Dãy các phép thử lặp lại, độc lập, trong mỗi phép thử xác suất xuất hiện của biến cố A không đổi P(A) = p , ( 0<p<1) được gọi là dãy phép thử Bernoulli . p là xác suất thành công trong mỗi lần thử .
Xác suất của biến cố “ A xuất hiện ra đúng k lần trong n phép thử “
Khi k tăng từ 0 đến n thì mới đầu tăng sau đó giảm và đạt giá trị lớn nhất tại k=m thoả mãn :
m được gọi là số lần xuất hiện có khả năng nhất A.VÍ DỤ
Ví dụ 1: Xác suất một người học ngành CNTT ra trường và làm đúng ngành là 70%. Trong một công ty tuyển dụng ngành CNTT với vị trí tester có 10 người đến phỏng vấn. Tính xác suất trong 10 người đến phỏng vấn nhưng có 4 người trúng tuyển?
Giải
Gọi A là biến cố “người học CNTT ra trường và làm đúng ngành”
=>P(A)=0.7=p
Ta có đúng 10 phép thử bernoulli, xác suất thành công mỗi lần là p=0.7
Xác suất để 10 người đến phỏng vấn nhưng có 4 người trúng tuyển là:
Cn
k∗pk∗(1−p)n−k=C10
4∗0.74∗(1−0.7)6≈0.037
Vậy xác suất để trong 10 đến phỏng vấn nhưng có 4 người trúng tuyển là 0.036 Ví dụ 2: Một bác sĩ chữa khỏi bệnh A cho một người với xác suất là 95%. Giả sử có 10 người bị bệnh A đến chữa một cách đọc lập. Tính xác suất để có 8 người khỏi bệnh.
Giải
Gọi X là biến cố “ bác sĩ chữa khỏi bệnh A cho một người”
=>P(X)=0.95=p
Ta có đúng 8 phép thử Bernoulli với xác suất thành công mỗi lần là p=0.95 Xác suất để 10 người bị bệnh A thì có đúng 8 người khỏi bệnh là:
Cn
k∗pk∗(1−p)n−k=C10
8∗0.958∗(1−0.95)2≈0.075
Vậy xác suất để trong 10 người bị bệnh A thì có đúng 8 người khỏi bệnh là 0.075.
Ví dụ 3: Kiểm tra lỗi phần mềm
Đề bài: Một công ty phần mềm kiểm tra một ứng dụng mới. Xác suất để một lỗi xuất hiện trong mỗi lần kiểm tra là 0.05. Nếu công ty thực hiện 20 lần kiểm tra, xác suất để có đúng 2 lần phát hiện lỗi là bao nhiêu?
Để giải bài toán này bằng phương pháp Bernoulli, chúng ta sẽ sử dụng công thức xác suất của phân phối nhị thức (Bernoulli). Công thức này được biểu diễn như sau:
Pn(k ; p)n¿Cn
kpk(1−p)n−k Trong đó:
n là số lần thử (trong trường hợp này là 20 lần kiểm tra).
k là số lần thành công (trong trường hợp này là 2 lần phát hiện lỗi).
p là xác suất thành công trong mỗi lần thử (trong trường hợp này là 0.05).
Ck
n là tổ hợp của chọn k, được tính bằng công thức Cn
k = k !(n−kn ! )!. Bây giờ, chúng ta sẽ tính từng phần của công thức:
Tính tổ hợp C20 2:
C20
2= 20!
2!(20 2− )! =20 19× 2×1 =190 Tính pk:
p2=0.052=0.0025 Tính (1−p)n−k:
(1−0.05)20−2=0.9518≈0.37735
Kết hợp tất cả lại để tính xác suất:
P20(2;0.05)=190×0.0025×0.37735≈0.179
Vậy, xác suất để có đúng 2 lần phát hiện lỗi trong 20 lần kiểm tra là khoảng 0.179, hay 17.9%.
Ví dụ 4: Kiểm tra tính năng bảo mật
Đề bài: Một hệ thống bảo mật được kiểm tra với xác suất phát hiện lỗ hổng bảo mật là 0.1. Nếu thực hiện 15 lần kiểm tra, xác suất để phát hiện ít nhất 1 lỗ hổng bảo mật là bao nhiêu?
