Báo cáo bài tập lớn xác suất thống kê

Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi, tính xác suất để 4 viên bi được chọn có số bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh.. Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm v

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG

KHOA CƠ BẢN I

BỘ MÔN XÁC SUẤT THÔNG KÊ

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

Hà Nội – 2024

GVHD: VŨ VĂN QUÂN

Lớp: Xác suất thống kê

Nhóm: 01

I) ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN VỀ XÁC SUẤT

Giả sử phép thử thoả mãn hai điều kiện sau: ℘

(i) Không gian mẫu có một số hữu hạn phần tử

(ii) Các kết quả xảy ra đồng khả năng

Khi đó ta định nghĩa xác suất của biến cố A là :

P(A) = Số trường hợpthuậnlợi đối với A Số trường hợpcó thể

Nếu xem biến cố A như là tập con của không gian mẫu Ω thì :

P(A) = Số phần tử của A Số phần tử của Ω

A.VÍ DỤ

Ví dụ 1: Một phòng LAB gồm 12 máy hỏng và 8 máy mới Hai bạn học sinh

vào phòng để thi CODE THCS2 Tính xác xuất để người thứ 2 ngồi vào máy mới

Giải

 Số cách 2 học sinh ngồi vào phòng là C20

1

.C19 1

trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho 4

 Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = C30

6

 Trong 30 tấm thẻ

- Có 15 tấm thẻ mang số lẻ

- Có 8 tấm thẻ mang số chẵn và không chia hết cho 4

- Có 7 tấm thẻ mang số chẵn và chia hết cho 4

 Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Ta có: n(A) = C15

4.C8.C7

 Vậy, xác suất cần tính là: P(A) = n ( A)

n (Ω)= 43556

Ví dụ 3 : Một đề thi icpc gồm 5 bài level khó và 10 bài level trung bình Giáo

viên chọn ngẫu nhiên 3 bài thi Tính xác suất để 3 bài thi gồm cả level khó và trung bình

 Ta có: n(Ω) = C15

3

 Số cách chọn 3 học sinh có cả khó và trung bình là: C5.C10

1 + C5.C10 2

 Xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là

C15 3

Ví dụ 5 : Cho đa giác đều 32 cạnh Gọi S là tập hợp các tứ giáo tọa thành có 4

đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều Chọn ngẫu nhiên một phần tử của S Tính xác suất để được một hình chữ nhật

 Số tứ giác tạo thành với 4 đỉnh lấy từ các đỉnh của đa giác đều là C32

4

 Suy ra n(S) = n(Ω) = C32

4

 Gọi A là biến cố được tứ giác là một hình chữ nhật

 Số đường chéo đa giác qua tâm của đa giác đều là: 16

 Số hình chữ nhật tạo thành:n ( A) = C16

2

 Xác suất cần tìm P(A) = n n((A Ω)) = 8993

B.BÀI TẬP

Câu 1: Một lô hàng gồm 1000 sản phẩm trong đó có 50 phế phẩm Lấy

ngẫu nhiên từ lô hàng 1 sản phẩm Xác suất để lấy được sản phẩm tốt là?

Gọi A là biến cố: “ lấy được 1 sản phẩm tốt”

Không gian mẫu =1000

n(A) =950

 Xác suất cần tìm là P(A)=1000950=0.95

Câu 2:Một hộp có 5 viên bi đỏ và 9 viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên 2 viên bi Xác suất để chọn được 2 viên bi khác màu là?

Gọi A là biến cố: “Chọn được 2 viên bi khác màu”

Không gian mẫu = 14C2=91

n(A)= 5C1.9C1=45

 Xác suất cần tìm là P(A)=4591

Câu 3Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần Xác suất để cả bốn lần đều xuất hiện mặt sấp là?

Gọi A là biến cố” Cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”

Không gian mẫu=24=16

n(A)=1.1.1.1=1

 Xác suất cần tìm là P(A)=161

Câu 4:Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối đồng chất Xác suất để tổng số chấm của hai con xúc xắc bằng 6 là?

