Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn O.. 3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax AP > R thì trực tâm H của tam giác PAM chạy tren một cung tròn cố
Trang 1Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
1 ( 2
1 )
1 ( 2
1
a
a a
B Nhưng sau khi đi được nửa quãng đường AB thì xe con tăng tốc thành 45 km/h nên sau
đó 1h thì đuổi kịp xe tải Tính quãng đường AB
Bài 3 (4đ):
Cho nửa đường tròn đường kính AB, trên đó có một điểm M Trên đường kính AB lấy điểm O sao cho OA < OB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M người ta vẽ các tia Ax, By vuông góc với AB Đường thẳng đi qua M vuông góc với MO cắt Ax tại P; đường thẳng đi qua O vuông góc với OP cắt By tại Q Gọi D là giao điểm của OP và AM,
E là giao điểm của OQ và BM
1, Chứng minh: Các tứ giác AOMP, ODME nội tiếp được
Trang 2Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
−
−
+
a a
a a
a
a a
a
1
1 1 1
1, Chứng minh: Các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp được
2, Chứng minh: Tia đối của tia MI là phân giác của góc HMK
3, Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp được Suy ra PQ // BC
4, Gọi (O1) là đường tròn đi qua M, P, K; (O2) là đường tròn đi qua M, Q, H Gọi N
là giao điểm thứ hai của (O1) và (O2) và D là trung điểm của BC Chứng minh rằng M, N,
D thẳng hàng
Bài 4 (1đ):
Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình sau:
0 1 )
2 (
2
5x− x + y +y2 + =
Trang 3Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
; B =
2
2 2
3
+
− +
−
x
x x x
1, Tìm m để phương trình có một nghiệm x = – 1 và tìm nghiệm còn lại
2, Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m
3, Với giá trị nào của m thì x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R và một điểm C nằm trên đường tròn (C khác A và B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C kẻ tia Ax tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC, P là giao điểm của AC và BM Tia BC cắt các tia AM, Ax lần lượt tại N và Q
1, Chứng minh: Tam giác ABN cân
2, Tứ giác APNO là hình gì ? Tại sao ?
3, Gọi K là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm C Hỏi có thể xảy ra ba điểm Q, M, K thẳng hàng được không ? Tại sao ?
Bài 4 (1đ):
Giải phương trình:
) (
2
1 1996 1995
Trang 4Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
2 2
3 9
− +
a a
a a
a
a a
1, Rút gọn P
2, Tìm a để P = 1
3, Tìm các giá trị của a ∈ N sao cho P ∈ N
Bài 2 (2đ):
Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng, Nhưng do mỗi tuân trồng vượt mức 5 ha
so với kế hoạch nên đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn 1 tuần Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng ?
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB và điểm N nằm giữa A và B Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các hình vuông AMCD và MBEF Hai đường thẳng AF và BC cắt nhau ở N
1, Chứng minh: AF ⊥ BC Suy ra điểm N nằm trên hai đường ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF
2, Chứng minh: Ba điểm D, N, E thẳng hàng và MN vuông góc DE tại N
3, Cho A, B cố định, M di động trên đoạn AB Chứng minh đường thẳng MN luôn
đi qua điểm cố định
4, Tìm vị trí điểm M sao cho MN có độ dài lớn nhất
Trang 5Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
3 2
) 3 (
3
−
−
− +
+ +
− +
− +
x
x x
x x
x
x x
1, Rút gọn P
2, Tìm x để P <
4
15
F Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC
1, Chứng minh ∆EBF và ∆DAF cân
2, Chứng minh tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB
3, Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?
4, Tìm điều kiện của ∆ABC để tứ giác AEFD là hình thoi đồng thời có diện tích gấp
ba lần diện tích tứ giác AIFK
Bài 4 (1đ):
Tìm những giá trị của x thoả mãn hệ thức:
(2 − 3) (x + 7 − 4 3)(2 + 3) (x = 4 2 − 3)
Trang 6Trường Chu Văn An & Amsterdam
+
1
1 1
1 : 1 1
1
1
xy
x xy
x xy xy
x xy xy
1, Giải phương trình với m = – 1
2, Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của tham số m
3, Tìm các giá trị của m để x1 + x2 = 2
Bài 3 (4đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và trên đó lấy một điểm P (AP > R) Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đường tròn tại M
1, Tứ giác OBMP là hình gì ? Tại sao ?