Giải:
Bước 1: Xác định các thông số
Xác suất phát hiện lỗ hổng bảo mật trong một lần kiểm tra p=0.1 Số lần kiểm tra n=15
Bước 2: Tính xác suất không phát hiện lỗ hổng bảo mật trong một lần kiểm tra Xác suất không phát hiện lỗ hổng bảo mật q=1−p= −1 0.1=0.9
Bước 3: Tính xác suất không phát hiện lỗ hổng bảo mật trong 15 lần kiểm tra Xác suất không phát hiện lỗ hổng bảo mật trong tất cả 15 lần kiểm tra = qn=0.915 Bước 4: Tính xác suất phát hiện ít nhất 1 lỗ hổng bảo mật
Xác suất phát hiện ít nhất 1 lỗ hổng bảo mật = 1 - Xác suất không phát hiện lỗ hổng bảo mật trong tất cả 15 lần kiểm tra
P(ítnhất1lỗhổng)= −1 0.915 Bước 5: Tính toán
0.915≈0.2059
P(ítnhất1lỗhổng)=1−0.2059 0.7941= Kết luận
Xác suất để phát hiện ít nhất 1 lỗ hổng bảo mật sau 15 lần kiểm tra là khoảng 0.7941, hay 79.41%.
Ví dụ 5: Kiểm tra tính năng của ứng dụng web
Đề bài: Một ứng dụng web được kiểm tra với xác suất phát hiện lỗi giao diện là 0.02. Nếu thực hiện 50 lần kiểm tra, xác suất để phát hiện không quá 1 lỗi giao diện là bao nhiêu?
Giải:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phân phối nhị thức (Binomial Distribution), một ứng dụng của phương pháp Bernoulli. Trong trường hợp này, mỗi lần kiểm tra có thể được coi là một thử nghiệm Bernoulli với xác suất thành công (phát hiện lỗi) là p=0.02 .
Chúng ta cần tính xác suất để phát hiện không quá 1 lỗi trong 50 lần kiểm tra.
Điều này có nghĩa là chúng ta cần tính xác suất của X ≤1 , trong đó X là số lỗi phát hiện được và X tuân theo phân phối nhị thức với các tham số n=50 và p=0.02 .
Công thức của phân phối nhị thức là:
Pn(k ; p)=Cknpk(1−p)n−k Trong đó:
Cnklà tổ hợp của n chọn k p là xác suất thành công k là số lần thành công
Số lần thành công mong muốn k: không quá 1 (tức là k = 0 hoặc k = 1) Chúng ta cần tính:
P50(k ;0.02)=P50(0;0.02)+P50(1;0.02) Tính P50(0;0.02):
P50(0;0.02)=C050(0.02)0(0.98)50≈0.3642 Tính P50(1;0.02):
P50(1;0.02)=C50
1(0.02)1(0.98)49≈0.3716 Tổng xác suất:
P50(k ;0.02)=P50(0;0.02)+P50(1;0.02)≈0.3642+0.3716=0.7358 Vậy, xác suất để phát hiện không quá 1 lỗi giao diện trong 50 lần kiểm tra là khoảng 0.7358, hay 73.58%.
Ví dụ 6: Một hệ thống mạng truyền các gói dữ liệu từ một máy chủ A đến máy chủ B. Mỗi gói tin có xác suất p = 0.95 để truyền thành công. Mỗi gói tin được truyền độc lập. Quá trình truyền gồm 10 gói tin. Hãy tính xác suất để có ít nhất 8 gói tin được truyền thành công.
Xác suất không thành công: 1 - p = 0.05
Xác suất có đúng 8 gói tin được truyền thành công P10(8;0.95) = C10
8 . 0.958 . 0.052
Xác suất có đúng 9 gói tin được truyền thành công P10(9;0.95) = C10
9 . 0.959 . 0.051
Xác suất có đúng 10 gói tin được truyền thành công P10(10;0.95) = C10
10 . 0.9510 . 0.050
Xác suất cần tính là P = ∑
i=8 10
Pi 1.124
Ví dụ 7: Một công ty phần mềm đang thực hiện quá trình kiểm thử một hệ thống lớn. Mỗi lần kiểm tra (test case) có xác suất lỗi là p = 0.1 (tức có 10% khả năng phát hiện ra lỗi). Các lần kiểm tra độc lập với nhau. Tính xác suất để chỉ phát hiện chính xác 5 lỗi trong 100 lần kiểm tra hệ thống.