Gọi A là biến cố: “Tổng số chấm 2 con xúc xắc là 6”

Không gian mẫu =6.6=36

Không gian mẫu = 4C3 =4

Ta có 1+3+4=8 => n(A)=1

 Xác suất cần tìm là P(A)=14

Câu 6:Một người chọn ngẫu nhiên hai chiếc giày từ bốn đôi giày cỡ khác nhau Xác suất để hai chiếc chọn được tạo thành một đôi là?Gọi A là biến cố : “ 2 chiếc được chọn được tạo 1 đôi”

Không gian mẫu =8C2=2

Ta có chiếc giày thứ nhất có 8 cách chọn, chiếc thứ hai có 1 cách chọn

để cùng đôi với chiếc thứ nhất => n(A)=8

 Xác suât cần tìm là P(A)=288=2

7

Câu 7: Một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai quả Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là?Gọi A là biến cố “ lấy được cả 2 quả trắng”

Không gian mẫu =5C2=10

n(A)=3C2

 Xác suất cần tìm là P(A)=103

Câu 8: Một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen Lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả Tính xác suất sao cho có ít nhất một quả màu trắng?

Gọi A là biến cố: “Trong bốn quả chọn được ít nhất một quả trắng”Không gian mẫu = 10C4 =210

Gọi A ngang là là biến cố: “Trong bốn quả không chọn được 1 quả trắngnào”

=>n(A ngang) =4C4=1

=> Xác suất cần tìm là P(A) =1- P(A ngang)= 1- 1

210 =209210

Câu 9:Một hộp có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp 4 viên bi, tính xác suất để 4 viên bi được chọn có số

bi đỏ lớn hơn số bi vàng và nhất thiết phải có mặt bi xanh

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp chứa 12 viên bi Suy ra số phần tử của không gian mẫu là = 12C4 =495Gọi A là biến cố “4 viên bi chọn được số bi đỏ lớn hơn số bi vàng cà nhất thiết phải có mặt bi xanh” Ta có các TH thuận lợi sau:

Câu 10: Có 3 bó hoa Bó thứ nhất có 8 hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông

hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ Chọn ngẫu nhiên 7 hoa từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ hoa, tính xác suất để trong 7 hoa được chọn có

số hoa hồng bằng số hoa ly

Không gian mẫu = 21C7=116280

Gọi A là biến cố” 7 hoa được chọn có số hoa hồng băng số hoa ly” nên

Không gian mẫu =13C3 = 286

Gọi A là biến cố “ 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ đồng thời có

cả khối 11 và khối 12” nên ta có các TH thuận lợi cho biến cố A là TH1: Chọn 1 học sinh khối 11; 1 học sinh nam khối 12 và 1 học sinh nữ khối 12 nên có 2C1.8C1.3C1 cách

TH2: Chọn 1 học sinh khối 11; 2 học sinh nữ khối 12 có 2C1.3C2 cách TH3: Chọn 2 học sinh khối 11; 1 học sinh nữ khối 12 có 2C2.3C1 cách

 n(A)=57

 Xác suât cần tìm là P(A)=28657

Câu 12:Một chiếc hộp đựng 7 viên bi màu xanh, 6 viên bi màu đen, 5 viên bi màu đỏ, 4 viên bi màu trắng Chọn ngẫu nhiên ra 4 viên bi, tính xác suất để lấy được ít nhất 2 viên bi cùng màu?

Không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 4viên bi từ 22 viên bi đã cho Suy ra số phần tử của không gian mẫu là =22C4=7315

Gọi A là biến cố '' Lấy được 4 viên bi trong đó có ít nhất hai viên bi cùng màu '' Để tìm số phần tử của A , ta đi tìm số phần tử của biến cố A ngang , với biến cố A ngang là lấy được 4 viên bi trong đó không có hai viên bi nào cùng màu

 n(A ngang) =7C1.6C1.5C1.4C1=840

 n(A)=7315-840=6475

 Xác suât cần tìm P(A) = 64757315=185

209

Câu 13: Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen Lần thứ nhất lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong hộp, lần thứ hai lấy ngẫu nhiên 1 quả cầu trong các quả cầu còn lại Tính xác suất để kết quả của hai lần lấy được 2 quả cầu cùng màu

Không gian mẫu = 20C1.19C1

Gọi A là biến cố '' 2 quả cầu được lấy cùng màu '' Ta có các trường hợp thuận lợi cho biến cố A như sau:

TH1: Lần thứ nhất lấy quả màu trắng và lần thứ hai cũng màu trắng nên

Không gian mẫu =12C2 = 66

Gọi A là biến cố '' 2 viên bi được lấy vừa khác màu vừa khác số '' nên có

có cách TH thuận lời cho biến cố A như sau:

