G.A TS10-Chủ đề 5: Nâng cao

Chủ đề 5: TOÁN NÂNG CAO Hoạt động Nội dung Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau: P = 1xx x 2 2 +− +1 HD: Ta có: x 2 – x + 1 = 0 4 3 2 1 - x 2 >+       với mọi x => P = ( ) 1x3 33x 2 2 +− + x = ( ) ( ) 13 1212 2 22 +− ++++− xx xxxx = ( ) ( ) 2 2 x 1 2 3 3 x x 1 + + − + 3 2 ≥ Giá trò nhỏ nhất của P là 3 2 khi x + 1 = 0 ⇒ x = -1 P = 2 2 2 2x -2x+2-x +2x-1 x -x+1 = ( ) ( ) 1 112 2 2 2 +− −−+− xx xxx = ( ) 1 1 2 2 2 +− − − xx x ≤ 2 Giá trò lớn nhất của P là 2 khi x – 1 = 0 ⇒ x = 1 Bài 2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn: 12x 2 + 6xy + 3y 2 = 28(x + y) HD: Ta có: 12x 2 + 6xy + 3y 2 = 28(x + y) <=> 3y 2 + 2(3x – 14)y + 12x 2 – 28x = 0 (1) Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ∆ ’ là số chính phương. Ta có: ∆ ’ = (3x – 14) 2 –36x 2 + 84x = k 2 ≥ 0 –27x 2 + 196 = k 2 ≥ 0 ⇒ 27x 2 ≤ 196 ⇒ x 2 ≤ 7 ⇒ x ∈ { } 0; 1 ; 2± ± Nếu x = 0 thì y = 0; x = 1 thì y = 8; x = -1 thì y = 10; x = ± 2 thì y ∉ Z Vậy các cặp số (x; y) thoả mãn đề bài là (0; 0); (1; 8); (-1; 10) Bài 3: Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn: 2 1 =+ b 1 a 1 . Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm (x 2 + ax + b)(x 2 + bx + a) = 0 HD: Xét phương trình (x 2 + ax + b) = 0 (1) có ∆ 1 = a 2 – 4b Xét phương trình (x 2 + bx + a) = 0 (2) có ∆ 2 = b 2 – 4a ∆ 1 + ∆ 2 = a 2 + b 2 – 4(a + b). mà 2 1 =+ b 1 a 1 ⇔ 2(a + b) = ab ⇒ ∆ 1 + ∆ 2 = a 2 + b 2 – 4(a + b) = a 2 + b 2 – 2ab = (a – b) 2 ≥ 0 ⇒ Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm. Do đó phương trình (x 2 + ax + b)(x 2 + bx + a) = 0 luôn luôn có nghiệm Bài 4: Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương HD: Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3 với x nguyên dương Giả sử x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = k 2 <=> (x 2 + 3x)(x 2 + 3x + 2) = k 2 <=> (x 2 + 3x + 1) 2 – 1 = k 2 (x 2 + 3x + 1) 2 và k 2 là hai số chính phương hơn kém nhau 1 đơn vò nên (x 2 + 3x + 1) 2 = 1 và k 2 = 0 ⇒ x = 0; x = -3 trái với giả thiết Vậy tích của bốn số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương Bài 5: Cho 3 số dương x; y; z thoả mãn x + y + z = 1. C.minh: HD: Từ x + y + z = 1 suy ra (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) = 1 222 23 zyx zxyzxy ++ + ++ > 14 2 2 2 3 3( ) 6( )x y z xy yz zx xy yz zx xy yz zx + + + + + = + + + + = ( ) 6 3 222 + ++ ++ zxyzxy zyx ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 x y z xy yz zx x y z x y z + + + + + = + + + + = 2 + ( ) 222 4 zyx zxyzxy ++ ++ Áp dụng bất đẳng thức CauChy ta cho hai số dương ta có: 222 23 zyx zxyzxy ++ + ++ ≥ 6 + 2 + ( ) ( ) 222 222 43 2 zyx zxyzxy zxyzxy zyx ++ ++ ⋅ ++ ++ = 8 + 2 12 > 8 + 2 9 = 14 Bài 6: Biết ( ) ( ) 2 2 x 5 x y 5 y 5+ + + + = . Tính x + y HD: Ta có: ( ) ( ) 2 2 x 5 x y 5 y 5+ + + + = (1) Nhân cả hai vế của (1) với 2 x 5 x+ − ta được: 5 ( ) yy ++ 5 2 = 5 ( ) xx −+ 5 2 hay x + y = ( ) 5 2 +x – ( ) 5 2 +y (2) Nhân cả hai vế của (1) với yy −+ 5 2 ta được: 5 ( ) 2 x 5 x+ + = 5 ( ) 2 y +5-y hay x + y = ( ) 5 2 +y – ( ) 5 2 +x (3) Cộng (2) và (3) vế theo vế ta được: 2(x + y) = 0 Vậy x + y = 0 Bài 8: Cho tam giác ABC cân có: µ A = 108 0 . Tính AC BC HD: Lấy trên cạnh BC điểm D sao cho CD = AC = AB ∆ ABC ∆ DBA ⇒ BA BD BA DCBD BA BC DB AB += + == 1 Đặt DB AB = x > 0 ⇒ x = 1 + x 1 ⇒ x 2 – x – 1 = 0 ⇒ x = 2 51+ Vậy AC BC = 2 51+ Bài 10 : Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của y = 7x5x x 2 2 +− HD: Ta có: y = 7x5x x 2 2 +− ⇔ (y – 1)x 2 – 5yx + 7y = 0 (1) (1) có nghiệm khi ∆ = –3y 2 + 28y ≥ 0 ⇔ 0 ≤ y ≤ 3 28 Vậy GTNN của y là 0 kh x = 0; GTLN của y là 28 3 khi x = 5 14 Bài tập về nhà Bài 1: Tính: 33 2142021420 −++ HD: Đặt x = 33 2142021420 −++ 36 0 36 0 0 36 D CB A => x 3 = 20 + 14 2 + 20 – 14 2 + 3x 3 21420 + 3 21420 − = 40 + 6x <=> x 3 – 6x – 40 = 0 <=> x 3 – 4x 2 + 4x 2 – 16x + 10x – 40 = 0 <=> x 2 (x – 4) + 4x(x – 4) + 10(x – 4) = 0 <=> (x – 4)(x 2 + 4x + 10) = 0 Vì x 2 + 4x + 10 = (x + 2) 2 + 6 > 0 nên x – 4 = 0 ⇒ x = 4 Bài 2: Giải phương trình: 18549549 =       ++       − xx Ta có: 549 + = 1 9 4 5− . Đặt ( ) 9 4 5 x − = t > 0 ⇒ t + t 1 = 18 ⇒ t = 9 ± 4 5 ⇒ x = ± 2 Bài 3: Cho 2a + 3b = 5. Chứng minh: 2a 2 + 3b 2 ≥ 5 HD: Ta có: 2a + 3b = 5 ⇒ a = 2 3b-5 ⇒ 2a 2 + 3b 2 = 15 2 (b – 1) 2 + 5 ≥ 5 Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 Bài 4: Tìm các số nguyên x; y thoả mãn: x 2 y 2 – x 2 – 8y 2 = 2xy HD: Ta có: x 2 y 2 – x 2 – 8y 2 = 2xy (1) Ta có: x = y = 0 là một nghiệm của phương trình (1) Xét x; y ≠ 0 . Từ (1) ⇔ y 2 (x 2 – 7) = (x + y) 2 ⇒ x 2 – 7 là số chính phương ⇒ x 2 – 7 = a 2 ⇒ (x – a)(x + a) = 7 Kết quả: (x; y) = (0; 0) ; (4; -1) ; (4; 2) ; (-4; 1) ; (-4; -2) Bài 5: Cho hai số dương x; y. Biết tổng của chúng bằng 6 lần trung bình nhân của chúng. Tính tỉ số y x HD: Ta có: x + y = 6 xy . Chia cả hai vế cho y ta được: y x + 1 = 6 x y . Đặt t = y x > 0 ta có phương trình:t 2 – 6t + 1 = 0. Giải phương trình ta được hai nghiệm t 1 = 3 + 2 2 và t 2 = 3 – 2 2 Vậy y x = t 2 = 17 ± 12 2 RÚT KINH NGHIỆM : . Chủ đề 5: TOÁN NÂNG CAO Hoạt động Nội dung Bài 1: Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất c a biểu thức sau: P = 1xx x 2 2 +− +1 HD: Ta có: x 2 – x + 1 = 0 4 3 2 1 - x 2 >+       với. 8: Cho tam giác ABC cân có: µ A = 108 0 . Tính AC BC HD: Lấy trên cạnh BC điểm D sao cho CD = AC = AB ∆ ABC ∆ DBA ⇒ BA BD BA DCBD BA BC DB AB += + == 1 Đặt DB AB = x > 0 ⇒ x = 1. nghiệm Bài 4: Chứng minh rằng tích c a 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phương HD: G i bốn số nguyên dương liên tiếp là x; x + 1; x + 2; x + 3 với x nguyên dương Giả sử x(x + 1)(x