Pn(k;p) = Cn
k . pk . (1−p)n−k Xác suất cần tính là P100(5;0.1) = C100
5 . 0.15 . 0.9100−5 0.033
Ví dụ 8. Một xạ thủ bắn 10 phát súng, xác suất bắn trúng mỗi phát là 0.9. Tính xác suất bắn trúng ít nhất 8 phát.
Giải :
n = 10 (số lần bắn)
p = 0.9 (xác suất bắn trúng mỗi phát)
k là số lần bắn trúng (lần lượt là 8, 9, 10)
P(trúng 8 phát) = C(10, 8) * 0.9^8 * 0.1^2 ≈ 0.1937 P(trúng 9 phát) = C(10, 9) * 0.9^9 * 0.1^1 ≈ 0.3874 P(trúng 10 phát) = C(10, 10) * 0.9^10 * 0.1^0 ≈ 0.3487
Xác suất bắn trúng ít nhất 8 phát = P(trúng 8 phát) + P(trúng 9 phát) + P(trúng 10 phát) ≈ 0.1937 + 0.3874 + 0.3487 ≈ 0.9298
B.BÀI TẬP Bài 1
Một học sinh đoán ngẫu nhiên câu trả lời của 10 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 đáp án. Tính xác suất học sinh đó đoán đúng đúng 6 câu.
Hướng dẫn giải
Số lần thử (n) = 10 lần
Số thành công (k) = 6 (câu)
Xác suất thành công trong một lần thử (p) = 14 = 0,25(đúng câu hỏi)
Xác suất thất bại trong một lần thử (q) = 1 - p = 0,75 Công thức
P = Cn k . pk . qn−k Bài 2
Một dây chuyền sản xuất sản xuất 100 sản phẩm mỗi ngày. Xác suất sản phẩm bị lỗi là 0,02. Tính xác suất để trong ngày hôm nay có 2 sản phẩm bị lỗi.
Hướng dẫn giải
Số lần thử (n) = 100 (sản phẩm)
Số thành công (k) = 2 (sản phẩm bị lỗi)
Xác suất thành công trong một lần thử (p) = 0,02 (xác suất sản phẩm hỏng)
Xác suất thất bại trong một lần thử (q) = 1 - p = 0,98 Công thức
P = Ckn . pk . qn−k Bài 3 :
Xác suất thực hiện thành công một thí nghiệm là 80%. Một nhóm gồm 7 sinh viên tiến hành thí nghiệm này độc lập vơi nhau. Xác suất để có ít nhất 6 thí nghiệm thành công là?
Áp dụng công thức bernoulii Ta có P(6)= C7
6.(0.8)6.(0.2)1=0.367 Bài 4:
Một bác sĩ chữa khỏi bệnh A cho một người với xác suất 95%. Giả sử có 10 người bị bệnh A đến chữa một cách độc lập. Tính xác suất để có 8 người được chữa khỏi bệnh.
Áp dụng công thức bernoulli Ta có P(8) =C10
8.(0.95) .(0.05) =0.07468 2
Bài 5: Có 8000 sản phẩm trong đó có 2000 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Lấy ngẫu nhiên (không hoàn lại) 10 sản phẩm. Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn.
Gọi X là số sản phẩm không đạt tiêu chuẩn trong 10 sản phẩm lấy ra.
Áp dụng công thức Bernoulli, xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 2 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn là:
P(X=2)=C10
2.(0,25)2.(0,75)8=0,282
Bài 6: Một hệ thống truyền thông gửi dữ liệu qua mạng nhiều lần để đảm bảo thông tin được truyền chính xác. Tín hiệu dữ liệu được gửi đi 5 lần độc lập nhau. Xác suất nhận được dữ liệu đúng mỗi lần là 0.6.
a) Tính xác suất để nguồn thu nhận được dữ liệu đúng 3 lần.
b) Tính xác suất để nguồn thu nhận được ít nhất 1 lần dữ liệu đúng.
c) Nếu muốn xác suất thu được dữ liệu đúng ≥ 0.9 thì phải gửi tín hiệu ít nhất bao nhiêu lần?
