Bài giảng môn Toán cao cấp - Chuong 3 ham mot bien

2 Tính chất của giới hạn... Gặp bài toán tìm giới hạn , điều trước tiên , cần xét xem đại lượng cần tìm có thuộc dạng vô định hay không.. Trường hợp đại lượng cần tìm giới hạn thuộc m

   f(x) liên tục tại x*  [a, b]

f(x) liên tục trên [a, b], nếu f(x) liên tục tại  x  [a, b]

2

Tính chất của giới hạn

Một số giới hạn thường gặp:

n m

n m

a

khi n m b

khi n m , a b 0 khi n m , a b 0

Bài toán 1 : Tìm giới hạn

1 Gặp bài toán tìm giới hạn , điều trước tiên , cần xét

xem đại lượng cần tìm có thuộc dạng vô định hay

không Các dạng vô định là:

0 ; ; 0 ; ; 1 ; 0 ; 0 0

Nếu không thuộc dạng vô định thì không cần biến đổi gì cả, chỉ việc áp dụng các định lý về phép tính giới hạn để tính trực tiếp

2 Trường hợp đại lượng cần tìm giới hạn thuộc một

trong các dạng vô định trên , ta dùng một số phương

Phương pháp giải :

Theo tính chất của hàm số mũ đã biết thì hàm a x cơ

số dương nhỏ hơn 1 tiến về 0 khi x tiến về , nên:

2 1

x x

II TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa:

+ Hàm số f được gọi là liên tục tại xo nếu :

xo  Miền xác định + x xo lim f x f xo ( )

+ Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng ( , ) a b khi

f liên tục tại mọi x  ( , ) a b

+ Hàm số f được gọi là liên tục phải tại xo nếu :

2 Định lý :

Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại xo là:

f x o f x o f x o

3 Các tính chất của hàm liên tục:

; ; ( f 0 0)

TC2: Các hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định

của nó

TC3: Cho hàm f liên tục trên đoạn [a,b],ta có:

+ Hàm f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên [a,b]

+ Hàm f nhận mọi giá trị trung gian giữa GTLN –

GTNN

+ Đặc biệt, nếu ( ) ( ) f a f b < 0 thì tìm được giá trị c (a <

III Đạo hàm, vi phân

0 x 0 x 0 +x x

Ý nghĩa: y  f’(x 0 ) x = dy

f(x) khả vi trên [a, b] f(x) khả vi trên [a, b] y = f’(x) hàm đạo hàm

dy

dx Đạo hàm; dy, dx : Vi phân

1 Các định nghĩa cơ bản

a)Tìm m để hàm f liên tục tại x=0

b) Với m vừa tìm được ,tính đạo hàm tại x=0

Bài tốn 3:Tính đạo hàm của hàm số Bài tốn 3.1:Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

2 Đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản(Trang 123)

x

x

2 sin

gx

2 1

x

x 9.

1 arccos

2 1

x

x

2 1

x

2 1

x

x

14

3 Các quy tắc lấy đạo hàm :

Bài toán 3.2:

Tính đạo hàm của hàm số

Gặp biểu thức lũy thừa dạng u(x)v(x) (cả cơ số lẫn lũy thừa mũ đều là hàm số đối với x), phải nhớ áp dụng quy tắc đạo hàm biểu thức lũy thừa mũ:

 lấy log cả hai vế theo cơ số e

 Đạo hàm hai vế theo x, với chú ý đạo hàm vế trái:

yx

Từ kết quả đạo hàm 2 vế, giải ra y’

16

Bài 3.2: Dùng các công thức và quy tắc tính đạo hàm, tìm

đạo hàm của các hàm số sau đây:

1 y = x2ex 2 y arcsinx

x 3 y = (arccos3x + 2x2)4

4 y = ln(arcsin5x), 5 y log cos x sin x

6. y co x s x 7. y x x 1

1 Định nghĩa:

+ Hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) được gọi là khả

vi tại điểm xo  (a,b), nếu số gia  f (xo) của nó tương ứng với số gia của đối số x, có thể được biểu diễn dưới dạng :

 f (xo) = A  x +   x trong đó A là một số không phụ thuộc  x, còn  là một hàm của đối số  x và là vô cùng bé khi  x  0

IV VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

+ Cơng thức tính vi phân: dy(xo) = f ’(xo).dx

18

IV PHÂN CỦA HÀM SỐ

2 Các tính chất cơ bản của vi phân:

2.Vi phân cấp cao :

+ Vi phân cấp hai của y f x( ) là vi phân của vi phân cấp

y dx

  và f (x0   x)  f (x )0  f (x ) x  0 

Như vậy, vi phân của hàm cĩ thể sử dụng để tính gần đúng

Bài 4.1 Tìm vi phân của các hàm số sau:

dx x

20

V ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1 Tính giới hạn dạng vô định theo quy tắc L’Hospital

+ Quy tắc L’Hospital: Giả sử các hàm f và g khả vi trong

lân cận nào đó của điểm xo và có thể trừ xo

Nếu x x lim f x x x lim g x 0

Bài toán 5: Aùp dụng quy tắc L’Hospital

Bài 5.1: Tính các giới hạn sau:

1 lim

ln 1 0

x x

22

*Bài 5.2: Cho hàm số

0 0

a) Xác định m để f có đạo tại x 0

b) Tìm f (0) (nếu cĩ)

Bài 5.3: Tính các giới hạn sau:

1 lim x x n

e

x 2 x lim xe . x /2 x

x e

Bài 5.5: Tìm các giới hạn sau

0

x x

x 2 lim 2cos

2

x tgx

x

3 lim 2 cos

2

x x

x 4 lim 1 ln

0

x x

x

0

x x

x

Bài toán 6.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu

x0 : cực đại địa phương,  [c, d]  [a, b] : f(x0)  f(x)  x  [c, d]

· x1 : cực tiểu địa phương, [c, d]  [a, b] : f(x1)  f(x)  x  [c, d]

· x2 : cực đại (toàn cục) , f(x2)  f(x)  x  [a, b]

· x3 : cực tiểu (toàn cục) , f(x3)  f(x)  x  [a, b]

30

6.3 CỰC TRỊ 4.4.2 Điều kiện cực trị, điểm uốn với y’, y’’

•Điều kiện cần y' f'(x ) 00

Điều kiện đủ  f’(x) đổi dấu tại x0 :

- / + :  x0 cực tiểu + / - :  x0 cực đại

 f(x) có đạo hàm cấp 2 y’’ = f’’(x) f’’(x0) > 0  x0 cực tiểu

f’’(x0) < 0  x0 cực đại

Điểm uốn f’(x0) = f’’(x0) = 0 và

f’’(x0) đổi dấu + / - hoặc - / +

Điều kiện cực trị tổng quát

(n ) 0

• f(x) chuyển từ lồi qua lõm, nếu

32

ÁP DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

6.1 Giá trị cận biên (giá trị biên tế)

 f(x0) = f(x0 + 1) – f(x0)  f’(x0)

 f’(x0) cho biết gần đúng mức thay đổi của f(x)

(tăng lên hoặc giảm đi) khi x0 tăng lên một đơn vị

 Tính gần đúng càng chính xác, nếâu x0 càng lớn so với đơn vị

Quan hệ giữa đại lượng cận biên và đàại lượng trung bình

 C’(x) < AC(x) : Chi phí trung bình giảm

 C’(x) = AC(x) : Chi phí trung bình nhỏ nhất

 C’(x) > AC(x) : Chi phí trung bình tăng

ÁP DỤNG

6.2 Hệ số co giãn (hệ số đàn hồi) f /x = x0

Các loại hệ số co giãn

f /x = x0 =  cho biết mức độ phản ứng của đại lượng y = f(x) đối

với sự thay đổi của đại lượng x kể từ giá trị x0 Cụ thể : Nếu x thay đổi 1% thì y = f(x) sẽ thay đổi  %

 y = f(x) không co giãn hoặc co giãn ít theo x kể từ x = x 0

·  y = f(x) co giãn hoặc co giãn mạnh theo x kể từ x = x 0

· = 0  y = f(x) hoàn toàn không co giãn hoặc độc lập với x kể từ x = x 0

·  y = f(x) tỉ lệ với x (nghịch biến hoặc đồng biến)

hoặc rất lớn  y = f(x) hoàn toàn co giãn theo x ; y phản ứng

mạnh đối với một sự thay đổi của x

6 3 Kiểm định các qui luật của lý thuyết kinh tế

Doanh thu cận biên của nhà sản xuất độc quyền luôn nhỏ hơn giá bán : R’(x) < p(x)

Doanh thu cận biên của nhà sản xuất trên thị trường cạnh tranh hoàn hảo (phi độc quyền) luôn bằng giá thị trường: R’(x) = p

Ở mức sản lượng với chi phí trung bình tối thiểu thì chi phí biên bằng chi phí trung bình C’(x) = AC(x)

 C’(x) < AC(x) : Chi phí trung bình giảm

 C’(x) > AC(x) : Chi phí trung bình tăng

Ở trạng thái đạt chi phí trung bình nhỏ nhất hệ số co giãn của tổng phí theo sản lượng là bằng = 1

Nhà sản xuất đạt lợi nhuận cực đại ở mức sản lượng mà doanh thu biên bằng chi phí biên: R’(x) = C’(x)

Trong thị trường cạnh tranh hoàn hảo, nhà sản xuất đạt lợi nhuận tối đa ở mức sản lượng mà chi phí biên bằng giá bán sản phẩm trên thị trường p = C(x)

34

3.6 VÍ DỤ

Quan hệ giữa đại lượng cận biên và đàại lượng trung bình

 MC = C’(x) < AC(x) : Chi phí trung bình giảm

 MC = C’(x) = AC(x) : Chi phí trung bình nhỏ nhất

 MC = C’(x) > AC(x) : Chi phí trung bình tăng

20 AC C MC (x) =

10

2

C(x) AC(x)

Bài toán: Cho

Tìm giá trị sản lượng x để doanh nghiệp:

• hòa vốn (điểm hòa vốn);