Dau hieu chia het.doc

+ Qua một số năm trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ở trờng THCS tôi thấytrong giảng dạy lý thuyết cũng nh giảng dạy các bài tập trong SGK ,trong sáchbài tập và một số sách tham khảo khác n

+) Qua một số năm trực tiếp giảng dạy bộ môn toán ở trờng THCS tôi thấytrong giảng dạy lý thuyết cũng nh giảng dạy các bài tập trong SGK ,trong sáchbài tập và một số sách tham khảo khác nếu chỉ cốt tìm ra đáp số và dừng lại ở đóthì kiến thức thu đợc còn nhiều hạn chế Còn giải ít bài tập nhng lại luôn suynghĩ trên mỗi bài tập đó tìm tòi thêm cách giải khác, khai thác thêm những ý củabài toán và đề xuất thêm những bài tập tơng tự nh thế sẽ khắc sâu kiến thứcnhanh nhất và đạt hiệu quả cao nhất trong học tập đặc biệt là trong các kỳ thi.+)Bài toán về dấu hiệu chia hết có mặt ở phần số học trong trơng trình toánTHCS, ở các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn củaTHCS , vào các lớp chuyên toán của các trờng THPT

Giáo viên giảng dạy trên lớp chủ yếu tập chung vào các dấu hiệu chia hết cơbản nh : Chia hết cho 2; 3; 5; 9 mà cha tập chung vào khai thác sâu các dấu hiệuchia hết khác,đặc biệt là các bài tập có tính chất phối hợp giữa các dấu hiệu chiahết và tính chất chia hết

+)Hiểu biết, nhận thức của học sinh về dạng toán này nhìn chung còn hạn chế,

t tởng học sinh còn sợ khi gặp dạng toán này Vì vậy việc nghiên cứu các dấuhiệu chia hết là một việc làm cần thiết góp phần nâng cao chất lợng dạy và học.II) Mục đích và nhiệm vụ:

Nghiên cứu các dấu hiệu chia hết trong trơng trình toán THCS giúp giáo viênnâng cao năng lực tự học tập nghiên cứu đồng thời mở rộng, đào sâu và hoànthiện hiểu biết Từ đó có phơng pháp giảng dạy tốt đạt hiệu quả cao nhất

Ngời Thực Hiện 1

Thông qua chuyên đề này học sinh đợc củng cố lý thuyết và rèn kỹ năng khilàm bàigóp phần nâng cao chất lợng học tập, chất lợng thi học sinh giỏi và chất l-ợng thi vào các trờng chuyên, lớp chọn đạt kết quả tốt hơn.

III) Phơng pháp nghiên cứu:

Phơng pháp nghiên cứu qua các tài liệu tham khảo

Phơng pháp phân tích , tổng kết kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy, bồi dỡnghọc sinh giỏi

Kiểm tra kết quả: Dự giờ đồng nghiệp, kiểm tra chất lợng học sinh, điều tratrực tiếp thông qua các giờ học

IV) Phạm vi và đối tợng nghiên cứu:

Nếu n chắn => n chia hết cho 2 => A 2

Nếu n lẻ => (5n + 3) chia hết cho 2 => A 2

Ngời Thực Hiện 2

Vậy A chia hết cho 2 với mọi n ∈Z

b) Ví dụ 2:

Chứng minh rằng ba số tự nhiên bất kỳ, có ít nhất 2 số mà hiệu chia hết cho 2

Giải:

Cách 1:

Giả sử ba số tự nhiên bất kỳ là a, b, c ta chia ba số tự nhiên a, b, c cho 2 Có

ba phép chia mà chỉ có hai số d do đó có ít nhất hai số tự nhiên khi chia cho 2 cócùng số d, khi đó hiệu của hai số đó chia hết cho 2

Cách 2:

