Chương 4: Công và năng lượng pptx

Nếu lực tác dụng luôn cùng hướng với vận tốc thì ta có: P = F.v 4.18 Công thức 4.18 là cơ sở để chế tạo ra hộp số của xe máy và xe hơi: Do công suất của động cơ đốt trong có một giá trị

Chương 4 CÔNG VÀ NĂNG LƯỢNG

§4.1 CÔNG

1 – Định nghĩa:

→

FCông của lực trên đoạn đường vi cấp ds là: →F

α )

dA = Fs ds = Fds.cosα = →Fd→s (4.1)

với Fs là hình chiếu của lực xuống qũi đạo;

là vi phân của vectơ đường đi (cũng chính là vi phân

của độ dời); α là góc tạo bởi hướng của lực và

hướng của đường đi

s s

s

cos Fds ds

F s d F dA

) F , F , F ( F );

z , y , x ( r d s

x s

s

dz F dy F dx F r d F s d F

Tích phân (4.3) được gọi là tích phân đường Hệ thức đó chứng tỏ, trong trường hợp tổng quát, công phụ thuộc cả vào vị trí và đường đi Tuy nhiên, trong một số trường lực, công không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm

cuối Trường lực có tính chất như vậy, được gọi là trường lực thế

Trường hợp đặc biệt: Nếu các thành phần Fx, Fy, Fz chỉ phụ thộc vào toạ độ tương ứng của nó, nghĩa là Fx = f(x), Fy = g(y), Fz = h(z) thì tích phân đường (4.3) được đưa về tổng các tích phân: A = ∫ + ∫ + ∫2 (4.4)

1 2

1 2

1

z z z y

y y x

x

xdx F dy F dz F

Công là đại lượng vô hướng, có thể âm, dương hoặc bằng không Trong hệ SI, công

• Nếu tạo với dường đi một góc nhọn thì A > 0: công phát động →F

• Nếu tạo với dường đi một góc tù thì A < 0: công cản →F

Ví dụ 4.1: Tính công thực hiện bởi lực tác dụng vào một vật làm nó di chuyển từ điểm M(2; 3) đến N(3; 0) Các đơn vị đo trong hệ SI)

) y

; x (

3 2 3 2 2 0

3

3

2

y 2 x , 2 ydy 4 xdx 5

msds cos F ds F

Nếu trên quãng đường s, lực ma sát có độ lớn không đổi thì ta có:

Biểu thức (4.6) chứng tỏ công của lực ma sát là công cản và phụ thuộc vào quãng

đường vật đã đi Vậy lực ma sát không phải là lực thế

Ví dụ 4.2: Vật khối lượng m = 10kg trượt trên sàn ngang có hệ số ma sát µ = 0,2 Tính

công của lực ma sát khi vật đi được 10 mét

Giải

Ta có lực ma sát trượt: F = µN = µmg = 0,2.10.10 = 20N = const

Vậy công của lực ma sát là: Ams = – Fms.s = – 20.10 = – 200J

3/ Công của lực đàn hồi:

Xét biến dạng một chiều của lò xo Lực đàn hồi của lò xo, có dạng:→F = − k→x

Thay vào (4.2), ta có công của lực đàn hồi là:

) x x ( k 2

1 xdx k x d x k s d F

2

2 1 x

x

x x s

2

1 2

Trong đó x1 , x2 chính là độ biến dạng tương ứng

của lò xo tại vị trí đầu và cuối Từ (4.7) suy ra,

công của lực đàn hồi không phụ thuộc vào đường

đi mà chỉ phụ thưộc vào vào vị trí đầu và cuối Ta

k = 10N/m, dao động điều hòa với phương trình:

x = 10sin5πt (cm) Tính công của lực đàn hồi

thực hiện trong khoảng thời gian:

Giải

a) Tại thời điểm t1 = 0s toạ độ của vật là: x1 = 0 cm = 0m;

Tại thời điểm t2 = 5,5s toạ độ của vật là: x2 = 10sin27,5π = – 10cm = – 0,1m Vậy công của lực đàn hồi đã thực hiện là:

)1,00(100.2

1)xx(k2

hd Suy ra công của lực hấp dẫn mang vật từ vị trí (1) đến vị trí (2) là:

) 2 ( ) 1 (

hd 12

r

rdrmGmr

dFA

mà →rd→r =xdx + ydy + zdz = ½ d(x2 + y2 + z2) = ½ d(r2) = rdr

r

1 r

1 ( m Gm r

dr

1 2 2 1 r

r 2

Trường hợp riêng, ta tính công của

trọng lực khi vật di chuyển từ vị trí có độ cao

2 1

r r

r

r − (4.9) Với các độ cao không lớn lắm thì ta có:

không sinh công Hệ thức (4.8) và (4.10) chứng tỏ công của lực hấp dẫn chỉ phụ thuộc

vị trí điểm đầu và điểm cuối Vậy, trường hấp dẫn là một trường lực thế

Trong trường hợp tổng quát, ta cũng chứng minh được các trường lực xuyên

tâm là các trường lực thế

5 – Công của lực trong chuyển động quay:

Trong chuyển động quay, lực tác dụng được phân tích thành ba thành phần (xem hình 3.11): F→=→F//+ F→n+ F→t Thành phần song song với trục quay →F// và

thành phần pháp tuyến luôn vuông góc với đường đi nên không tạo công, chỉ

có thành phấn tiếp tuyến là tạo công Do đó, công vi cấp:

n

F

sd

Nếu mômen của lực không đổi thì: A = M∆.(ϕ2 – ϕ1) = M∆θ (4.13)

Trong đó: θ = ϕ2 – ϕ1 là góc mà vật đã quay được

Nếu trong (4.11), ta thay M∆ = Iβ =

1

2 2

2

1

ω

− ω

= ω ω

Ví dụ 4.4: Một vô lăng hình trụ đồng nhất, bán kính R = 20cm, khối lượng m = 20kg

đang quay với vận tốc ω = 4πrad/s thì bị hãm và dừng lại Tính công của lực hãm trong quá trình đó

Đại lượng đo bằng công sinh ra trong một đơn vị thời gian gọi là công suất

Công suất trung bình: Ptb =

Trước đây người ta thường so sánh khả năng sinh công của máy móc với khả năng sinh công của con ngưạ Vì thế, trong kĩ thuật, người ta còn dùng đơn vị công

suất là mã lực, kí hiệu là CV hoặc HP Ta có: 1 HP ≈ 736 W

Từ biểu thức tính công suất trung bình (4.15), ta có thể ước lượng công sinh ra trong thời gian t là A = Pt Vì thế ta còn đo công bằng đơn vị kilô oát giờ (kWh):

1 kWh = 10 3 W 3600 s = 3,6.10 6 (J)

Bảng 4.1: Một vài giá trị công suất

Tên động cơ Công suất P Tên động cơ Công suất P

20MW 3,7.1020 MW 5GW

2 – Liên hệ giữa công suất, lực và vận tốc:

s d F dt

dA

(4.17)

Vậy: Công suất bằng tích vô hướng của lực tác dụng với vận tốc của vật

Nếu lực tác dụng luôn cùng hướng với vận tốc thì ta có: P = F.v (4.18) Công thức (4.18) là cơ sở để chế tạo ra hộp số của xe máy và xe hơi: Do công suất của động cơ đốt trong có một giá trị nhất định, nên khi xe lên dốc, ta cần lực phát động lớn, muốn vậy, phải giảm vận tốc của xe; ngược lại, khi xe chạy trên đường ngang, ta không cần lực phát động lớn, vì thế vận tốc của xe phải lớn Bộ hộp số được được chế

ra nhằm đáp ứng yêu cầu trên

Trong chuyển động quay, ta có quan hệ giữa công suất, mômen lực và vận tốc góc như sau: = = ∆ ϕ = M∆ω

dt

d M dt

Ví dụ 4.5: Một động cơ có công suất cơ học 500W, rôto quay với vận 300 vòng/phút

Tính mômen của lực từ đã tạo ra công suất trên

π

=ω

=

§ 4.3 NĂNG LƯỢNG

1 – Khái niệm năng lượng:

Tất cả các dạng cụ thể của vật chất đều có năng lượng Theo nghĩa chung

nhất, năng lượng là một thuộc tính cơ bản của vật chất, đặc trưng cho mức độ vận

động của vật chất

Mỗi hình thức vận động cụ thể của vật chất sẽ tương ứng với một dạng năng lượng cụ thể Ví dụ: trong vận động cơ, ta có cơ năng; vận động nhiệt, ta có nhiệt năng, nội năng; vận động điện từ, ta có năng lượng điện từ; …

Năng lượng thường kí hiệu là E (Energy) Trong hệ SI, đơn vi đo năng lượng

là jun (J) Theo Einstein, năng lượng và khối lượng của vật quan hệ với nhau bởi:

với c = 3.108 m/s là vận tốc ánh sáng trong chân không

2 – Định luật bảo toàn năng lượng:

Vì vật chất vận động dưới nhiều hình thức, nên năng lượng của một vật hay hệ vật cũng tồn tại dưới nhiều dạng và trong quá trình vận động, năng lượng có thể

chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác, nhưng năng lượng tổng cộng của một hệ cô

lập luôn không đổi Đó là nội dung cơ bản của định luật bảo toàn năng lượng Suy

rộng ra trong toàn vũ trụ, ta có định luật bào toàn và chuyển hoá năng lượng:

Năng lượng không tự nhiên sinh ra và cũng không tự nhiên mất đi, mà nó chỉ chuyển hoá từ dạng này sang dạng khác hoặc truyền từ vật này sang vật khác, còn tổng năng lượng không thay đổi

3 – Ý nghĩa của định luật bảo toàn năng lượng:

- Định luật bảo toàn và chuyển hoá năng lượng phản ánh một thuộc tính cơ

bản của vật chất không thể tiêu diệt, đó là sự vận động

- Từ định luật bảo toàn năng lượng suy ra: không thể có một hệ nào sinh công

mãi mãi mà không nhận thêm năng lượng từ bên ngoài Nói cách khác, không tồn tại động cơ vĩnh cửu – một loại máy mà con người đã có một thời tổn hao trí lực và tiền

của để nghiên cứu chế tạo nhưng vô ích

- Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng là định luật có phạm vi áp dụng rộng nhất Nó đúng trong mọi lĩnh vực, mọi hình thức vận động của vật chất từ

vĩ mô đến vi mô

4 – Quan hệ giữa năng lượng và công:

Như trên đã giới thiệu, năng lượng có rất nhiều dạng Trong phạm vi Cơ học, khi nói “năng lượng”, ta ngụ ý muốn nói đến “cơ năng” Một hệ cơ học ở trạng thái xác định sẽ có năng lượng xác định Khi hệ biến đổi từ trạng thái này sang trạng thái khác thì năng lượng của hệ cũng biến đổi từ giá trị E1 sang E2 Trong quá trình biến đổi đó, hệ có thể nhận công hoặc sinh công A Thực nghiệm chứng tỏ:

E2 – E1 = A (4.22)

Vậy: độ biến thiên năng lượng trong một quá trình nào đó bằng công mà hệ nhận

được hoặc sinh ra trong quá trình đó Nếu hệ nhận công từ bên ngoài (A > 0) thì năng

lượng của hệ tăng; nếu hệ sinh công (A < 0) thì năng lượng của hệ giảm

Như vậy, công đặc trưng cho độ biến thiên năng lượng của hệ trong một quá trình nhất định Công bao giờ cũng tương ứng với một quá trình biến đổi cụ thể, ta nói

công là hàm của quá trình Còn năng lượng có giá trị xác định khi hệ ở một trạng thái

xác định, ta nói năng lượng là một hàm của trạng thái Khi hệ biến đổi nó sẽ trao đổi năng lượng với bên ngoài bằng cách nhận công hoăc sinh công Vậy công là số đo

phần năng lượng đã chuyển hoá từ hệ (cơ học) ra ngoài hoặc từ bên ngoài vào hệ

5 – Hiệu suất của máy:

Máy là thiết bị biến đổi dạng năng lượng này thành dạng năng lượng khác dễ

sử dụng hơn Năng lượng cung cấp cho máy hoạt động (năng lượng đầu vào) được gọi

là năng lượng toàn phần E; năng lượng mà máy sinh ra (năng lượng đầu ra) được gọi

là năng lượng có ích Ei Tỉ số giữa năng lượng có ích và năng lượng toàn phần được gọi là hiệu suất của máy:

Ví dụ: Động cơ điện là thiết bị biến điện năng thành cơ năng Khi động cơ điện họat

động, một phần điện năng bị tiêu tốn do tỏa nhiệt trên các cuộn dây của động cơ và do

ma sát ở trục động cơ, … nên cơ năng sinh ra luôn nhỏ hơn điện năng cung cấp cho động cơ Kết quả hiệu suất nhỏ hơn 100% Tuy nhiên, động cơ điện là loại động cơ có hiệu suất cao nhất trong các loại động cơ

) 2 ( ) 1 (

vdmsdams

2 )

2 ( ) 1 (

) 2 ( ) 1

mvdvdvmvddt

sdm

2

mv 2

Vậy: Động năng của một chất điểm là năng lượng tương ứng với sự chuyển động của

chất điểm đó, có giá trị bằng nửa tích khối lượng với bình phương vận tốc của chất điểm

2

mv2

Trong hệ SI, động năng có đơn vị jun (J)

Đối với hệ chất điểm, động năng của hệ bằng tổng động năng của các chất

i

2 i

iv m 2

2 G

2 G i

2 i i

2

1mv2

1vm2

1vm2

1

với m là khối lượng vật rắn, vG là vận tốc tịnh tiến của khối tâm

Trong chuyển động quay của vật rắn quanh trục ∆ cố định, so sánh (4.14) và (4.22) ta có động năng quay: q I 2

G

2 G q

2

1mv2

1EE

Ví dụ 4.6: Một quả cầu đặc đồng nhất, khối lượng m = 5kg đang lăn (không trượt) với

vận tốc 2m/s Tính động năng của quả cầu

Giải

Chuyển động của quả cầu được phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến của khối tâm G với vận tốc v = 2m/s và quay quanh khối tâm G với vận tốc góc ω = v/R (do lăn không trượt nên vận tốc dài của điểm tiếp xúc bằng với vận tốc tịnh tiến của khối tâm)

G

2 G q

2

1mv2

1EE

1mR

5

2.2

1mv2

2 – Định lý về động năng:

Từ (4.24) ta có định lý: “Độ biến thiên động năng của vật (hay hệ vật) sau

một quá trình nào đó bằng tổng công của các ngoại lực tác dụng vào vật (hay hệ vật) trong quá trình đó”: ∆Eđ = E2 – E1 =

2

mv 2

1

2

2 − = A12 (4.30)

Ví dụ 4.7: Một ô tô khối lượng 2 tấn đang chuyển động

trên đường ngang với vận tốc 72km/h thì hãm phanh rồi

dừng lại Tính động năng ban đầu của ô tô và công của lực

hãm sinh ra trong quá trình đó (coi ôtô như một chất điểm)

1 2 3 2 5

Động năng lúc sau: Eđ2 = 0 (vì dừng lại)

Áp dụng định lí động năng: ∆Eđ = Angoại lực = AN + Ap + Ah

Vì trọng lực và phản lực vuông góc với đường đi nên:

năng của trường lực thế đó

Vậy, Thế năng của chất điểm trong trường lực thế là hàm phụ thuộc vào vị trí của chất điểm, sao cho hiệu các giá trị của hàm tại hai điểm M, N chính bằng công của lực thế đã thực hiện trong quá trình chất điểm di chuyển từ M đến N

) (

E →

Et (M) – Et (N) = AMN (4.31) Trong hệ SI, thế năng có đơn vị là jun (J)

Với khái niệm (4.31), ta thấy có rất nhiều hàm thế, các hàm này sai khác nhau một hằng số cộng C Do đó, thế năng của vật không xác định đơn giá mà sai khác nhau một hằng số cộng Tuy nhiên, hiệu thế năng tại hai điểm luôn xác định đơn giá

Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng (Et(∞) = 0) thì thế năng tại điểm M sẽ xác định đơn giá và có biểu thức tính: E ( M ) = A ∞ = ∞ →∫ F d→s (4.32)

) M ( M t

Tổng quát, thế năng tại điểm M(x,y,z) trong trường lực thế có biểu thức tính:

(4.33) C

r d F s

d F ) M (

Et = − ∫→ →= − ∫→ → +với C hà hằng số, phụ thuộc vào điểm chọn gốc thế năng

Ví dụ 4.8: Một trường lực hút xuyên tâm mà độ lớn của lực tỉ lệ nghịch với bình

phương khoảng cách từ điểm khảo sát đến tâm trường Tìm thế năng của trường lực này trong hai trường hợp: a) chọn gốc thế năng ở vô cùng; b) chọn gốc thế năng tại điểm Mo cách tâm trường một khoảng ro

Giải

Theo bài, ta có:

r

r r

= , với k là hệ số tỉ lệ, k > 0 Dấu “–“ biểu diễn lực hút

a) Chọn gốc thế năng ở vô cùng, theo (4.31) thì thế năng tại điểm M cách tâm trường một khoảng r là:

r r

k r

dr k r

r d r k r d F s d F E

r

k C r

dr k C r d F )

M (

Et = − ∫→ → + = ∫ 2 + = − +

vì

0 0

0

t

r

kC0Cr

k0

k)M(E

0

2 – Quan hệ giữa thế năng và lực thế:

So sánh (4.31) và (4.2) ta có mối quan hệ giữa thế năng và lực thế ở dạng tích

Vậy: Lưu thông của lực thế dọc theo một đường cong bất kì từ điểm M đến N bằng

hiệu thế năng giữa hai điểm đó Lưu thông của lực thế dọc theo một đường cong kín

) C (

=

Các công thức (4.34) và (4.35) biểu diễn tính chất thế của trường lực ở dạng

tích phân Ở dạng vi phân, ta có: A12 = Et1 – Et2 = - ∆Et hay dA = - dEt

Et t t

∂

∂+

∂

∂+

;y

EF

;x

E

z

t y

Trong giải tích vectơ, người ta xây dựng một vectơ grad dẫn xuất từ một hàm vô

∂

∂+

∂

∂+

Ei.x

E)E(grad t t t

Do đó (4.36) được viết là: →F=−grad(Et) (4.38) (4.36) và (4.38) là mối quan hệ giữa lực thế →F và thế năng Et ở dạng vi phân Vì gradEt là vectơ luôn hướng theo chiều tăng của hàm thế nên lực thế luôn hướng theo chiều giảm của hàm thế

→

FTrường hợp riêng, thế năng chỉ là hàm một biến, ví dụ Et = Et( x ), thì ta có:

dx

) x ( dE

Ví dụ 4.9: Thế năng của một hạt trong trường lực thế có dạng:

r

br

a

Et = 2 − , với a, b

là những hằng số và r là khoảng cách từ hạt đến tâm trường Hãy xác định giá trị ro

ứng với vị trí cân bằng của hạt; vị trí cân bằng đó có bền không?

Giải

(4.38a) suy ra lực thế là: t 3 2

r

b r

a 2 dr

Từ bảng biến thiên ta thấy, ứng với giá trị ro thì thế năng đạt cực tiểu Vậy vị trí cân

bằng này là bền

3 – Thế năng của lực đàn hồi:

So sánh (4.31) và (4.7) suy ra, thế năng của lực đàn hồi là:

Et =

2

1

kx2 + C (4.39) Trong đó x là độ biến dạng của lò xo, đơn vị đo là mét (m) ; k là độ cứng (hay hệ số đàn hồi) của lò xo, đơn vị đo là (N/m)

Nếu chọn gốc thế năng tại vị trí mà lò xo không biến dạng thì ta có:

m m G ) (

với h là độ cao của vật so với mặt đất

Nếu chọn gốc thế năng tại mặt đất thì: Et = mgh (4.44)

§ 4.6 ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG TRONG TRƯỜNG LỰC THẾ

1 – Cơ năng – định luật bảo toàn cơ năng:

Trong trường lực thế, ta gọi cơ năng của vật là tổng động năng và thế năng

Từ các công thức (4.30) và (4.31), ta có: A12 = Eđ2 – Eđ1 ; A12 = Et1 – Et2

Suy ra : Eđ2 – Eđ1 = Et1 – Et2 hay Eđ2 + Et2 = Eđ1 + Et1 nghĩa là E2 = E1Vậy : E = Eđ + Et = const (4.46)

Định luật bảo tòan cơ năng: “Khi chất điểm chuyển động chỉ dưới tác dụng của lực

thế thì cơ năng của nó được bảo toàn”

Trường hợp riêng, khi vật chuyển động chỉ dưới tác dụng của trọng trường

21