TH1: Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi đỏ là 4.4 = 16 cáchTH2: Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi xanh và 1 bi vàng là 3.4 = 12 cách.TH3: Số cách lấy 2 viên bi gồm: 1 bi đỏ và 1 bi vàng là 3.3 = 9 cáchSuy ra số phần tử của biến cố A là n( A)= 16 +12 + 9 = 37

 Xác suất cần tim P(A) =3766

Câu 15:Một hộp chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên 6 viên bi từ hộp, tính xác suất để 6 viên bi được lấy ra có đủ

cả ba màu

Không gian mẫu =14C6=3003

Gọi A là biến cố '' 6 viên bi được lấy ra có đủ cả ba màu '' Để tìm số phần tử của biến cố A ta đi tìm số phần tử của biến cố A ngang tức là 6 viên bi lấy ra không có đủ ba màu như sau:

TH1: Chọn 6 viên bi chỉ có một màu nên TH1 có 1 cách

TH2 : Chọn 6 viên bi có đúng 2 màu xanh và đỏ có 8C6 cách

Chọn 6 viên bi có đúng 2 màu đỏ và vàng có 11C6-6C6 cách Chọn 6 viên bi có đúng 2 màu xanh và vàng có 9C6-6C6 cách

=>n(A ngang) =1 +572 =573

=> n(A) =3003-573=2430

=> xác suất cần tìm là P(A) = 24303003=810

1001

II) ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT THEO HÌNH HỌC

Giả sử không gian mẫu Ω có thể biểu diễn tương ứng với một miền nào đó có diện tích ( thể tích , độ dài ) hữu hạn và biến cố A tương ứng với một miền con của Ω thì xác suất của biến cố A được định nghĩa :

P(A) = diệntích A diệntích Ω

A.CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1:

Một hình vuông có cạnh là 4 cm, bên trong có một hình tròn nội tiếp Nếu chọn ngẫu nhiên một điểm trong hình vuông, xác suất để điểm đó rơi vào trong hình tròn là bao nhiêu?

Lời giải:

Diện tích hình vuông: S vuông = 4 2 = 16c m2

Bán kính của hình tròn nội tiếp là r = 4

Ví dụ 4:

Hai người hẹn gặp nhau ở công viên trong khoảng thời gian từ 5h10 đến 6h00 để cùng đi tập thể dục Hai người quy ước ai đến không thấy người kia sẽ chỉ chờ trong vòng 10 phút Giả sử rằng thời điểm hai người đến công viên là ngẫu nhiên trong khoảng từ 5h10 đến 6h00 Tính xác suất để hai người gặp nhau

Cho đoạn thẳng AB có độ dài 12 cm Lấy một điểm C bất kỳ trên đoạn thẳng

đó Tính xác suất chênh lệch độ dài giữa hai đoạn thẳng AC và CB không vượt quá 4cm

Lời giải:

Gọi x là độ dài AC, hiển nhiên CB = 12 − x Số kết cục đồng khả năng ở đây là

độ dài đoạn thẳng AB, chính là 12 cm

Gọi A là "chênh lệch độ dài giữa AC và CB không quá 4 cm", khi đó, A biểu thịbởi miền hình học

H = { x [0, 12] mà |x − (12 − x)| ≤ 4 } ∈

Giải bất phương trình |2x – 12| ≤ 4 suy ra 4 ≤ x ≤ 8

Vì H là đoạn thẳng có độ dài 8 − 4 = 4 (cm) nên ta dễ dàng tính P(A) theo định nghĩa hình học: P(A) = 4

Gọi x, y lần lượt là độ dài các đoạn thẳng AC, CD

Khi đó ta có DB = 12 − x − y, với điều kiện x ≥ 0, y ≥ 0, 12 − x − y ≥ 0

m trên đoạn dây.