Giả sử ba số tự nhiên bất kỳ là a; b ; c và a > b > c

+) Nếu cả ba số a; b ; c đều chẵn hoặc lẻ thì các hiệu a – b; b – c; a – c đều

là các số chẵn nên chúng đều chia hết cho 2

+) Nếu có hai số chẵn,Giả sử là a; b suy ra a - b2

+) Nếu có hai số lẻ Giả sử là b; c suy ra b – c 2

Vậy trong ba số tự nhiên a; b ; c luôn luôn có ít nhất hai số mà hiệu chia hếtcho 2

1)(nn

1)]

2n[1.3.5 ( −

A =

1.2.3 n

.3 nn

1)2(2n1.3.5 − 1.2

A = 1.3.5…(2n – 1) 2n

Suy ra A  2n

Vậy (n + 1)( n + 2)(n + 3)….(2n) 2n với mọi số nguyên dơng n

• Nhận xét: Với bài tập trên ta có thể chứng minh đợc

(n + 1)( n + 2)(n + 3)….(2n) chia hêt cho 1.3.5…(2n - 1)

Ngời Thực Hiện 3

Ch A = 13! – 11 ! Hỏi A có chia hết cho 5 không ?

b)Ví dụ 2(Bài 10 Toán nâng cao và các chuyên đề Toán 7)

Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với các hệ số a; b; c; d là số nguyên.Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi x thì các hệ số a ; b ;c ;dcũng chia hết cho 5

Từ hai điều kiện trên suy ra b + d chia hết cho 5 mà d5 nên b 5

P(2) = 8a+ 4b + 2c + d chia hết cho 5 mà d5 ; b 5 nên 8a + 2c chia hếtcho 5

Từ (a + b + c + d)5 và (- a + b – c + d) 5 ta lại có 2a + 2c chia hết cho 5Vì thế 8a + 2c – (2a + 2c) = 6a chia hết cho 5 mà (6, 5) = 1 nên a  5 từ đó talại có c 5

Vậy mọi hệ số a; b; c; d đều chia hết cho 5

Ngời Thực Hiện 4

c)VÝ dô 3: (bµi 34 to¸n chän läc cÊp II tËp 2)

T×m mét sè tù nhiªn n, biÕt r»ng n2 + 1 chia hÕt cho 5

VËy n2 + 1 chia hÕt cho 5 khi n = 5k +2 hoÆc n = 5k + 3 (víi k ∈ N)

Tõ kÕt qu¶ bµi tËp trªn ta cã n2  5 ⇔n  5 ; n2 ٪ 5 ⇔ n ٪5, sè d cña phÐp chia

n2 cho 5 lµ 0 ; 1 hoÆc 4

*NhËn xÐt:

+) Mét sè chia hÕt cho c¶ 2 vµ 5 khi cã tËn cïng b»ng 0

Tæng qu¸t: : A = anan−1 a1a0 chia hÕt cho c¶ 2 vµ 5 khi vµ chØ khi a0 = 0

6 8

n m n m

m

n

Vậy m = 7 và n = 1

b)Ví dụ 2: ( Toán tuổi thơ số 20)

Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 3, chỉ đợc viết bởi các chữ số 0; 1 ;2 vàkhông lớn hơn 2004

Giải

Trớc hết ta viết thêm những chữ số 0 vào phía trớc của các số thoả mãn yêucầu đề bài chúng đều có dạng abcd trong đó a, b, c, d chỉ đợc viết bởi các số 1, 0, 2 việc này không làm thay đổi giá trị cũng nh tính chất chia hết cho 3 của các

số đó

Rõ ràng nếu b; c ;d đợc xác định thì a cũng đợc xác định duy nhất để abcdchia hết cho 3 ( nếu x là số d của tổngb + c + d khi chia cho 3 thì a = 0 nếu x = 0hoặc a = 3 – x nếu a ≠ 0