2, Cho AP = R 3 Chứng minh tam giác PAM có trực tâm H nằm trên đường tròn (O; R)
3, Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của tam giác PAM chạy tren một cung tròn cố định
4, Dựng hình chữ nhật PACN Chứng minh B, M, N thẳng hàng
Trang 7THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
xy y
xy xy
x
xy y
x
y xy x
: 2
2 1
là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC Chứng minh rằng:
1, Độ dài dây BC không đổi
≥ + +
x
z z
y y x
Trang 8THPT Chuyên Ngoại ngữ – ĐH Ngoại ngữ (ĐHQGHN)
x
− +
+
+
1, Tìm điều kiện của x để P có ý nghĩa và hãy rút gọn P
2, Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức Q =
1
2 2
1 + + =
x
x x x
Bài 3 (2đ):
Cho hàm số:
y = mx2 + 3(m – 1)x + 2m + 1 ( l )
1, Khi m = 1, hàm số có đồ thị (C) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(0; 2) và
có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thi (C)
2, Chứng minh đồ thị ( l ) luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m
Bài 4 (3đ):
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định Đường thẳng xy là tiếp tuyến với đường tròn tại B Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và không vuông góc với AB) Gọi C, D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng AM, AN với xy
1, Chứng minh rằng: Tứ giác MNDC nội tiếp được đường tròn
2, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của CD Chứng minh: Tứ giác AOIK là hình bình hành
3, Gọi H là trực tâm tam giác MCD Chúng minh H thuộc một đường tròn cố định
+
x x
Trang 9Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
2, Giả sử tam giác ABC nhọn Chứng minh HA + HB + HC ≥ 6r (*)
3, Khi tam giác ABC có góc A, bất đẳng thức (*) còn đúng không ? Tại sao ?
Bài 4 (1,5đ):
Tìm các chữ số biểu thị bởi các chữ cái trong phép nhân sau
Biết rằng: T = 2E và các chữ cái khác nhau ứng với các chữ khác
nhau
Bài 5 (1,5đ):
Người ta kẻ n đường thẳng sao cho không có hai đường thẳng nào đồng quy và 3 đường thẳng nào song song để chia mặt phẳng thành các miền con Gọi Sn là số miền con tìm được từ n đường thẳng đó
Trang 10= + +
14
0
2 2
2 b c a
c b a
Hãy tính giá trị của biểu thức:
P = 1 + a4 + b4 + c4
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:
8 2 7
= + + +
2
5 1
2
9 1 1
xy xy
y x y x
Bài 3 (1,5đ):
Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho n2 + 9n – 2 chia hết cho n + 11
Bài 4 (3,5đ):
Cho đường tròn (T ) và điểm I ở trong đường tròn Qua I dựng hai dây cung bất kỳ
MIN và EIF Gọi M’, N’, E’, F’ là lần lượt là trung điểm của IM, IN, IE, IF
1, Chứng minh rằng: Tứ giác M’E’N’F’ nội tiếp
2, Giả sử I thay đổi, các dây cung MIN, EIF thay đổi Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác M’E’N’F’ có bán kính không đổi
3, Giả sử I thay đổi, Các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng vuông góc với nhau Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M’E’N’F’có diện tích lớn nhất
Bài 5 (1,5đ):
Cho các số dương x, y thay đổi thoả mãn điều kiện: x + y = 1
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x
y y x
Trang 11
3
1000 1
2
1000 1
1
1000 1
1000
1999 1
3
1999 1
2
1999 1
1
1999 1
2, Cho a là số tự nhiên đựoc viết thành 222 chữ số 9 Hãy tính tổng các chữ số của:
n – an + 1
Bài 2 (2đ):
1, Giải phương trình:
) 3 ( ) 2 ( ) 1 (x+ + x x+ = x x+
x
2, Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
0 14
5
3 5 2 ) 2 3
2
=
− +
−
− +
−
−
x x
n n x n x
Bài 3 (2đ):
Chứng minh rằng bất đẳng thức sau luôn đúng với mọi x, y, z > 0:
4 4 4 4 4 4 4 4 4
1 1 1 2
2 2
z y x x z
z z
y
y y
x
+
+ + +
Bài 4 (4đ):
Trên cùng mặt phẳng toạ độ xOy cho hai điẻm A(- 3; 0) và B(- 1; 0) Xét hai điểm
M và N thay đổi trên trục tung sao cho AM, BN luôn vuông góc với nhau
1, Chứng minh AN, BM vuông góc với nhau và tích OM ON không đổi khi M, N biến thiên Từ đó suy ra đường tròn đường kính MN luôn đi qua 2 điểm cố định Tìm toạ
độ hai điểm cố định này
2, Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Xác định vị trí M, N sao cho tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất
Trang 12Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
x x x x
x x x
Bài 2 (3đ):
Trong mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P): y = x2
1, Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1
2, Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định và luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B
3, Tìm giá trị của tham số m để S∆ABC bằng 2 (đơn vị diện tích)
Bài 3 (4đ):
Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax và By vuông góc với AB Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N sao cho luôn có AM BN = a2
1, Chứng minh ∆AOM đồng dạng với ∆BNO và góc MON = 90o
2, Gọi H là hình chiếu của O trên MN, chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với một nửa đường tròn cố định tại H
3, Chứng minh tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MON chạy trên một tia cố định
4, Tìm vị trí của đường thẳng (d) sao cho chu vi tam giác AHB đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị lớn nhất đó theo a
Trang 13Trường Chu Văn An & HN – Amsterdam
−
+
1 2
: 3
2 2
3 6
5
2
x
x x
x x
x x
x x
2, Tìm các giá trị của m để phương trình (1) nhận x = 5 2 − 6 là nghiệm
3, Gọi m1, m2 là hai nghiệm của phương trình (1) (ẩn m) Tìm x để m1, m2 là số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 4 2−2
1, Chứng minh ∆OAM đồng dạng với ∆O’AN
2, Chứng minh độ dài đoạn NQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M
3, Tứ giác ABQP là hình gì ? Tại sao ?
4, Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị
đó theo R
Bài 4 (1đ):
Cho biểu thức:
A = – x2 – y2 + xy + 2x +2yTìm cặp số (x; y) để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó
Trang 14= + +
2
3 2
2 2
2
y x
y x xy
x
Bài 3 (3,5đ):
Cho nửa vòng tròn đường kính AB = 2a Trên đoạn AB lấy điểm M Trong nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa vòng tròn ta kẻ hai tia Mx, My sao cho góc AMx = góc Bmy = 30o Tia Mx cắt nửa vòng tròn tại E, tia My cắt nửa vòng tròn tại F Kẻ EE’, FF’ vuông góc xuống AB
1, Cho AM =
2
a
Tính diện tích hình thang vuông EFE’F’ theo a
2, Khi M di động trên AB chứng minh EF luôn tiếp xúc với một vòng tròn cố định
−
= + + + + +
1
2 ) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 (
3 3
3 y z x
y x
z x z
y x y x
Hãy tính giá trị biểu thức:
P = 1x +1y +1z
Bài 5 (1đ):
Với x, y, z là những số thực dương Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M = (x+ y)(y xyz+z)(z+x)
Trang 15
Đề thi chungNăm học 1998 – 1999
x
x x
= + 1
2
ay x
a y ax
Trang 16Đề thi chungNăm học 1999 – 2000
(150 phút)
Bài 1 (2đ):
1, Chứng minh hằng đẳng thức:
2 1
x
x x
=
−
m m y x
m y x
3 7 3 2
2 2
2 (I) (m là tham số)
1, Giải hệ phương trình khi m = - 1
2, Tìms m để hệ (I) có nghiệm (x; y) sao cho biểu thức:
S = x – y + 1 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3 (2đ):
Cho phương trình bậc hai ẩn x (a, b là tham số):
0 ) (
1, Chứng minh 5 điểm ; A, M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn
2, Tứ giác ABKN là hình gì ? vì sao ?
3, Xác định vị trí điểm A để tứ giác ABKN là hình bình hành
4, Trong trường hợp ABKN là hình bình hành hãy tính các góc của hình bình hành
đó và tính độ dài đoạn MN
Trang 17Đề thi chuyên toán + toán tin
1 2
2 1 2
x x
2, Xét biểu thức:
2
2 1 1 2
2 1
+ + + +
+ +
x
x x
R BD
Trang 182 2
2 3
2 3
a a a
a a
a với a ≠ ± 1 và a ≠
2 1
1, Rút gọn biểu thức A
2, Tính giá trị của biểu thức A khi a =
2 2
3, Tìm các số nguyên a sao cho A nhận giá trị là số nguyên
5 7 3
4 3
2
m y
x
m y x
(*) (với m là tham số)
1, Giải hệ phương trình (*) khi m = 1
2, Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (*) có nghiệm
Bài 3 (2đ):
Cho phương trình:
0 1 2 ) 2 3 (m2 − m+ x2 − mx+ = (1) (mlà tham số)
1, Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình bậc hai ?
2, Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1, Cmr: Tứ giác AMEF là hình thang nhưng không thể là hình thang cân
2, Cmr: ∆ABE đồng dạng với ∆FDM từ đó => hệ thức BE DF =
4
AC
3, Đặt CE = x Hãy tính chu vi ∆CEF theo a và x, nhận xét về kết quả vừa tìm được
Trang 19Đề thi chuyên toán + toán tin
1, CMR 5 điểm A, E, M, D, F cùng nằm trên một đường tròn
2, Chứng minh ∆ABC đồng dạng ∆AEF
3, Đặt AD = x Hãy tính diện tích ∆AEF theo b, c và x Xác định vị trí điểm D để diện tích ∆AEF là nhỏ nhất
Trang 20Đề thi chung Năm 2001 – 2002
y x y
x
y y x x y x
y x
b, Gọi x1, x2 là nghiệm của (1) Tìm m để biểu thức:
1, Tìm giá trị của a biết parabol đi qua điểm M( - 2; 1)
2, Với giá trị của a tìm được ở câu 1; tìm giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) tại điểm N Xác định toạ độ điểm N
3, Tính diện tích tam giác OMN (cho đơn vị độ dài trên Ox và Oy là như nhau)
Trang 21Đề thi chungNăm 2005 – 2006
3 (
: ) 1
8 1
1 1
1 (
a a a
a a
a a
1, Chứng minh ∆EOC đồng dạng với ∆DOF và chứng minh tích OE OF không đổi
2, Cho I là trung điểm của EF Tính góc IMO
3, Dựng điểm M sao cho EF = R
Bài 5 (1đ):
Tìm các cặp số nguyên không âm x, y thoả mãn:
Trang 22Đề thi chuyên toán + toán tin
= + +
2
4
2 2
y xy x
y xy x
= +
1
1
4 4
3 3
y x
y x
Bài 4 (3đ):
Cho tam giác ABC và một diểm M bất kỳ trong tam giác:
1, Các đường thẳng MA, MB, MC theo thứ tự cắt các cạnh BC, CA, AB tại A1, B1,
C1 Chứng minh rằng: 1
1 1
1 1
CC
MC BB
MB A
2 2
GC
MC GB
MB G
3
1 1
1
GC GB
Trang 23Đề thi chungNăm 2006 – 2007
2 2
3 3 3
− +
− +
a a
a a
a
a a
Bài 3 (3,5đ):
Cho đưòng tròn (O) và dây AB, một điểm C ở ngoài đường tròn nằm trên tia AB
Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ của đường tròn cắt dây AB tại
D Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I Các dây AB và QI cắt nhau tại K
1, Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp
2, Chứng minh hai tam giác CID và CPK đồng dạng
3, Chứng minh IC là tia phân giác ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB
4, Giả sử A, B, C cố định Chứng minh rằng đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A, B thì đường thẳng QI luôn đi qua một điểm cố định
Trang 24Đề thi chungNăm 2008 – 2009
2, Chứng minh: HB’ đi qua trung điểm của AC
3, Khi điểm B chạy trên đường tròn (O) (B ≠ A, C) Chứng minh: H luôn nằm trên 1 đường tròn cố định
Bài 5 (1đ):
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng y = (2m + 1)x – 4m – 1 (d) và điểm
A (- 2;3)
Trang 25Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi (Hải Dương)
2, Cho a, b là các số hữu tỉ thoả mãn:
Trang 26Trường THPT năng khiếu Trần Phú (Hải Phòng)
+ +Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn 1 ≤ n ≤ 2004 sao cho A là phân số chưa tối giản ?
Bài 4 (3đ):
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại P và Q Tiếp tuyến chung gần P hơn của hai đường tròn tiếp xúc với (O1) tại A, tiếp xúc với (O2) tại B Tiếp tuyến của (O1) tại P cắt (O2) tại điểm thứ hai D khác P Đường thẳng AP cắt đường thẳng BD tại R Chứng minh rằng:
1, Bốn điểm A, B, Q, R cùng thuộc một đường tròn
2, ∆BPR cân
3, Đường tròn ngoại tiếp ∆PQR tiếp xúc với PB và RB
Bài 5 (1đ):
Cho ∆ABC có BC < CA < AB Trên AB lấy điểm D, trên AC lấy điểm E sao cho
DB = BC = CE Chứng minh rằng khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ADE
Trang 27Trường THPT Trần Đại Nghĩa (TP HCM)
Năm học 2004 – 2005
(150 phút)
Bài 1:
Cho phương trình: x2 + px + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt a1, a2 và phương trình:
x + qx + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt b1, b2
Trang 28Trường THPT Chuyên Bà Rịa – Vũng Tàu
x x
( 1) ( 1)
2, Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
x4 – 2x3 + 2(m + 1)x2 – (2m + 1)x + m(m + 1) = 0
Bài 4:
Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) D là một điểm trên cung BC không chứa đỉnh
A Gọi I, K, H lần lượt là hình chiếu của D trên các đường thẳng BC, AB, AC Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường tròn (O) tại N (N ≠ D); AN cắt BC tại M Chứng minh:
1, ∆DKI đồng dạng với ∆BAM
2, BC AB AC
DI = DK + DH