Hướng dẫn giải:
a, P5(3;0.6)=C5
3×(0.6)3×(0.4)2=0.3456 b, P=1−P5(0;0.6)= −1 ¿
c, 1−¿
Bài 7 . Một đồng xu cân đối được tung 10 lần. Tính xác suất xuất hiện mặt sấp đúng 6 lần.
n = 10 (số lần tung)
k = 6 (số lần xuất hiện mặt sấp)
p = 0.5 (xác suất xuất hiện mặt sấp mỗi lần tung)
Áp dụng công thức Bernoulli: P(6 lần sấp) = C(10, 6) * 0.5^6 * 0.5^4 ≈ 0.2051
Bài 8. Một xưởng sản xuất bóng đèn có 2% sản phẩm bị lỗi. Người ta lấy ngẫu nhiên 100 bóng đèn. Tính xác suất có đúng 3 bóng đèn bị lỗi.
n = 100 (số bóng đèn lấy) k = 3 (số bóng đèn bị lỗi)
p = 0.02 (xác suất một bóng đèn bị lỗi)
Áp dụng công thức Bernoulli: P(3 bóng lỗi) = C(100, 3) * 0.02^3 * 0.98^97 ≈ 0.1820
Bài 9. Trong phân xưởng có 5 máy hoạt động, xác suất để mỗi máy bị hỏng là 0,1. Tính xác suất để trong ca đó có đúng 2 máy bị hỏng
Hướng dẫn giải
Số lần thử (n) = 5 (số máy)
Số thành công (k) = 2 (số máy bị hỏng)
Xác suất thành công trong một lần thử (p) = 0,1 (xác suất máy bị hỏng)
Xác suất thất bại trong một lần thử (q) = 1 - p = 0,9 Công thức
P = Cn k . pk. qn−k
Bài 10: Giả sử tỷ lệ sinh con trai và con gái là bằng nhau và bằng 1/2. Một gia đình có 4 người con. Tính xác suất để 4 đứa con đó gồm:
a, 2 trai và 2 gái.
b, 1 trai và 3 gái.
c, 4 trai.
Gọi X là số con trai trong một gia đình có 4 con.
Áp dụng công thức Bernoulli:
a, Xác suất để có hai trai và hai gái trong bốn đứa con là:
P(X=2)=C4
2.(0,5)2.(0,5)2=0,375
b, Xác suất để có một con trai trong số bốn đứa con là:
P(X=2)=C4
1.(0,5)1.(0,5)3=0,25 c, Xác suất để cả bốn đều là trai là:
P(X=2)=C4
4.(0,5)4.(0,5)0=0,0625
Bài 11. Một nhân viên bán hàng mỗi ngày đi chào hàng ở 10 nơi với xác suất bán hàng ở mỗi nơi lad 0,2.
a.Tìm xác suất để người đó bán được hàng ở 2 nơi b.Tìm xác suất để người đó bán được hàng ở ít nhất 1 nơi.
Giải: Coi việc bán hàng ở mỗi nơi của người đó là 1 phép thử thì ta có 20 phép thử độc lập. Trong đó phép thử chỉ có 2 khả năng độc lập: hoặc bán được hoặc không. Xac suất bán được hàng mỗi nơi là 0,2. Vậy bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli.
a.Gọi A kà biến cố người đó bán được hàng ở 2 nơi P(A)=C10
2.0,22.0,88=0,3 b.Gọi B là xác suất người đó không bán được ở nơi nào
P(B)=C10 0.0,20.0,810 Vậy xác suất để người đó bán được ít nhất ở 1 nơi là:
P=1−P(B)=0,8926
Bài 12.Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 5 cách trả lời, trong đó chỉ có một cách trả lời đúng. Một thí sinh chọn cách trả lời một cách hú họa.
Tìm xác suất để người đó thi đỗ, biết răngd để đỗ phải trả lời đúng ít nhất 8 câu.
Giải: Coi việc trả lời mỗi câu hỏi của người đó là một phép thử độc lập, ta có 10 phép thử độc lập. Mỗi phép thử có 5 cách trả lời nên xác suát trả lời đúng mỗi câu hỏi là 0,2.
Theo công thức Bernoulli:
P=C10
8.0,22.0,88=0,000078
Bài 13. Tỷ lệ phế phảm của một nhà máy là 5%. Tìm xác suất để trong 12 sản phẩm do nhà máy sản xuất ra có: