là a; b suy ra a - b 2 +) Nếu có hai số lẻ. Giả sử là b; c suy ra b c 2 Vậy trong ba số tự nhiên a; b ; c luôn luôn có ít nhất hai số mà hiệu chia hết cho 2 c) Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì (n + 1)( n + 2)(n + 3).(2n) 2 n Giải: Đặt A = (n + 1)( n + 2)2n Ta có A = 1.2.3 n )3) (2n 2)(n 1)(nn1.2.3 n( +++ A = 1.2.3 n n]2.4.6 2 [ 1)]2n[1.3.5 ( A = 1.2.3 n .3 n n 1)2(2n 1.3.5 2.1. A = 1.3.5(2n 1). 2 n Suy ra A 2 n Vậy (n + 1)( n + 2)(n + 3).(2n) 2 n với mọi số nguyên dơng n Nhận xét: Với bài tập trên ta có thể chứng minh đợc (n + 1)( n + 2)(n + 3).(2n) chia hêt cho 1.3.5(2n - 1) II) Dấu hiệu chia hết cho 5: Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 3 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết 1) Lý thuyết: Các số có tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hết cho 5 Tổng quát: A = 0 11n n a aaa 5 a 0 5 a 0 {0; 5} 2.Ví dụ a) Ví dụ 1: ( Bài 76 ncft Toán 6) Ch A = 13! 11 ! Hỏi A có chia hết cho 5 không ? Giải: Có A = 13.12.11.2.1 11.10.9.2.1 A = 11! (13.12 1) A = 11! ( 156 1) A = 11! . 155 Vì 155 5 nên 11! . 155 5 hay A chia hết cho 5 +) Nhận xét: Với bài tập trên ta còn chỉ ra đợc A 11! ; A 2 ; A 31 b)Ví dụ 2(Bài 10 Toán nâng cao và các chuyên đề Toán 7) Cho đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d với các hệ số a; b; c; d là số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi x thì các hệ số a ; b ;c ;d cũng chia hết cho 5. Giải Vì đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d chia hết cho 5 với mọi x do đó P(0) = d thì chia hết cho 5 P(1) = a + b + c + d chia hết cho 5 P(-1) = - a + b c + d chia hết cho 5 Từ hai điều kiện trên suy ra b + d chia hết cho 5 mà d 5 nên b 5 P(2) = 8a+ 4b + 2c + d chia hết cho 5 mà d 5 ; b 5 nên 8a + 2c chia hết cho 5 Từ (a + b + c + d) 5 và (- a + b c + d) 5 ta lại có 2a + 2c chia hết cho 5 Vì thế 8a + 2c (2a + 2c) = 6a chia hết cho 5 mà (6, 5) = 1 nên a 5 từ đó ta lại có c 5 Vậy mọi hệ số a; b; c; d đều chia hết cho 5 Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 4 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết c)Ví dụ 3: (bài 34 toán chọn lọc cấp II tập 2) Tìm một số tự nhiên n, biết rằng n 2 + 1 chia hết cho 5 Giải Số tự nhiên n có một trong các dạng sau: 5k; 5k + 1; 5k + 2;5k + 3; 5k + 4 ( với k N) +) Khi n = 5k thì n 2 + 1 = (5k) 2 + 1 = 25k 2 + 1 không chia hết cho 5 +) khi n = 5k + 1 thì n 2 + 1 = (5k + 1) 2 + 1 = 25k 2 +10k +1 +1 = 25 k 2 +10k +2 không chia hết cho 5 +) Khi n = 5k + 2 thì n 2 + 1 = ( 5k + 2) 2 +1 = 25k 2 + 20k + 4 + 1 = 5( 5k 2 + 4k + 1) chia hết cho 5 +) Khi n = 5k + 3 thì n 2 + 1 = (5k + 3) 2 + 1= 25k 2 + 30k + 10 = 5(5k 2 + 6k + 2) chia hết cho 5 +) Khi n = 5k + 4 thì n 2 + 1 = ( 5k + 4) 2 + 1 = 25k 2 + 40k + 16 +1 = 25k 2 + 40k +17 không chia hết cho 5 Vậy n 2 + 1 chia hết cho 5 khi n = 5k +2 hoặc n = 5k + 3 (với k N) Từ kết quả bài tập trên ta có n 2 5 n 5 ; n 2 5 n 5, số d của phép chia n 2 cho 5 là 0 ; 1 hoặc 4 *Nhận xét: +) Một số chia hết cho cả 2 và 5 khi có tận cùng bằng 0 Tổng quát: : A = 0 11n n a aaa chia hết cho cả 2 và 5 khi và chỉ khi a 0 = 0 +) Ví dụ : Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho cả 2 và 5 Giải Số chia hết cho cả 2 và 5 phải có tận cùng bằng 0. từ 1 dến 10 chỉ có 1 số nh vậy đó là 10. Vì vậy từ 1 đến 100 có cả thảy 1.10 = 10 (số chia hết cho cả 2 và 5) Với bài tập trên ta có thể đặt thêm các câu hỏi từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2; cho 5 ; cho 3: cho 9 ; cho cả 2; 3; 5; 9 Ngoài ra ta còn có thể xét với các số từ 1 đến 1000, III)Dấu hiệu chia hết cho 3 1.Lý thuyết: Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mới chia hết cho 3 Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 5 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết Tổng quát: A = 0 11n n a aaa A 3 a n +a n 1 + + a 1 + a 0 3 2)Ví dụ a)Ví dụ 1: Tìm các chữ số m; n sao cho m n = 6 và 175 nm chia hết cho 3 Giải: Theo đầu bài ta có 175 nm 3 ( 5 + m + 7 + n + 1) 3 (12 + 1 + m + n) 3 (1 + m + n) 3 (vì 12 3) (1) Vì m n = 6 mà m, n là các chữ số nên 6 m 9 0 n 3 => 6 m + n 12 (2) Vì m n là số chẵn nên m + n là số chẵn (3) Từ (1) và (2) suy ra m + n {6; 8 ; 10; 12} Kết hợp với (1) suy ra m + n {8} Ta có = =+ 6 8 nm nm => = = 7 1 m n Vậy m = 7 và n = 1 b)Ví dụ 2: ( Toán tuổi thơ số 20) Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, chỉ đợc viết bởi các chữ số 0; 1 ;2 và không lớn hơn 2004 Giải Trớc hết ta viết thêm những chữ số 0 vào phía trớc của các số thoả mãn yêu cầu đề bài chúng đều có dạng abcd trong đó a, b, c, d chỉ đợc viết bởi các số 1, 0 , 2 việc này không làm thay đổi giá trị cũng nh tính chất chia hết cho 3 của các số đó Rõ ràng nếu b; c ;d đợc xác định thì a cũng đợc xác định duy nhất để abcd chia hết cho 3 ( nếu x là số d của tổngb + c + d khi chia cho 3 thì a = 0 nếu x = 0 hoặc a = 3 x nếu a 0 Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 6 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết Có ba cách chọn mỗi chữ số b; c; d trong các chữ số 0; 1 ; 2 nên sẽ có 3 ì 3 ì 3 =27 cách chọn các số abcd Vì khi chọn a trong các chữ số 0; 1; 2 thì các chữ số 0; 1; 2 có vai trò nh nhau nên sẽ có 27 : 3 = 9 cách chọn số 2bcd trong các số này chỉ có duy nhất 2001 < 2004 Vậy số tự nhiên chia hết cho 3 chỉ đợc viết bởi các chữ số 0; 1; 2 và không lớn hơn 2004 là 27 9 + 1 = 19 số. Dựa vào quy luật trên ta có: 0000 2001 1002 2010 1011 0012 1020 0021 2022 2100 1101 0102 1110 0111 2112 0120 2111 1122 1200 0201 2202 0210 2211 1212 2220 1221 0222 (các số ghạch chân là những số lớn hơn 2004) Có 19 số thoả mãn điều kiện đề bài là: 0; 12; 21; 102; 111; 120; 201; 210; 222; 1002; 1011; 1020; 1101; 1110; 1122; 1200; 1212; 1221; 2001 b) Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: 3 n + 3 +3 n + 1 +2 n + 3 +2 n + 2 chia hết cho 6 Giải: Ta có 3 n + 3 +3 n + 1 +2 n + 3 +2 n + 2 = 3 n + 1 (3 2 + 1) + 2 n +2 (2 + 1) = 3 n + 1 .10 +3.2 n + 2 = 2. 5. 3 n + 1 + 3.2 n + 2 Rõ ràng mỗi số hạng của tổng đều có một thừa số chia hết cho 2, một thừa số chia hết cho 3 nên chia hết cho 6 Vậy 3 n + 3 +3 n + 1 +2 n + 3 +2 n + 2 chia hết cho 6 IV)Dấu hiệu chia hết cho 9 1)Lý thuyết: Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 7 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết +)Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mới chia hết cho 9 +) Tổng quát: A = 0 11n n a aaa A 9 a n +a n 1 + + a 1 + a 0 9 2)Ví dụ a)Ví dụ 1: Tìm các số a và b biết b a = 2 và 782 ba chia hết cho 9 Giải Ta có 782 ba 9 (2 + a + 8 + b + 7) 9 8 + a + b 9 (1) Vì b a = 2 mà a, b là các chữ số nên 92 b 70 a => 162 + ab (2) Vì b a là số chẵn nên a + b là số chẵn (3) Từ (1) và (2) suy ra a + b {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16} Kết hợp với (1) suy ra a + b {10} Ta có = =+ 2 10 ab ba => = = 4 6 a b Vậy a = 4 và b = 6 ta có số 24867 b)Ví dụ 2: Biết rằng A = 654 ì 7 9 số 100ch 99 . . . 999 + 1965. Chứng minh rằng A chia hết cho 9 Giải Cách 1: phân tích biểu thức A ta có A = = 654 . 9 số ch 100 999 997 + 1965 A = 654 . ( 3 0 số ch 100 01000 ) +1965 A = 654 0 số ch 100 01000 - 1962 +1965 Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 8 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết A = 654 0 số ch 99 0000 3 Vì 6 + 5 + 4 + 3 = 18 chia hết cho 9 nên 654 0 số ch 99 0000 3 chia hết cho 9 Cách 2: Ta phân tích A theo cach khác A = = 654 ì 9 số 100ch 99 . . . 999 7+ 1965 A = 654 ì 19657 + số 100ch 999 99 A = 654 ì số ch 101 999 99 - 1308 + 1965 A = 654 ì số ch 101 999 99 +657 Ta thấy 654 ì số ch 101 999 99 và 657 đều chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9 Nh vậy kết quả bài toán trên hoàn toàn không phụ thuộc vào số chữ số 9 trong số 999.997 *)Nhận xét : +)Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho cả 3 và 9 +) A = 0 11n n a aaa chia hết cho cả 2; 5 ; 3; 9 khi và chỉ khi = +++ + 0 a 9 a aaa 0 011-nn Ví dụ 3 Thay các chữ a; b bởi các chữ số thích hợp để A = ba392 chia hết cho cả 2; 5; 3 và 9 Giải: Để A 2 và A 5 thì b = 0 khi đó A = 3092a Vì A = 3092a 9 nên (9 + 2 + a + 3 + 0) 9 => 5 + a 9 Mà a là chữ số nên 5 5 +a 14 Do đó 5 + a = 9 => a = 4 ta có số 92430 Ta có 92430 : 3 + 30810 Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 9 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết Vậy ta có số 92430 V)Dấu hiệu chia hết cho 4 ; cho 25 1)Lý thuyết: a)Một số chia hết cho 4 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4 b) Tổng quát: A = 0 11n n a aaa A 4 0 aa 1 4 b)Dấu hiệu chia hết cho 25: +)Một số chia hết cho 25 khi và chỉ khi hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 25 +)Tổng quát A = 0 11n n a aaa A 25 0 aa 1 25 2)Ví dụ a)Ví dụ 1: Biết N = dcba Chứng minh rằng N 4 khi và chỉ khi a + 2b 4 Giải Cần: Giả sử N = dcba 4 1000d + 100c +10b +a a 4 1000d +100c + 8b + 2b + a 4 4( 250d + 25c + 2b ) + (2b + a) 4 2a + b 4 Đủ Có N= dcba = 1000d + 100c + 10b + a = 1000d + 100c + 8b + 2b + a = 4(250d + 25c + 2b) +(2b + a) Vì 4(250d + 25c + 2b) 4 a 2bvà + 4 Nên 4(250d + 25c + 2b) +(2b + a) 4Nhay4 a) Ví dụ 2: Cho n số a 1 ; a 2 ; ; a n-1 ; a n mỗi số nhận giá trị - 1 hoặc 1 và a 1 a 2 + a 3 a 4 ++a n-1 a n + a n a 1 = 0 chứng minh rằng n chia hết cho 4 Lời giải: Vì mỗi số a 1 ; a 2 ; ; a n-1 ; a n bằng - 1 hoặc 1 Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 10 [...]... thừa số là 4 chia hết cho 4, một thừa số là k(k + 1) chia hết cho 2 => 4k(k + 1) chia hết cho 8 Hay 4k(k + 1) chia hết cho 8 +Hạng tử thứ hai là 8(k + 1) chia hết cho 8 +Hạng tử thứ ba là 2 không chia hết cho 8 Vậy n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 (đpcm) c Ví dụ 3: Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 12 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số, biết rằng một số chia hết cho... Đi rích lê phải tồn tại hai phép chia có cùng số d khi chia cho 3 thì hiệu hai số này chia hết cho 3 => A 3(1) +)Chứng minh A 4 Lấy 4 số nguyên a, b, c, d chia cho 4 ta đợc 4 phép chia nhận các số d có thể là 0, 1, 2, 3 Nếu tồn tại hai số khi chia cho 4 có cùng số d thì hiệu của chúng chia hết cho 4 => A 4 Nếu trong 4 số a, b, c, d không có số nào có cùng số d khi chia cho 4 thì phải có hai số chẵn... 2 cho 5 210 = 21.10 = 21.2.5 chia hết cho 2, cho 5 3130 = 313.10 = 313.2.5 chia hết cho 2; cho 5 Nhận xét: các số có tận cùng là 0đều chia hết cho 2 và cho 5 Hoạt động 2: Dấu hiệu chia hết cho 2 ( 10 ph) +Trong các số có một chữ số , số nào HS trả lời 0; 2 ;4; 6; 8; chia hết cho 2? n = 430 + * Xét số n = 43 * Thay dấu * bằng chữ số nào thì n chia 430 chia hết cho 2 Vậy n chia hết cho 2 n 2 hết cho... là o chia hết cho cả 2 và5 Hoạt động 6 : Hớng dẫn học ở nhà (3phút) -Học lý thuyết -Làm bài tập 94; 95; 97 -Gv hớng dẫn bài 97 Tự nghiên cứu đến các dạng bài tập lên quan đến Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 31 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết Mục Lục Mở đầu Nội dung Dấu hiệu chia hết cho 2 Dấu hiệu chia hết cho 5 Dấu hiệu chia hết cho 3 Dấu hiệu chia hết cho 9 Dấu hiệu chia. .. phép chia mà vẫn nhận biết đợc một số có hay không chia hết cho một số khác Có những dấu hiệu để nhận ra điều đó.Trong bài này ta xét dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 Ngời Thực Hiện 29 Trần Thị Hải Yến Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết +)Nhận xét mở đầu: GV : chia lớp thầnh hai dãy để tìm các số có tận cùng là 0 Xét xem số đó có chia hết cho 2, cho 5 không ? -Chọn vài ví dụ của HS 20 = 2.10 = 2.2.5 chia hết... số chục và bốn lần chữ số hàng đơn vị M = anan-1a1+ 4a0 Ta có 10M N = an an 1 a1.10 + 40a0 an an 1 a1.10 a0 =39 a0 chia hết cho 13 Từ đó nếu M chia hết cho 13 thì 10 M chia hết cho 13 Vậy N chia hết cho 13 Đảo lại:Nếu N chia hết cho 13 thì 10 M chia hết cho 13 mà ( 10,13)=1 nêm M chia hết cho 13 Cách 2: Giả sử số N đã cho gồm a chục và b đơn vị N = 10a + b ( a nguyên dơng; 0 b 9 ) Xét số M = a... một số chia hết cho 4 số kia chia hết cho 25 Lời giải: Gọi hai số tự nhiên liên tiếp phải tìm là n và n+1 ta xét 2 trờng hợp +Trờng hợp 1: n 4 và n+1 25 Vì n+1 là số có hai chữ số chia hết cho 25 nên n+1 { 25,50,75} khi đó n { 24, 49, 74} trong các số trên chỉ có 24 chia hết cho 4 Hai số phải tìm là 24; 25 + Trờng hợp 2: n+1 chia hết cho 4 và n chia hết cho 25 Vì n là số có hai chữ số và chia hết... ( k N ) => 2n = 2 (2k +1) = 4k + 2 không chia hết cho 4 => 2n không chia hết cho 4 khi đó 2n + 2 = 2(2k +1) +2 = 4k + 4 = 4 ( k + 1) 4 => 2n + 2 4 Vậy trong hai số chẵn liên tiếp có một số là bội của 4 VI Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125 1, Lí thuyết a.Dấu hiệu chia hết cho 8 +Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 8 +Tổng quát: N = a n a n 1... Rõ ràng ak(ak- 1)(ak+1) chia hết cho 6 Vậy a5k ak chia hết cho 6 -Nếu ak = 5m thì a5k ak 5 -Nếu ak = 5m+1 thì a2k 5 -Nếu ak = 5m+2 thì a2k 5 Nh vậy bao giờ cũng có a5k - ak 5 nên a5k ak 30 Ngời Thực Hiện Trần Thị Hải Yến 19 Chuyên đề: Dấu hiệu chia hết Hiệu p - s có đợc khi cho k nhận giá trị từ 1 đến n nh vậy p - s chia hết cho 30 Suy ra nếu s chia hết cho 30 thì p cũng chia hết cho 30 Bài 2:... (2n + 2 + 2n) = 3n(32 + 1) 2n(22 + 1) = 3n 10 2n 5 Ta nhận thấy số bị trừ và số trừ chia hết cho 10 nên hiệu chia hết cho 10 nghĩa là 3n + 2 2n + 2 + 3n 2n chia hết cho 10 (đpcm) 77 77 IX Dấu hiệu chia hết cho 11 a.Lí thuyết Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu của tổng các chữ số hàng lẻ và hàng chẵn chia hết cho 11 Tổng quát: A = a n a n 1 a5 a 4 a3 a 2 a1 a 0 A 11 [ ( a 0 + a 2 + a . aaaaaaaa nnnn + =39 a 0 chia hết cho 13 Từ đó nếu M chia hết cho 13 thì 10 M chia hết cho 13. Vậy N chia hết cho 13 Đảo lại:Nếu N chia hết cho 13 thì 10 M chia hết cho 13 mà ( 10,13)=1 nêm M chia hết cho. 4 chia hết cho 4, một thừa số là k(k + 1) chia hết cho 2 => 4k(k + 1) chia hết cho 8 Hay 4k(k + 1) chia hết cho 8 +Hạng tử thứ hai là 8(k + 1) chia hết cho 8 +Hạng tử thứ ba là 2 không chia. chia hết cho 5 P(-1) = - a + b c + d chia hết cho 5 Từ hai điều kiện trên suy ra b + d chia hết cho 5 mà d 5 nên b 5 P(2) = 8a+ 4b + 2c + d chia hết cho 5 mà d 5 ; b 5 nên 8a + 2c chia