Ngời Thực Hiện 6

Có ba cách chọn mỗi chữ số b; c; d trong các chữ số 0; 1 ; 2 nên sẽ có 3 ì3 ì

3 =27 cách chọn các số abcd

Vì khi chọn a trong các chữ số 0; 1; 2 thì các chữ số 0; 1; 2 có vai trò nh nhau nên sẽ có 27 : 3 = 9 cách chọn số 2bcd trong các số này chỉ có duy nhất 2001 < 2004

Vậy số tự nhiên chia hết cho 3 chỉ đợc viết bởi các chữ số 0; 1; 2 và không lớn hơn 2004 là 27 – 9 + 1 = 19 số Dựa vào quy luật trên ta có:

0000 2001 1002

2010 1011 0012

1020 0021 2022

2100 1101 0102

1110 0111 2112

0120 2111 1122

1200 0201 2202

0210 2211 1212

2220 1221 0222

(các số ghạch chân là những số lớn hơn 2004) Có 19 số thoả mãn điều kiện đề bài là: 0; 12; 21; 102; 111; 120; 201; 210; 222; 1002; 1011; 1020; 1101; 1110; 1122; 1200; 1212; 1221; 2001 b) Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì: 3n + 3 +3n + 1 +2n + 3 +2n + 2 chia hết cho 6 Giải: Ta có 3n + 3 +3n + 1 +2n + 3 +2n + 2 = 3n + 1(32 + 1) + 2n +2(2 + 1) = 3n + 1.10 +3.2n + 2 = 2 5 3n + 1 + 3.2n + 2 Rõ ràng mỗi số hạng của tổng đều có một thừa số chia hết cho 2, một thừa số chia hết cho 3 nên chia hết cho 6 Vậy 3n + 3 +3n + 1 +2n + 3 +2n + 2 chia hết cho 6 IV)Dấu hiệu chia hết cho 9 1)Lý thuyết: Ngời Thực Hiện 7

+)Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số

đó mới chia hết cho 9

2 10

a b b a

99

999 + 1965 Chứng minh rằng A chia hết cho 9

Giải

Cách 1: phân tích biểu thức A ta có

A = = 654     

9số

ch

100999 997 + 1965

A = 654 (     −3

0số

ch 100

01000 ) +1965

A = 654      

0số

ch 100

01000 - 1962 +1965

Ngời Thực Hiện 8

A = 654    

0số

ch 99

0000 3

Vì 6 + 5 + 4 + 3 = 18 chia hết cho 9 nên 654     

0số

ch 99

0000 3 chia hết cho 9Cách 2: Ta phân tích A theo cach khác

A = = 654 ì     

9số100ch

99

A = 654 ì    7+1965

số100ch 999 99

A = 654 ì    

số

ch

101999 99 - 1308 + 1965

A = 654 ì    

số

ch

101999 99 +657

Ta thấy 654ì    

số

ch

101999 99 và 657 đều chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9

Nh vậy kết quả bài toán trên hoàn toàn không phụ thuộc vào số chữ số 9 trong

số 999….997

*)Nhận xét :

+)Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho cả 3 và 9

+) A = anan−1 a1a0 chia hết cho cả 2; 5 ; 3; 9 khi và chỉ khi

0a

9aaa

a

0

0 1 1

n

b)DÊu hiÖu chia hÕt cho 25:

+)Mét sè chia hÕt cho 25 khi vµ chØ khi hai ch÷ sè tËn cïng lËp thµnh mét sèchia hÕt cho 25

V× 4(250d + 25c + 2b) 4vµ 2b+a 4

Nªn 4(250d + 25c + 2b) +(2b + a)  4 hay N  4

a) VÝ dô 2:

Cho n sè a1; a2; … ; an-1; an mçi sè nhËn gi¸ trÞ - 1 hoÆc 1

vµ a1a2+ a3a4 +…+an-1an + ana1 = 0 chøng minh r»ng n chia hÕt cho 4

Lêi gi¶i:

V× mçi sè a1; a2; … ; an-1; an b»ng - 1 hoÆc 1

Ngêi Thùc HiÖn 10

Nên mỗi số a1a2; a2a3 ; a3a4 ;…an-1an; ana1 =1 cũng bằng –1 hoặc 1

Mà a1a2+ a3a4 +…+an-1an + ana1 = 0 nên số số hạng bằng -1 bắng số số hạng bằng1suy ra n = 2k ( k∈Z+)

Mặt khác ta có( a1a2).( a2a3 ).….(an-1an) (ana1) = (a1a2a3…an)2 =(±1)2=1 nên số số hạng bằng – 1 là số chẵn : k = 2p ( p∈Z+)

Vì n+1 là số có hai chữ số chia hết cho 25 nên

n+1 ∈ {25 , 50 , 75} khi đó n ∈{24 , 49 , 74}trong các số trên chỉ có 24 chia hết cho 4 Hai số phải tìm là 24; 25

+ Trờng hợp 2:

n+1 chia hết cho 4 và n chia hết cho 25

Vì n là số có hai chữ số và chia hết cho 25 nên n ∈ {25 , 50 , 75}

khi đó n+1 ∈ {26 , 51 , 76}

Trong các số trên chỉ có 76 chia hết cho 4 Hai số phải tìm là 75; 76

Vậy hai số phải tìm thoả mãn yêu cầu là 24,25 và 75, 76

Vậy trong hai số chẵn liên tiếp có một số là bội của 4

VI Dấu hiệu chia hết cho 8, cho 125

1, Lí thuyết

+Một số chia hết cho 8 khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 8

Trong đó: A = an.10n-3 + an-1.10n-4 +…+ a3

B = 100a2 + 10a1 +a0

Vì 1000  8 nên 1000A  8

=> N 8 ⇔ B=a2a1a0 8

b.Dấu hiệu chia hết cho 125

+/Một số chia hết cho 125 khi và chỉ khi số đó có ba chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 125

Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 8

b.Ví dụ 2: : Chứng minh rằng n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 với mọi số n lẻ

Hay 4k(k + 1) chia hết cho 8

+Hạng tử thứ hai là 8(k + 1) chia hết cho 8

+Hạng tử thứ ba là 2 không chia hết cho 8

Vậy n2 + 4n + 5 không chia hết cho 8 (đpcm)

c Ví dụ 3:

Ngời Thực Hiện 12

Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số, biết rằng một số chia hết cho 125,

số kia chia hết cho 8

Vậy hai số phải tìm là 624 và 625

Kết luận: Bài toán có 2 đáp số:

Khi đó 2a0 – A chia hết cho 7 khi và chỉ khi N 7

-Nếu A > 2a0 thì N=7( A+a0) +3(A - 2a0)

R= ( n+ k.30) - ( n + m.30) = (k - m) 30 với m,k nguyên và

) ( 6 0

; 6

0 ≤k−m≤ ≤m≤ k ≠m

=>-6 ≤k−m≤ 6 ; k−m≠ 0

Số (k - m)30  7 tức là k = m Do đó mỗi số hạng n + k.30 với k = 0; 1; 2…; 6 khi chia hết cho 7 có số d khác số d của một số khác có dạng đó chia hết cho 7 có

số d bằng 0 Tức là có 1 và chỉ 1 trong 7 số đã cho chia hết cho 7

Hiển nhiên ta có đẳng thức sau

2(10a + b) + (a + 5b) = 21a + 7b = 7(3a + b) (1)

Nếu (10a + b) 7 thì từ (1) suy ra ( a + 5b) 7 (vì 7(3a + b) 7)

Nếu (a +5b) 7 thì từ (1) suy ra 2.(10a + b) 7 (vì 7.(3a + b) 7)

Nhng 2 và 7 là hai số nguyên tố cùng nhau nên 10a + b 7

ThËt vËy xÐt ch÷ sè tËn cïng cña c¸c luü thõa 7; 71,…,77 cã ch÷ sè tËn cïng

5588

a lan

a a a

58

5588

a lan

a a a

 11

b Ví dụ 2:

Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11

Giải: Có abcabc=1000abc+abc=abc(1000+1)=abc.100111

Mặt khác abcd  11 nên a + c- b – d nhận các giá trị 0; ±11

Ta xét các trờng hợp sau:

c b a

d b c a

=

+

= +

=

=

−

− +

c b a

d b c a

=

=

−

− +

⇒

c b a

d b c

=>d - 2c = 11 vì d < 9 nên hệ vô nghiệm

Vậy tìm đợc 6 số là: 9812; 9361; 9079; 7161; 4048; 1012

Ngời Thực Hiện 16

X, Dấu hiệu chia hết cho 13

Một số chia hết cho 13 khi và chỉ khi hiệu của tổng các số đợc ghép bởi 3 chữ

số liên tiếp nhau với số đợc lập bởi 3 chữ số liên tiếp theo (tính từ phải sang trái) chia hết cho 13

Từ đó nếu M chia hết cho 13 thì 10 M chia hết cho 13 Vậy N chia hết cho 13

Đảo lại:Nếu N chia hết cho 13 thì 10 M chia hết cho 13 mà ( 10,13)=1 nêm M

C.Bµi tËp ¸p dông

Bµi 1: Cho a1; a2; a3;…;an lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn

a1+ a2+… + an-1+an = s

Cho a, b, c , d lµ c¸c sè nguyªn Chøng minh r»ng tÝch cña c¸c hiÖu b - a;

c -a; d - a vµ c – b chia hÕt cho 12

n a a a a a a a a a a

a

2

5 2 1

5 1 2

1 5 5

2

5

Ta cã : a5 k - ak= ak(a 2 +1)(a2 - 1) = ak(ak- 1)(ak+1)(a2 +1)

Râ rµng ak(ak- 1)(ak+1) chia hÕt cho 6VËy a5 – ak chia hÕt cho 6

-NÕu ak = 5m th× a5 – ak 5-NÕu ak = 5m+1 th× a2

k  5-NÕu ak = 5m+2 th× a2

k  5

Nh vËy bao giê còng cã a5 k - ak  5 nªn a5 k – ak  30

Ngêi Thùc HiÖn 19

Hiệu p - s có đợc khi cho k nhận giá trị từ 1 đến n nh vậy p - s chia hết cho 30.Suy ra nếu s chia hết cho 30 thì p cũng chia hết cho 30.

Bài 2:

Theo giả thiết vì (n, 6) =1 nên (n, 2) = 1 và (n, 3) = 1 vì n - 1 và n +1 là hai sốchẵn liên tiếp nên (n - 1)(n + 1) = n2 – 1 chia hết cho 8 Mặt khác tích của 3 sốliên tiếp (n - 1)(n + 1)n chia hết cho 3 mà (n, 3) = 1 nên một trong hai số n - 1

Lấy 4 số nguyên a, b, c, d  3 ta đợc 4 phép chia nhận các số d có thể là 0, 1,

2 Theo nguyên tắc Đi rích lê phải tồn tại hai phép chia có cùng số d khi chiacho 3 thì hiệu hai số này chia hết cho 3 => A3(1)

.Nếu trong 4 số a, b, c, d không có số nào có cùng số d khi chia cho 4 thì phải

có hai số chẵn nhận các số d là 0,2 và hai số lẻ nhận số d là 1, 3 suy ra có haihiệu chia hết cho 2 => A4 (2)

=+

= +

Chứng minh bằng phơng pháp quy nạp toán học

Giả sử số đã cho có n chữ số trong đó có n là số chẵn

chu k

Ta phải chứng minh cho mệnh đề đúng với n = 2k + 2 Thật vậy

N = 1000 01

2 2

=+  



số

ch

k

1101

10002

số

ch 2

0

Gọi 5 số nguyên liên tiếp là n, n +1;…,n + 4

Ta có 120 = 3.5.8 mà 3, 5 ,8 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta phải chứngminh cho n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) chia hết cho 3, 5 và 8

Ngời Thực Hiện 23

do đó hai số a, b khi chia cho 5 không cùng số d (2)

Từ (1) và (2) suy ra trong hai số a, b bao giờ cũng có một và chỉ một số chia hếtcho 5

8        



0 số 0 số 0

số gồm 9 chữ số 1 và các chữ số 0 chia hết cho 9 Vì C9; B9 => A9

b Đặt D = 1010     10

10 số

Ta thấy thừa số thứ nhất có tổng các chữ số bằng 9 nên chia hết cho 9 Thừa sốthứ hai có tổng các chữ số bằng 3 nên chia hết cho 3

Vậy D = 9 k 3q (k,q∈N*)

= 27k.q

Ngời Thực Hiện 24

Từ một bài toán về “dấu hiệu chia hết” cụ thể nếu chiụ khó tìm tòi, suy nghĩ

có thể tìm đợc nhiều cách giải đề xuất đợc những bài toán thú vị thiết lập đợc

Ngời Thực Hiện 25

mối quan hệ giữa các bài toán, từ đó giải quyết đợc hầu hết các bài toán “ Dấu hiệu chia hết” đặc biệt là các bài toán về tính chia hết

Nhờ có quá trình tự học tập, rèn luyện, tích luỹ kinh nghiệm, học hỏi đồng nghiệp, tham khảo các tài liệu bản thân đã bổ xung, hoàn thiện, nâng cao chất l-ợng các chuyên đề giúp các em học sinh giải quyết các bài toán về “Dấu hiệu chia hết” đạt hiệu qủa hơn Cụ thể:

-Dấu hiệu chia hết – tính chia hết là dạng toán không thể thiếu đợc trong

ch-ơng trình bồi dỡng HSG THCS, nếu chỉ dừng lại ở SGK thì cha đủ vì vậy đòi hỏigiáo viên phải tích cực tìm tòi, nghiên cứu, không ngừng bổ sung kiến thức vàtích luỹ kinh nghiệm giảng dạy

-Để dạy cho học sinh hiểu và đạt kết quả cao thì trong quá trình giảng dạytrứơc hết giáo viên phải nắm chắc các kiến thức về “ dấu hiệu chia hết” Từ mộtbài tập cụ thể trong SGK, sách bài tập hoặc sách tham khảo, yêu cầu học sinh

đọc kĩ đề bài, xác định đúng yêu cầu của đề bài, từ đó tìm ra điểm mấu chốt củachúng, tìm ra các cách giải và có thể “ chế biến” chúng thành những bài toán “trông có vẻ lạ” nhng có cách giải tơng tự Do đó có thể khắc sâu đợc kiến thứccho học sinh đồng thời rèn luyện cho các em khả năng sáng tạo trong giải toán

và khả năng trình bày lời giải ngắn gọn, đủ ý trong mỗi bài toán

-Tuy nhiên trong mỗi giờ giảng, khi giảng dạy mỗi chuyên đề hệ thống kiếnthức đợc nâng dần từ dễ đến khó đặc biệt phải khai thác và phát triển theo những

ý của bài toán

-Hệ thống câu hỏi giáo viên đa ra phải chắt lọc, giọng nói phải khúc triết, rõràng, điệu bộ, cử chỉ hợp lý cũng góp phần quan trọng để đạt kết quả cao trongquá trình giảng dạy

Cách trình bày nội dung chuyên đề còn mang tính chất chủ quan, bài tập áp dụng có tính chất minh hoạ… vì vậy không thể tránh khỏi thiếu xót, hạn chế rất mong nhận đợc sự đóng góp, giúp đỡ chân thành của các đồng nghiệp để làm kinh nghiệm quý báu cho bản thân tôi trong quá trình giảng dạy và học tập

Ngời Thực Hiện 26