Xác suất này sẽ được tính bằng công thức:

P = 1000100 = 0,1

Ví dụ 8:

Giả sử có một tờ giấy kẻ các đường thẳng song song cách đều nhau với khoảng cách d, và ta có một cây kim dài l (với l ≤ d) Ta thả cây kim một cách ngẫu nhiên lên tờ giấy Tính xác suất để cây kim cắt một trong các đường thẳng Gọi θ là góc giữa cây kim và các đường thẳng song song (góc này sẽ được chọn ngẫu nhiên từ khoảng 0 đến π2 )

Gọi x là khoảng cách từ tâm của cây kim đến đường thẳng gần nhất xx

(khoảng cách này là một số ngẫu nhiên từ 0 đến d2 do tính đối xứng)

Cây kim sẽ cắt một đường thẳng nếu khoảng cách từ tâm kim đến đường thẳng gần nhất nhỏ hơn hoặc bằng 12 sin(θ), tức là:

x≤ 12 sin(θ)

Để tìm xác suất cây kim cắt đường thẳng, ta cần tính tỷ lệ giữa vùng mà cây kim cắt đường thẳng so với toàn bộ không gian khả dĩ của các vị trí của cây kim.

Xác suất này sẽ được tính bằng công thức tích phân:

P = π2 d lCông thức trên được suy ra từ việc tích phân qua mọi giá trị của θ và tính đến góc ngẫu nhiên của cây kim khi nó rơi xuống tờ giấy

B.BÀI TẬP

1 Trên một vòng tròn bán kính R có một điểm A cố định Chọn ngẫu nhiên trên vòng tròn đó một điểm Tính xác suất để điểm này cách A không quá R

Điểm M có thể chọn tùy ý trên vòng tròn nên miền đồng khả năng

2 Trên đoạn thẳng OA ta chọn ngẫu nhiên hai điểm B và C có độ dàitương ứng là OB=x, OC=y (y≥x) Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài của đoạn OB

Giả sử đoạn thẳng OA có chiều dài bằng l

Với mỗi cách chọn hai điểm B và C có độ dài tương ứng

là OB=x, OC=y (y≥x) sẽ cho ta tương ứng một điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Vì: 0≤x≤l; 0≤y≤l; y≥x suy ra miền biểu diễn điểm M(x;y) là tam giác OMP như hình vẽ bên dưới

Để độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài của

đoạn OB thì y−x<x ⇒y<2x

Do đó: Miền biểu diễn các kết cục thuận lợi là tam giác ONPVậy P=diệntích ONP

diện tíchOMP=1

2

3 Xét hình vuông (H) giới hạn bởi: 0≤x≤1, 0≤y≤1 và hai đường cong: y=x và y=2 √x Lấy ngẫu nhiên một điểm M thuộc hình vuông (H) Tìm xác suất để M thuộc hình giới hạn bởi hai đường cong trên

4 Có một đoạn thẳng chiều dài l Bẻ gẫy ngẫu nhiên thành 3 đoạn Tính xác suất để 3 đoạn đó tạo thành được một tam giác.Nếu ta xem đoạn thẳng như một trục số từ O đến l, ta ký hiệu x là tọa độ điểm chia thứ nhất và y là tọa độ điểm chia thứ hai (trên trục Ol) thì đoạn thẳng được chia thành ba đoạn có độ dài tương ứng là: x, y–x và l-y

Mỗi cách chia đoạn thẳng sẽ được biểu thị bằng một

điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Ta nhận thấy 0<x<y<l nên miền đồng khả năng là tam giác OAB

Gọi X là biến cố ba đoạn tạo thành được một tam giác

Muốn tạo tam giác thì tổng hai cạnh phải lớn hơn cạnh thứ ba, do đó:

Suy ra miền thuận lợi cho X chính là tam giác ΔIJK

Vậy P ( A)= S IJK

người có thể đến chỗ hẹn vào thời điểm bất kỳ trong khoảng thời gian trên.

Gọi x là thời gian đến của A, y là thời gian đến của B (tính bằng phút)

Mọi kết cục đồng khả năng là mọi cặp số (x;y) mà 0≤x≤60, 0≤y≤60.Tập hợp này được biểu diễn bởi hình vuông OIJK (như hình vẽ)

Các kết cục thích hợp cho hai người gặp nhau là những

cặp (x;y) sao cho: |x–y|≤20 ⇔x−20≤y≤x+20

Trên hình vẽ, tập hợp này ứng với miền con của hình vuông OIJK,gồm phần nằm giữa các đường thẳng y=x+20 và y=x–20

Vậy xác suất phải tìm bằng:

P A( )=60

2

−40 2

60 2 =59

6 Trên mặt phẳng kẻ sẵn các đường thẳng song song cách đều nhau một khoảng có độ dài 2a, người ta gieo ngẫu nhiên một chiếc kim dài 2l (l<a) Tính xác suất sao cho kim cắt một đường thẳng trong số những đường thẳng đó

Gọi x là khoảng cách từ trung điểm của kim đến đường thẳng song song gần nhất và φ là góc mà kim tạo với các đường này

Ta có: 0≤x≤a, 0≤ φ ≤π

Do đó có thể biểu diễn miền đồng khả năng bởi một hình chữ nhật

Đáp số: 12

8 Giả sử có một hình vuông với cạnh dài 10 cm Bên trong hình vuông, ta vẽ một hình tròn nội tiếp (hình tròn lớn nhất có thể nằm hoàn toàn bên trong hình vuông) Chọn ngẫu nhiên một điểm tronghình vuông, tính xác suất để điểm đó nằm trong hình tròn

có thể nằm hoàn toàn bên trong hình chữ nhật) Chọn ngẫu nhiên một điểm trong hình chữ nhật, tính xác suất để điểm đó nằm trong hình elip

10 Giả sử có hai hình tròn đồng tâm: hình tròn nhỏ có bán kính

3 cm và hình tròn lớn có bán kính 6 cm Nếu chọn ngẫu nhiên một điểm trong hình tròn lớn, tính xác suất để điểm đó nằm trong vùng giữa hai hình tròn (vùng nằm ngoài hình tròn nhỏ nhưng bên tronghình tròn lớn)

P=S vuông

s =1

π

13 Cho một mục tiêu có hình tròn với bán kính 12 cm Trong mục tiêu này, có một vùng hồng tâm hình tròn đồng tâm với bán kính 3 cm Nếu một người bắn ngẫu nhiên một viên đạn vào mục tiêu, tính xác suất để viên đạn rơi trúng vùng hồng tâm.

Vị trí mục tiêu: Sau 2 giây, mục tiêu đã di chuyển thêm được:

Δx=5×2=10 mVậy, nếu mục tiêu có thể xuất phát từ bất kỳ vị trí nào trên đoạn thẳng dài 100 m, thì sau khi viên đạn đến, mục tiêu có thể nằm ở bất kỳ vị trí nào trong một đoạn dài 10 m

Xác suất trúng mục tiêu: Nếu viên đạn nhắm chính xác vào vị trí ban đầu của mục tiêu, xác suất để mục tiêu vẫn nằm trong khoảng

mà viên đạn có thể trúng được (trong khoảng 10 m) là:

P=10

100 =0.1

III) XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Định nghĩa và các tính chất của xác suất có điều kiện

Xác suất của biến cố B được tính trong điều kiện biết rằng biến cố A đã xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A, ký hiệu P(B|A)

Công thức xác suất đầy đủ :

Giả sử , A A A 1 2 , , n là một hệ đầy đủ các biến cố, khi đó với mọi biến  

cố B của cùng một phép thử, ta có :

A.VÍ DỤ

Ví dụ 1: Một công ty có 2 loại sản phẩm A và B Tỉ lệ sản phẩm A bị lỗi là 5%,

trong khi tỉ lệ sản phẩm B bị lỗi là 10% Nếu một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên và nó bị lỗi, xác suất để sản phẩm đó là loại A là bao nhiêu(trong đó số sản phẩm A chiếm 60% tổng số sản phẩm, số sản phẩm B chiếm 40% tổng số sản phẩm)?

Giải

Gọi C là biến cố “sản phẩm được chọn là loại A”

Gọi D là biến cố “chọn được sản phẩm và bị lỗi”

=> CD là biến cố chọn được sản phẩm A và nó bị lỗi

P(CD)=0.6*0.05=0.03

Gọi A là biến cố “lấy được lần 2 là phế phẩm”

Gọi B là biến cố “lấy được lần 1 là chính phẩm”

Vậy xác suất để lấy được lần 2 là phế phẩm là 11920

Ví dụ 3: Trong một ngăn kéo lưu hồ sơ sinh viên của trường Học viện Công

nghệ bưu chính viễn thông có 9 hồ sơ đã được duyệt và 4 hồ sơ chưa được duyệt Lấy ngẫu nhiên 2 hồ sơ sinh viên để kiểm tra Sau đó lấy tiếp 2 hồ sơ khác để kiểm tra.Tính xác suất để cả hai lần đều lấy được hồ sơ chưa được duyệt

Giải

Gọi Ai là biến cố “lần i lấy được 2 hồ sơ sinh viên chưa được duyệt (i=1, 2)”Gọi A là biến cố “cả 2 lần lấy được hồ sơ sinh viên chưa được duyệt”Theo định lý nhân ta có:

Vậy xác suất để cả 2 lần đều lấy được hồ sơ đã được duyệt là 126715

Ví dụ 4: Một thùng hàng loại I gồm 20 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B,

thùng hàng loại II gồm 19 sản phẩm loại A và 2 sản phẩm B Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm ở thùng I bỏ vào thùng II Sau đó lấy ngẫu nhiên từ thùng 2 ra một sảnphẩm Xác suất để lấy được một sản phẩm A từ thùng hàng 2?

Giải

Gọi A là biến cố “lấy được sản phẩm bất kì ở thùng 1”

Gọi A1 là biến cố “lấy được sản phẩm A ở thùng 1”

Gọi B là biến cố “lấy được sản phẩm A từ thùng hàng 2”

Áp dụng công thức tính xác suất đầy đủ:

Vậy xác suất để lấy được một sản phẩm A từ thùng hàng 2 là 109

Ví dụ 5: Một người mua buôn 15 chiếc điện thoại di động Anh ta đồng ý mua

15 điện thoại này với điều kiện anh sẽ kiểm tra ngẫu nhiên 4 chiếc và không có chiếc nào bị lỗi Chủ cửa hàng đưa ra một lô hàng gồm 15 máy điện thoại trong

đó có 3 chiếc bị lỗi Tính xác suất để chủ cửa hàng bán được lô hàng?

Vậy xác suất để cửa hàng bán được lô hàng là:0.0000114

Ví dụ 6: Có hai thùng đựng sách Thùng I có 12 sách Đại số và 3 sách giải tích;

thùng II có 10 sách Đại số và 5 sách Giải tích Lấy ngẫu nhiên một sách từ Thùng II bỏ sang Thùng I Sau đó lại lấy ngẫu nhiên một sách từ Thùng I ra kiểm tra thì được là sách Giải tích Tính xác suất để sách bỏ từ Thùng II sang Thùng I là Đại số

Giải

Gọi A là biến cố “ lấy sách từ thùng II sang thùng I là Đại số”

Gọi B là biến cố “ lấy ngẫu nhiên một sách từ Thùng I và là sách Giải tích”

Vậy xác suất để sách bỏ từ thùng II sang thùng I là sách Đại số là 3

5

Ví dụ 7: Biết tỉ lệ người có nhóm máu O, A, B và AB trong cộng đồng tương

ứng là: 34%, 37%, 21%, 8% Người có nhóm máu O, A, B chỉ có thể nhận máucủa người cùng nhóm với mình hoặc nhận từ người có nhóm máu O, còn người

có nhóm máu AB có thể nhận máu từ bất cứ một người có nhóm máu nào Cómột người cần tiếp máu và một người cho máu Tính xác suất để người cho máu

có nhóm máu A và sự truyền máu thực hiện

Giải

Để sự truyền máu được thực hiện thì người nhận phải có nhóm máu A hoặc nhóm máu AB

Gọi A1 là biến cố “người có nhóm máu A”

Gọi A2 là biến cố “người có nhóm máu AB”

Gọi B là biến cố “ người cho máu có nhóm máu A và sự truyền máu thực hiện”

Ví dụ 8: Một lô hàng có 15 sản phẩm trong đó có 5 sản phẩm loại 1, 5 sản

phẩm loại 2 và 5 sản phẩm loại 3 (bằng mắt thường không phân biệt được loại của sản phẩm) Một khách hàng mua ngẫu nhiên 1 sản phẩm, sau đó một khách

hàng thứ hai mua ngẫu nhiên 2 sản phẩm Tìm xác suất để khách hàng thứ hai mua được 2 sản phẩm loại 2.

