phòng gd&đt lang chánh đề thi hoc sinh giỏi cấp huyện trờng thcs quang hiến năm học 2009 2010 Môn thi: Toán 9 thời gian 180 phút Câu 1: Cho biểu thức P = 41 3 22 : 9 33 33 2 + + + + x x x x x x x x a. Tính giá trị của biểu thức P khi x = 128181223.226 +++ b. Tìm x Z để P Z c. Tìm điều kiện của x để P đạt giá trị nhỏ nhất ? Câu 2: Giải các phơng trình sau: a. 3 21 xx = 5 b. 20064 x = x 2 2021x + 4082410 Câu 3: Cho phơng trình: 2x 2 + 2 ( m + 1 )x + m 2 + 4m + 3 = 0 (1) a. Giải phơng trình (1) khi m = - 3 b. Tìm điều kiện của m để (1) có nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 3x 1 2 + 3x 2 2 + 4x 1 x 2 = 4 c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = 2121 22 xxxx Câu 4: Cho các điểm A ( -2; 0), B ( 0; 4), C (1;1), D(-3;-2) a. Chứng minh: 3 điểm A, B, D thẳng hằng, 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. b. Tính diện tích tam giác ABC ? Câu 5: 1. Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính CD = 2R . Điểm M di động trên đoạn OC . Vẽ đờng tròn tâm (O ) đờng kính MD . Gọi I là trung điểm của đoạn MC , đờng thẳng qua I vuông góc với CD cắt (O) tại E và F . Đờng thẳng ED cắt (O ) tại P . a. Chứng minh 3 điểm P, M , F thẳng hàng. b. Chứng minh IP là tiếp tuyến của đờng tròn (O ). c. Tìm vị trí của M trên OC để diện tích tam giác IPO lớn nhất. 2. Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b, )90( 0 == A Chứng minh rằng AI = cb Cosbc + 2 .2 (Cho Sin2 CosSin2= ) Câu 6: 1. Cho x,y thỏa mãn: ( ) 2010)2010(2010 22 =++++ yyxx Tính giá trị của biểu thức: T = x 2009 + y 2009 2. Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x 2 + y 2 x 3 + y 4 . Chứng minh: x 3 + y 3 x 2 + y 2 x + y 2 đáp án Câu 1 3đ a. Đk 9 0 x x Rút gọn P = 3 3 4 + x Khai Phơng x= ( ) 2 31 + Thay giá trị x ( ) 2 31 + vào P = 13 32964 + b. Để P Z khi và chỉ khi = =+ =+ =+ =+ 0 33 33 13 13 x x x x x c. Để P nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 0 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 2 3đ a. Đk x 1 Đặt = = bx ax 3 2 1 ( 0a ) Ta đợc HPT =+ = )2(1 )1(5 32 ba ba Thế (1) vào (2) ta đợc: b 3 + 2b 2 +10b + 24 = 0 (b+2)(b 2 - b + 12) = 0 b = -2 Thay b = - 2 vào (1) ta đợc a = 3 Vậy phơng trình có nghiệm x = 10 b. 20064 x = x 2 2021x + 4082410 -( x + 2006 + 4 2006x +4) = x 2 - 2020 x + 4080400 - ( 2006x - 2) 2 = ( x - 2010) 2 x = 2010 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu 3 3đ a. Thay m = -3 vào (1) Phơng trình trở thành 2x 2 - 4x = 0 = = 2 0 x x b. ĐK để pt có nghiệm - 5 m - 1 Khi đó (1) có 2 nghiện x 1 , x 2 .Theo hệ thức viet ta có: ++ = = 2 34 1 2 2 1 mm x mx (2) Thay (2) vào 3x 1 2 + 3x 1 2 + 4x 1 x 2 = 4 ta đợc m 2 + m - 2 = 0 m = -2 Vậy m = - 2 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 c. Thay (2) vào M = 2 78 2 ++ mm do - 5 m - 1 2 9 2 )4(9 2 78 22 + = ++ = mmm M Vậy Max M = 2 9 khi m = - 4 (nhận) 0.5 Câu 4 2đ a. Phơng trình đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b Để (d) đi qua 2 điểm A, B khi HPT sau có nghiệm = = = =+ 4 2 4 02 b a b ba Vậy d: y = 2x + 4 Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C (d) A, B, C không thẳng hàng. Điểm D(-3;-2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đờng thẳng AB A,B,D thẳng hàng b.Ta có : AB 2 = (-2 0) 2 + (0 4) 2 =20 AC 2 = (-2 1) 2 + (0 1) 2 =10 BC 2 = (0 1) 2 + (4 1) 2 = 10 AB 2 = AC 2 + BC 2 ABC vuông tại C Vậy S ABC = 1/2AC.BC = 510.10 2 1 = ( đơn vị diện tích ) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 Câu 5 4đ a) Do P (O ) mà MD = 2R suy ra MPD = 90 0 hay MP ED. Tơng tự CE ED. Từ đó PM // EC. (1) Vì EF là dây cung, CD = 2R mà CD EF nên IE = IF. Mà IC = IM nên tứ giác CEMF là hình bình hành. Vậy FM//CE.(2). Từ (1) và (2) suy ra P, M , F thẳng hàng. (Tiên đề ơclit ) b) Ta có EDC = EFP (cùng phụ IED ). Do tam giác PO D cân tại O nên EDC = O PD. Lại có EFP = IPF (PI là trung tuyến của tam giác vuông EPF) => I PF = O PD mà FPD =1v suy ra IPO =90 0 nên IP O P. Hay IP là tiếp tuyến của (O ). c) Vì O M =1/2 MD và IM =1/2MC nên IO =1/2 CD vậyIO =R. áp dụng định lý Pytago có PI 2 + PO 2 = IO 2 =R 2 (không đổi ) . Mặt khác 4S 2 =PI 2 .PO 2 ( S là diện tích của tam giác IOP) . Vậy 4S 2 Max hay S Max khi PI = PO =R 2 1 mà DM =2 PO do đó DM = 2 R , Vậy M cách D một khoảng bằng 2 R. 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 025 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 E P C I M O O’ D F 1® + ; 2 . 2 1 α cSinAIS ABI = ∆ A + ; 2 . 2 1 α bSinAIS AIC = ∆ B I C + ; 2 1 α bcSinS ABC = ∆ AICABIABC SSS ∆∆∆ += cb bcCos cbSin bcSin AI cbAISinbcSin + = + =⇒ +=⇒ 2 2 )( 2 )( 2 α α α α α 0.25 0.25 0.25 0.25 C©u 6 a. ( ) 2010)2010(2010 22 =++++ yyxx Ta cã ( ) ( ) ( )( ) ( ) −+=++ −+=++ ⇒ =−+++ =−+++ xxyy yyxx yyyy xxxx 22 22 22 22 20102010 20102010 201020102010 201020102010 T = x 2009 + (-x) 2009 = 0 2. Ta cã (y 2 - y) + 2 ≥ 0 ⇒ 2y 3 ≤ y 4 + y 2 ⇒ (x 3 + y 2 ) + (x 2 + y 3 ) ≤ (x 2 + y 2 ) + (y 4 + x 3 ) mµ x 3 + y 4 ≤ x 2 + y 3 do ®ã x 3 + y 3 ≤ x 2 + y 2 (1) + Ta cã: x(x - 1) 2 ≥ 0: y(y + 1)(y - 1) 2 ≥ 0 ⇒ x(x - 1) 2 + y(y + 1)(y - 1) 2 ≥ 0 ⇒ x 3 - 2x 2 + x + y 4 - y 3 - y 2 + y ≥ 0 ⇒ (x 2 + y 2 ) + (x 2 + y3) ≤ (x + y) + (x 3 + y 4 ) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 mµ x 2 + y 3 ≥ x 3 + y 4 ⇒ x 2 + y 2 ≤ x + y (2) vµ (x + 1)(x - 1) ≥ 0. (y - 1)(y 3 -1) ≥ 0 x 3 - x 2 - x + 1 + y 4 - y - y 3 + 1 ≥ 0 ⇒ (x + y) + (x 2 + y 3 ) ≤ 2 + (x 3 + y 4 ) mµ x 2 + y 3 ≥ x 3 + y 4 ⇒ x + y ≤ 2 Tõ (1) (2) vµ (3) ta cã: x 3 + y 3 ≤ x 2 + y 2 ≤ x + y ≤ 2 0.25 0.25 0.25 0.25 . phòng gd&đt lang chánh đề thi hoc sinh giỏi cấp huyện trờng thcs quang hiến năm học 2009 2010 Môn thi: Toán 9 thời gian 180 phút Câu 1: Cho biểu thức P = 41 3 22 : 9 33 33 2 + + + +