Giải:

Gọi A là biến cố “ khách hàng thứ nhất mua ngẫu nhiên được sản phẩm bất kì”Gọi A1 là biến cố “ khách hàng thứ nhất mua ngẫu nhiên được sản phẩm loại 1”Gọi A2 là biến cố “ khách hàng thứ nhất mua ngẫu nhiên được sản phẩm loại 2”Gọi A3 là biến cố “ khách hàng thứ nhất mua ngẫu nhiên được sản phẩm loại 3”Gọi B là biến cố “ khách hàng thứ hau mua được 2 sản phẩm loại 2”

Áp dụng công thức tính xác suất đầy đủ:

P ( A 2)= C5

C151 =1

3 = ¿P (B∨ A 2)= C4

C214=691

Thay lần lượt vào (1) ta được:

Vậy xác suất để khách hàng thứ 2 mua được 2 sản phẩm loại 2 là 212

B.BÀI TẬP

Bài 1: Một hệ thống bảo mật có hai tầng kiểm tra phần mềm độc hại Tầng 1

phát hiện đúng phần mềm độc hại với xác suất 85%, và tầng 2 phát hiện đúng với xác suất 90% Nếu một phần mềm độc hại được kiểm tra, 70% trường hợp

nó sẽ qua tầng 1 trước, và 30% sẽ qua tầng 2 trước Tính xác suất để một phần mềm độc hại được phát hiện

Hướng dẫn giải:

Gọi:

 A1: Phần mềm độc hại được phát hiện bởi tầng 1.

 A2: Phần mềm độc hại được phát hiện bởi tầng 2

Suy ra: P(A1) = 0.85, P(A2) = 0.9

Xác suất phát hiện ra phần mềm độc hại ở tầng 1:

P(A1) = P ( phát hiệnt 1)

P (quatầng 1) =

P ( phát hiệnt 1)

0.7 = ¿P (phát hiệnt 1)

Xác suất phát hiện ra phần mềm độc hại ở tầng 2:

P(A2) = P P ( phát hiệnt 2) (quatầng 2)=P (phát hiệnt 2)

0.3 = ¿P ( phát hiệnt 2)

P(phát hiện) = P(phát hiện t1) + P(phát hiện t2) = 0.85 * 0.7 + 0.9 * 0.3 = 0.865

Bài 2: Trong một hệ thống lưu trữ phân tán, có hai trung tâm dữ liệu (DC) DC1

có 60% xác suất lưu trữ một file, trong khi DC2 có 40% Xác suất một file bị mất nếu lưu ở DC1 là 5%, và nếu lưu ở DC2 là 8% Tính xác suất để file bị mất nếu nó đã được lưu trữ

Hướng dẫn giải:

Gọi:

 L1: File được lưu ở DC1

 L2: File được lưu ở DC2

Bài 3: Một hệ thống bảo mật có 5 phương thức xác thực khác nhau, nhưng chỉ

có 1 phương thức đúng để người dùng truy cập vào hệ thống Người dùng không biết phương thức đúng và thử ngẫu nhiên từng phương thức (không thử lại phương thức đã sai) Tính xác suất để người dùng thành công trong việc đăng nhập vào hệ thống ở lần thử thứ ba

Hướng dẫn giải:

Gọi: A1 là biến cố “đăng nhập đúng ở lần đầu tiên”

Bài 4: Một hệ thống phần mềm có 20 lỗi đã được phát hiện, trong đó có 3 lỗi

nghiêm trọng Một nhóm kiểm thử chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 lỗi để sửa chữa Tính xác suất để cả 2 lỗi được chọn đều là lỗi nghiêm trọng

Hướng dẫn giải:

Gọi: A1 là biến cố “lần đầu phát hiện lỗi nghiêm trọng”

A2 là biến cố “lần thứ 2 phát hiện lỗi nghiêm trọng”

Bài 5: Có hai phiên bản phần mềm được phát hành Phiên bản 1 có 1200 dòng

mã, trong đó có 30 lỗi Phiên bản 2 có 2500 dòng mã, trong đó có 50 lỗi Một dòng mã được chọn ngẫu nhiên và xác định rằng đó là một dòng có lỗi Tính xác suất dòng mã bị lỗi này đến từ phiên bản 1

Hướng dẫn giải:

Gọi: A là biến cố “dòng mã của phiên bản 1”

B là biến cố “dòng mã được chọn là dòng mã lỗi”

Bài 6: Một hệ thống truyền thông gửi dữ liệu từ hai nguồn, Nguồn A và Nguồn

B Nguồn A gửi 70% dữ liệu và Nguồn B gửi 30% dữ liệu Tỷ lệ mất dữ liệu ở Nguồn A là 2% và ở Nguồn B là 5% Nếu một gói tin bị mất, tính xác suất nó đến từ Nguồn A

Hướng dẫn giải: