Khóa luận tốt nghiệp Sư phạm Vật lý: Tán xạ năng lượng thấp bởi thể skyrme hartree-fock

So sánh tiết điện tan xạ toàn phan theo năng lượng của tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân !?C khi áp dụng các Skyrme khác nhau.. ...-Tiết điện tán xa vi phan theo góc của tán xạ đàn hỏi

TRƯỜNG DAI HỌC SƯ PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA VẬT LÝ

TRÌNH CAO PHI

TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG THẤP

BỞI THE SKYRME HARTREE-FOCK

Chuyên ngành: SU PHAM VAT LY

Lời cám ơn

Để có thể hoàn thành khóa luận này, trước tiên em xin gửi lời cảm ơnđến các thầy cô trong khoa Vat Lý của trường Đại học Sư phạm Thanhphố Hồ Chí Minh, đã giảng dạy em và các bạn trong suốt quá trình học tập, rèn luyên và phát triển tại ngôi trường này.

Hon tắt cả, em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thay Nguyễn Lê Anh,

thay đã định hướng và giúp đỡ em rất nhiều, không chi là trong quá trình

hoàn thành khóa luận này, mà còn đỉnh hướng giúp em đi tiếp trên con

đường sau đại học Déng thời em cũng xin cảm ơn các thay cô trong hộiđồng phản biện, đã có những nhận xét và góp ý vỏ cùng giá trị từ giai

đoạn hình thành ý tưởng cho đến khi hoàn thành khóa luận này.

Cuối cùng em xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị, bạn bè cùng học tập

tại trường đã luôn động viên và sát cánh bên em trong quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành khóa luận này.

Em xin chan thành cam on

Thành phố Hỗ Chí Minh, tháng 5 năm 2022

Trình Cao Phi

il

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoàn day là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự

hướng dẫn của thầy Nguyễn Lê Anh Các số liệu, kết quả, bảng biểu thu

Mục lục

Lời cám ơn H

Lời cam đoan iii

Muc luc iv

Danh sach bang vii

Danh sach hinh vé ix

Ki hiéu viét tat xii

l1 BOMSTNR ccc cei cai ng Đ nh Go ha đã a 5

11.3 Tiết điện tắn xạ lượng tỬ 6

12_ Phương pháp khai triển sóng riêng phan và độ léch pha 7

1.2.1 Hamiltonian cho chuyển động trong trường xuyên tâm 7

1.2.2 Phương trình Schrédinger cho tán xa dan héi 8

iv

1.2.3 Phương pháp khai triển sóng riêng phan 9

124 Tiết diện tán xạ đànhỗi 12

2 Thế tương tac Skyrme Hartree-Fock 16 2.1 Tương tác Skyrme 2 2 ee 17 2.1.1 Cách xây dựng tương lác 17

2.1.2 Phương trình Hartree-Fock 20

2.1.3 Năng lượng tái sắp xép ee eee 21 214 Thể Coulomb 21

2.1.5 Năng lượng tương tác kết cặp 23

2.1.6 Hiệu chỉnh năng lượng khốitâm 24

2.2 Phương trình Skyrme Hartree-Fock cho lấn xa 25

2.2.1 Phương trình Hartree-Fock mô tả trang thái liên kết trong hạt nhần 25

2.2.2 Phương trình Hartree-Fock trong bài toán tan xa 26

3 Kết quả và thảo luận 28 3.1 Skyrme Hartree-Fock trong câu trúc hạt nhân 28

3.1.1 Hạt nhân CC Q Qc Q QQ cu Qv2 28 S02 MatrhinTM@ :accccc (c6 (c6 0666 22¿ 31 3.2 Skvrme Hartree-Fock trong phản ứng hạt nhãn 34

3.2.1 Tan xa đàn hồi ®C(nn)C 34

3.2.2 Tan xạ đàn hỏi ®O(nn)®°Q 40 3.3 Một số kết quả thu được cho một số hạt nhân magic khác 46

3.3.2 Hatnhéan®Ca ee ee ee 50

3.3.3 Hat nhân Zr 0 ee va 53

3.3.4 Hatnhan*8Pb 00000200.2 2.04 56

Danh sách bảng

2.1

3.1

3.3

Bảng tham số các loại tương tac Skyrme

Các trạng thái đơn hạt dưới mức fermi (bị lấp day) đối với

proton cho hạt nhân C

Các trang thái đơn hạt duéi mức fermi (bị lắp day) đối với

neutron cho hạt nhân C., ee

Bán kính hiệu dụng và năng lượng của !?C với các Skyrme

khác nñÌaU : : : ¿ ; ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ esse deena nena as

Các trang thái đơn hạt đưới mức fermi (bị lắp đây) đối với

proton cho hạt nhân ®Q

Các trạng thái đơn hạt dưới mức fermi (bị lap day) đối với

neutron cho hạt nhân ®“O,

Bán kính hiệu dụng và năng lượng của ?°O với các Skyrme

710.) 8P Ẻẽ nổ ốc rr r r r DD dG

Bảng trạng thái năng lượng hạt nhãn SC thực nghiệm Trong đó J* là spin của hạt nhân °C ứng với trạng thái

kích thích ở mức năng lượng F, (MeV), khi đó F„ (MeV)

là năng lượng tương ứng của neutron có thể gãy ra cộng

hưởng trong hệ quy chiếu khối tâm

Vị trí cong hưởng của tiết điện trong tan xa đàn hồi neutron

I0i81/08i018011//1 82? da

3.9 Bảng trang thái năng lượng hạt nhân !O thực nghiệm.

Trong đó, J7 là spin của hạt nhân 7O ứng với trạng thái

kích thích ở mức năng lượng FE, (MeV), khi đó F4, (MeV)

là năng lượng tương ứng của neutron có thể gây ra cộng

hưởng trong hệ quy chiếu khối tâm .- 41

vill

Danh sách hình ve

1.3

1.4

3.1

Minh họa thí nghiệm

Góc tán xạ 8 tạo bởi sóng tới và sóng tan xạa

Minh họa hàm sóng tan

xạ -Độ lệch pha so với sóng phẳng

Phân bố mật độ proton và neutron của hạt nhân !“C khi ap dụng các Skyrme khác nhau

Phân bố mật độ proton va neutron của hạt nhân '°O khi áp dụng các Skyrme khác nhau .

So sánh tiết điện tan xạ toàn phan theo năng lượng của tán xạ đàn hồi neutron lên hạt nhân !?C khi áp dụng các Skyrme khác nhau

-Tiết điện tán xa vi phan theo góc của tán xạ đàn hỏi neutron lên hạt nhân 1C với các Skyrme khác nhau Các số liệu thực nghiệm được lay từ công trình (14] và

[DðÌ -Tiết điện tán xa vi phân theo góc của tán xa đàn hồi neutron lên hạt nhân 1C với các Skyrme khác nhau ở mức năng lượng 3.80 MeV và 4.70 MeV Các số liệu được lay từ các nghiên cứu [15] va

[I6] -1X

So sánh tiết điện tán xa toàn phần theo năng lượng của

tan xạ đàn hỗi neutron lên hạt nhân !°O khi áp dung các

Skyrme khác nhau

-Tiết diện tán xa đàn hồi vi phân neutron theo góc lên hạt

nhân !°O với các skyrme khác nhau cho vùng năng lượng

dưới 1 MeV Các số liệu thực nghiệm được lẫy từ công trình

II eee - CC Tiết diện tán xạ đàn hồi vi phân neutron theo góc lên hạt

nhân !°Q với các skyrme khác nhau cho vùng năng lượng

từ 2 đến 5 MeV Các số liêu thực nghiệm được lay từ công

trình [l4]

- - -So sánh tiết diện tán xa toàn phần theo năng lượng của tán xa đàn hỏi neutron lên hạt nhân ''Ca khi áp dung các

Skyrme khác nhau VỤ

Tiết diện tán xạ đàn hỏi vi phan neutron theo góc lên hat

nhân #)Ca với các Skyrme khác nhau vùng đưới 2 MeV Các

số liệu thực nghiệm được lay từ công trình [17]

Tiết điện tan xạ đàn hỏi vi phân neutron theo góc lên hạt

nhân “Ca với các Skyrme khác nhau vùng trên 2 MeV.Các

số liéu thực nghiệm được lay từ công trình [17] 2

-So sánh tiết điện tán xa toàn phần theo năng lượng của

tán xa đàn héi neutron lên hạt nhân “Ca khi ấp dụng các

Skyrme khác nhau .Ặ Ặ Ặ Ặ eeeTiết diện tán xạ đàn hồi vi phân nentron theo góc lên hạt

nhân “Ca với các Skyrme khác nhau Các số liệu thực

nghiệm được lẫy từ công trình [1I§Ì

Tiết điện tán xạ đàn hỏi vi phân neutron theo góc lên hạt

nhân Ca với các Skyrme khác nhau Các số liệu thực

nghiệm được lay từ công trình (1§Ì

So sánh tiết diện tán xa toàn phần theo năng lượng của tán xa đàn hồi neutron lên hạt nhân “Zr khi áp dụng các

Skyrme khác nhau ee

Tiết diện tán xạ đàn hỏi vi phan neutron theo góc lên hat

nhân °"Zr với các Skyrme khác nhau Các số liệu thực nghiệm

được lay từ công trình [19] và

[20] -Tiết diện tan xạ đàn hỏi vi phân neutron theo góc lên

hạt nhãn “Zr với các Skyrme khác nhau Các số liệu thực

nghiệm được lấy từ công trình

(20Ì -So sánh tiết điện tán xa toàn phần theo năng lượng của

tán xạ đàn hỏi neutron lên hạt nhân 7°Pb khi áp dụng các

Skyrme khác nhau .Ặ QẶ Ặ ẶẶ eeeTiết diện tán xạ đàn hồi vi phân nentron theo góc lên hạt

nhân **Pb với các Skyrme khác nhau Các số liệu thực

nghiệm được lẫy từ công trình (21]

Tiết diện tán xạ đàn hỏi vi phan neutron theo góc lên hat

nhân ®##Pb với các Skyrme khác nhau Các số liệu thực

nghiệm được lay từ công trình [22] và [23]

xi

58

Kí hiệu viết tắt

e BKHD: Bán kính hiệu dung

e HF: Hartree-Fock

e TDTX: Tiét dién tan xa

e TDTXTP: Tiết điện tấn xa toàn phan

e TDTXVP: Tiết diện tan xa vi phan

e TXDH: Tan xa đàn hỏi

xii

Tóm tắt

Tan xa đàn hồi đóng vai trò rat quan trọng trong nghiên cứu vật lý hat

nhân Trong khóa luận này nhiều phiên bản tương tác Skyrme hiệu dụng

được áp dụng dé tính toán tiết điện tán xa neutron trên các bia chăn chin

từ nhẹ đến nặng bao gồm 1C, !*Q, Ca, ®Ca, Zr và ?"ỀPb trong gan

đúng Hartree-Fock Các phiên bản tương tac này déu đưa ra các kết quảtốt cho các đặc tính của trạng thái liên kết (năng lượng liên kết, bán kính

hiện dụng ) của các hạt nhân vỏ đóng Chúng tôi cũng đưa ra các kết

quả tốt cho các đặc tính vùng liên tục của các hạt nhân này Cụ thể, tiếtđiện tan xạ đàn hỏi theo góc và theo năng lượng déu phù hợp với các giá

trị thực nghiệm.

xili

Mở đầu

Thí nghiệm phản ứng tan xạ @œ - hạt nhân lên một lá vàng vào năm 1911

của Rutherford đã giúp ông đưa ra lý thuyết về mau hành tinh nguyên tử

Rutherford, mặc đù mẫu nguyên tử này đã giải thích được rất nhiều hiện

tượng và các tính chat vật lý, nhưng nó vẫn chưa hoàn hảo và mang các

hạn chế nhất định Để giải quyết các hạn chế này, các nhà nghiên cứu đã

không ngừng tìm hiểu và đã đạt được các thành tum nhất định Ké từ đó.

việc nghiên cứu các quá trình phản ứng của hạt nhân luõn là một hướng nghiên cứu quan trọng của vật lý hạt nhân hiện đại.

Dỗi với các phan ứng va cham giữa các hạt nhân dé tạo ra các hạt nhân

mới, hay tao ra các kénh phản ứng mới, tán xa đàn hỏi (TXDH) luôn đóng

một vai trò võ cùng quan trọng do day là phản ứng đầu tiên của kênh đầu

vào Do đó việc tính xác suất xảy ra phản ứng TXDH (tiết điện TXDH)

là vô cùng cần thiết khi nghiên cứu về phản ứng hạt nhân, kể cả về mặt lý

thuyết lan thực nghiệm Khi tính được tiết điện tán xa (TDTX) đàn hồi

ta sẽ biết được xác suất xảy ra của chuỗi phản ứng kéo theo.

Việc tính toán TDTX đàn héi đòi hỏi ta phải sử dung các mô hình gan

đúng Trong nghiên cứu về phản ứng hat nhân, m6 hình được sử dung phổ

biến nhất là m6 hình mau thé quang học (còn được gọi là mau thé phức),với phần thực mô tả kênh TXDH, và phan ảo mô tả các kénh phi đàn hỏi

(kênh bị hap thu).

Dé xây dung m6 hình mẫu thế quang học, ta có thể xây dựng thong

qua 2 cách nhĩ sau:

1 Mẫu thế hiện tượng luận: Xây dung dựa trên các hàm toán học

(Woods - Saxon, Gaussian, ) kết hợp với các tham số để khớp với số

liệu thực nghiệm.

2 Mẫu tính toán vi mô: Xây dựng dựa trên việc nghiên cứu các tương

tác vi mô.

GO đây, ta sẽ di xây dựng mẫu thế quang học theo phương pháp sử dung

mẫu tính toán vi mô Một trong những mô hình được sử dụng nhiều nhấtcho phương pháp này là mẫn folding Tuy nhiên mẫu folding chỉ sử dụng

tốt ở miễn năng lượng trung bình và cao (trên 20 MeV/nucleon), khi dem

mau folding áp dung cho miễn năng lượng thấp (dưới 10 MeV/nueleon)thì lại không thu được kết quả nhì mong muốn [ÌÌ

Từ lau, vùng năng lượng thấp đã luôn là một thách thức đối với hướng

nghiên cứu các phản ứng hạt nhân Bởi vì đây là vùng có năng lượng ratgan với bài toán cau trúc Khi khảo sát các phan ứng xảy ra ở mức nănglượng này, kết quả thu được rat dé bị ảnh hưởng do cộng hưởng với nănglượng bên trong của cấu trúc hạt nhân, dan đến thu được kết quả không

mong muốn

Giải pháp đặt ra cho vẫn để này là sử dụng mô hình Skyrme Fock, do m6 hình nay đã mô tả rat tốt cầu trúc và tính chat của hạt nhân

Hartree-do đó nó có thể mô tả tốt được phản ứng tán xa tại năng lượng thấp [2, 3].

Vì những lý do trên, dé tài “Tan xa năng lượng thấp bởi thé SkyrmeHartree-Fock” đã được chọn làm dé tài luận văn tốt nghiệp Với các nội

dung được trình bày theo thứ tự như sau:

e Chương 1: Sơ lược lý thuyết tán xa lượng tử.

e Chương 2: Thế tương tác Skyrme Hartree-Fock.

e Chương 3: Kết quả và thảo luận

2

Chương 1

Sơ lược lý thuyết tán xạ

lượng tử

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn vé lý thuyết tan xa

lượng tử Cụ thể, công thức chỉ tiết về tiết diện tán xa đàn hồi sẽ được dẫn

ra bằng kĩ thuật khai triển sóng riêng phần dé tính độ lệch pha Thế tán

xạ được giả định là thé đỗi xứng cau, do đó các phương trình tập trung

chủ yếu vào trường xuyên tâm

1.1 Tan xạ lượng tử

1.1.1 Phương trình sóng

Ta sẽ xét một thí nghiệm tán xạ đơn giản: M6t chùm tia chứa các hạtmang cùng năng lượng, tán xa vào hạt bia Các hạt ban ra sẽ được đo

bằng các dau đò (detector) dùng để xác định góc lệch so với truc hướng

đến Thí nghiêm được mé tả như hình 1.1 bên dưới

Ta thường biểu diễn các hạt tới dưới dang các hàm sóng Do đó, nhiệm

vụ của ta là giải phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian

Ow oy

ih = (-v +1 ) wv (1.1)

Tuy nhiên, nêu chùm tia được bat trong thời gian đủ lâu so với thời gian

va cham của các hạt, ta có thể áp dụng tính chất của trạng thái đừng cho

hàm sóng Tức là hàm sóng là một hàm độc lập (không phụ thuộc) thời

gian.

Hơn nữa, nếu chùm tia tới có năng lượng E xác định thi ta có thể tách

hàm sóng của ta ra thành 2 phần như sau

Ta thay rằng phương trình trên không còn phụ thuộc vào biến thời gian

ft nữa Do đó, ta chỉ can giải quyết phương trình sóng Schrédinger độc lập

thời gian (1.3) với các điều kiện biên có sẵn là ta sẽ giải quyết được bài

toán tan xạ O day, E là năng lượng của dong hat tới.

Để giải bài toán trên, ta có nhiều phương pháp như phương pháp khai

triển sóng riêng phan, phương pháp hàm Green, gan đúng Born bac nhất

O đây, ta sẽ sử dung phương pháp khai triển sóng riêng phan, sẽ được nhắc

đến ở phan sau

1.1.2 Sóng tấn xạ

Các hạt tán xạ bên ngoài tam tương tác giữa 2 hạt sẽ được miêu tả bởi

một sóng cầu có dạng eit /r, tấn xạ theo một góc Ø nào đó từ tâm của

tương tác va cham Do đó, khi ta xét hàm sóng ở một khoảng cách r rat

lớn so với tam lương tác a giữa 2 hat Lúc này, hàm sóng sẽ bao gồm 2

'# và 1 thành phần

thành phan, 1 phan là sóng tới là sóng phẳng có dang e

là sóng tán xa là sóng cầu được nói đến bén trên Ta có thể biểu diễn như

sau:

eikr

wlr) Sr eTM + f(8,.0)—, (1.4)

với f(@,@) là biên độ tán xa (scattering amplitude) Điền độ tán xa nay sẽ

mang theo thông tin của thế hạt nhân và đo độ tán xạ của sóng tới theo

0 và ó Ỏ đây, để đơn giản bài toán, ta sẽ xét các hat có spin bằng 0 Do

đó biên độ tán xạ ƒ sẽ không phụ thuộc vào ở, ta có thể viết lại ham sóng

tán xạ ở khoảng cách r như sau

u(r) = ef + f(0)— (1.5)

Góc tán xa Ø là góc tạo bởi phương của hat tới & và phương của hat

tán xạ k* như hình 1.2 bền dưới

tt

Phương song tới k

Hình 1.2 Góc tan xạ Ø tạo bởi sóng Lới và sóng tán xạ.

1.1.3 Tiết diện tán xạ lượng tử

Nếu một hạt tán xạ được phát hiện bởi một đầu đò có tầm tác dụng

là da, được đặt cách tâm tán xạ một khoảng r, lúc này, góc khối sẽ được

Khi đó, tiết điện tan xa vi phan do /dQ sẽ được định nghĩa là số hạt tán

xạ vào góc khối dQ tại một góc Ø, chia cho số hat tới

1.2 Phương pháp khai triển sóng riêng

Phan trong ngoặc chính là một phan của toán tử bình phương moment

đồng lượng quỹ dao LŸ

1.2.2 Phương trình Schrödinger cho tan xạ đàn hồi

Đối với bai toán xa đàn hồi, Hamiltonian sẽ bao gồm động năng của hạt

bia A, động năng của hat tới i và thé năng tương tác V(r) giữa 2 hat.

với M là khối lượng khối tâm, m là khối lượng rút gọn của hệ, p, là

xung lượng của khối tâm và ø là xung lượng của chuyển động tương đốigiữa 2 hạt.

Ta thay Hamiltonian có dạng tách biến, thành phan p?/(2A/) chi phụ

thuộc vào vector tọa độ của khối tâm trong không gian Thành phần

(p°/(2m) + V(r)) chỉ phụ thuộc vào khoảng cách tương đối của 2 hat

trong không gian Ngoài ra, ở đây ta chỉ chú ý đến chuyển động tương đối giữa 2 hạt, nên ta chỉ khảo sát thành phan (pˆ/(2m) + V(r)).

Sử dụng Hamiltonian cho chuyển động trong trường xuyên tâm ở biểu

thức (1.13), ta được Hamiltonian cho tan xa đàn hồi có dang:

1.2.3 Phương pháp khai triển sóng riêng phần

Tóm tắt phương pháp

Đối với phản ứng tán xạ, nến khoảng cách r của 2 hạt nhỏ hơn tam tương tác a của chúng thì hàm sóng sẽ bị ảnh hưởng bởi thế tương tác

V(r), làm cho hàm sóng bị lệch di Tuy nhiên, khi di ra ngoài tam tương

tác (r > a), lúc này hàm sóng không còn chịu tác động của thé tương tác

V(r) nữa, do đó hàm sóng lúc này sẽ là một hàm sóng phẳng có dang hình

sin Minh họa như hình bén đưới:

Hình 1.3 Minh họa hàm sóng tán xạ

Ta sẽ đem hàm sóng này, so sánh với hàm sóng của sóng phẳng bình

thường, ta sẽ thay hàm sóng bị lệch đi 1 pha ổ; nào đó Và đô lệch pha

này do thé tương tác V(r) gây ra

Dj Bab pita

Hình 1.4 Độ lệch pha so với sóng phẳng

Do đó khi ta khép hai hàm sóng này lại với nhau, ta sé tìm được độlệch pha của hàm sóng do thế tương tác gây ra Từ độ lệch pha nay, ta sẽ tìm được tiết điện tấn xạ của phản ứng.

Các bước tính toán

Ta tách hàm sóng thành 2 phan, một thành phan theo bán kính r, thành

9

phần còn lại theo góc Ø và ó như sau:

Do đây là thế đối xứng cầu, nên ta sẽ luôn tìm được trị riêng của hàm

cau Yio có giá trị là /.(† + 1), được viết đưới dang P*Y¡ạ = l(I + 1)h°®Yịa.

Lúc nay, hàm bán kính ?#?,(r) phải thỏa mãn phương trình vi phân sau:

Lúc này, biểu thức (1.19) sẽ được rút gọn thành:

đều; (r) E(l+1) Im s2 \, ay a ( 2 + pe (r) —k ) u(r) = 0 (1.21)

Khi ta xét các giá trị r nằm ngoài tầm tương tác của 2 hạt ( r >

œ%) lúc này thé tương tác của hạt sẽ có giá trị bằng 0 (V (r) = 0) va

L(I + 1) /r? — 0 Rút gọn lại, ta được phương trình vi phân bậc 2 như

sau:

đều; (r}

dư? + ku (r) = 0 (1.22)

10

Giải phương trình trên, ta được các nghiêm như sau:

tr (r) = A;sin (ir - st] + Bicos (i = 2t)

= C;sin G — stn + i)

" Cc [cứ — c8 2tr] - (1.23)

trong đó, các hệ số Ay, By, Cy hay C7 được xác đình bằng các diéu kiên

biên Số hang ổ; được gọi là độ lệch pha (phase shift) của trường hợp

tán xạ bởi thế tương tác hạt nhân so với khai triển sóng phẳng của hàm

Bessel Ở đây, ta thêm vào kết quả một pha lz/2 để khai triển có dang

thuận lợi cho ta sử dung ở phan sau

Bây giờ ta sẽ xét khai triển Bessel của sóng phẳng như sau:

ek? = ? 4m(21 + 1) sin G _ si") Yio (6)

—-cho ta sử dung ở phan sau

Sự khác biệt giữa biểu thức (1.23) và (1.25) là do độ lệch pha (phase shift), thể hiện rõ nhất ở khai triển dưới dang ham sin Ta thấy trong biểu thức ham +6;(r) ham sin bị lệch đi một góc ở; so với khai triển Bessel của

sóng phẳng ở tiêm can vô cùng.

Hiện tượng trên xảy ra do thể tương tác V(r) đã làm cho hàm sóng ở

biểu thức (1.23) bị lệch đi một pha 4; so với hàm sóng phẳng của một hat

tự do trong biểu thức (1.25).

1.2.4 Tiết diện tán xạ đàn hồi

Thay kết quả tính được ở biéu thức (1.23) vào biểu thức (1.18), ta được khai triển của hàm sóng tiệm cận võ cùng có dạng:

= 1 1

(r,8) = » ayYio (Ø) = sin G — =Ì1 + ) : (1.26)

= r 2

với 2 tham số a; ở (1.18) va Cy ở (1.23) được gộp lai thành aj

Biểu thức trên, cùng với biển thức (1.5) chi là các cách khai triển khác

nhau của cùng 1 hàm sóng tan xa u(r) ở tiệm cận vô cùng Do đó, ta có

12

Thay aj vào A’, đồng nhất hệ số A va A’, sau đó thực hiện tương tự

như trên, ta thu được hàm biên độ tán xạ theo độ lệch pha có dạng:

14

ta có thể biến đổi biểu thức (1.32) thành:

Biểu thức trên chính là tiết điện tán xa dan hồi theo độ lệch pha &) 6) day,

ta chỉ xét tiết diện của tan xạ dan hồi, do đó không cần xét đến thành phan tiết điên hap thu hay tiết điện toàn phan.

Chương 2

Thế tương tác Skyrme

Hartree-Fock

Chương này trình bày ngắn gọn vẻ thé tương tác Skyrme Hartree-Fock

(HF) được áp dụng pho biến trong phân tích cấu trúc hạt nhân Thế này

được áp dụng trực tiếp trong vùng năng lượng liên tục của bài toán tán

xạ thông qua phép đối biến Nội dung chương này được tham khảo chủyếu từ các tài liệu [2, 3, 9)

Phương trình HF bắt nguồn từ phiém hàm năng lượng của hạt nhân,

do đó ta có thể trình bày năng lượng của nó bao gồm

b= Eskyrme + Evcoul + E pair — Eom.; (2.1)

với Pswyrme là năng lượng cho tương tac Skyrme Cac năng lượng Ecou

Ebav và Bem, lần lượt là năng lượng Coulomb, năng lượng kết cặp và nănglượng khối tâm (9|

2.1 "Tương tác Skyrme

Tương tác Skyrme là tương tác thường được sử dụng trong các trường

tự hợp vi mô (VD: Hatree-Fock, ), nhằm tham số hóa t-matrix của tan

xạ nucleon - nucleon trong mỗi trường hạt nhân một cách đơn giản và

dé dang cho tính toán Day là tương tác với tam tương tác bằng 0 (zero

range), cho ta biết được các tính chất vật lý cơ bản của hệ như: độ bão

hòa của vật chat, năng lượng liên kết của hạt nhân và một số thông tin

khác về các phản ứng hạt nhân [9).

Một trong những phiên bản tương tác Skyrme đời đầu được đặt tên là

SI, SII, SIII; các tương tác này đã được kiểm chứng tính đúng đắn của nó

thông qua các thí nghiệm đối với các hạt nhân khác nhau [7]

Kể từ các tương tác Skyrme đầu tiên, người ta đã bo sung và chỉnh sửa

thêm các tham số, dựa trên các tính chất của hạt nhãn khác nhau đã được

khảo sát để tương tác chính xác hơn trong các trường hợp cu thể Ví dụ

như các phiên bản SkM: Dau tiên, Krivine và cộng su của mình đã diéu

chỉnh lại thông số và công bố tương tác SKM thong qua thí nghiệm m6

ta các dao động tập thể trong hạt nhân Sau đó, thông qua các nghiên

cứu sâu hơn và chi tiết hơn vẻ “rào thé trong phan ứng phân hạch” của

họ Actini, “tương tác SkM*” đã được phát triển dựa trên tương tác cũ là

SkM, nhằm bổ sung và chỉnh sửa các thông số để m6 tả suất căng bề mặt

hạt nhân [7]

2.1.1 Cách xây dựng tương tac

Dựa trên tương tác gốc của Skyrme và các tham số dùng để tính toán cấu trúc hạt nhân, các tương tác Skyrme khác nhau hầu hết đã được xây

dựng và phát triển dua trên các thành phan sau [1]:

1 Thành phan (2.2) biểu thị thành phan thế xuyên tâm [7].

2 Thành phan (2.3) biểu thị các thành phan phi định xứ [7].

3 Thành phan (2.1) biểu thị thành phần phụ thuộc vào mật độ hat [7].

4 Thành phan (2.5) biểu thị thành phần spin-quỹ đạo [7].

Trong biểu thức trên, Địa = pi = p; là xung lượng tương đối, P, là toán

tử trao đổi không gian giữa ?; và rj, o là vector của ma trận spin Pauli,

r= Lin; +r,;), ổ là hàm phụ thuộc vào khoảng cách tương đối Các thông

86 ty, Íq to, tg lạ, Tạ 1, #2, 3 là các thông số được điều chỉnh để khóp

với các số liệu thu được từ thưc nghiệm [9] Bảng 2.1 thé hiện các thong

số được điểu chỉnh của các tương tác Skyrme khác nhau {7, SÌ

18

Bảng 2.1: Bảng tham số các loại tương tác Skyrme.

Thông số SLy4 SLy5 SkM* SIII

ty (MeV fm*) —2488.91 —2484.88 —2645.00 —1128.75

ty (MeV Em”) 48682 283.13 — 410.00 395

ty (MeV fm°) —546.39 —549.40 —135.00 —95 t3(MeV fm?*37) 13777.0 13763.0 15595 14000

2.1.2 Phuong trình Hartree-Fock

Phương trình HF đỗi với các ham sóng xuyên tâm được tính bang cách

thay đổi ham năng lượng theo Ry với điều kiện hàm Ry là hàm trực chuẩn.

Điều này cho ta phương trình Schrédinger đơn hạt [9]

2.1.3 Năng lượng tái sắp xếp

Khi đã tìm được lời giải cho phương trình HE Ta có thể dựa vào đó và

dự đoán được năng lượng của cả hệ thông qua phương trình năng lượng

của tương tác Skyrme Tuy nhiên, phần lớn thông tin vẻ năng lượng đơn

hạt đã nằm trong năng lượng đơn hạt é¿ ở 2.1.2, do đó sẽ đơn giản hơn để

ta tính được năng lượng thông qua biểu thức |9]:

Exe = ~an | der? tsp" (1 + yn) Ø Ề + rs) (Pero + Đền |

Ở đây ta thấy được su kết hợp giữa “Một nửa năng lượng đơn hạt và

một nửa động lượng” thường được thấy trong m6 hình tiêu chuẩn của HF

và luôn được áp dụng cho hệ hai hat.

2.1.4 "Thế Coulomb

Tương tac Coulomb là một tương tác rất quen thuộc trong tương tac

hạt nhân, ta có thể tách tương tác này ra thành 2 thành phần là thành

21

phan trực tiếp (direct) và thành phan trao đổi (exchange), tuy nhiên tương

tác này có tam tương tac v6 cùng rộng (gan như vô cùng) khiển cho việc

tính toán thành phần trao đổi của nó trở nền rat mat thời gian Nhằm

đơn giản hóa quá trình tính toán, ta sẽ xử lý thành phần trao đổi của

thế Coulomb bằng cách sử dụng gần đúng Slater, khi đó, ta sẽ viết lại thế

Coulomb như sau [9]:

1» :

Ecou = 7 ‘dy 0c(T)——0‹(#') + Ecout.exe.s (2.14) r= TY

1/3

Từ đây, ta sử dung phương pháp đối biến [9]:

Ucou = Ucou air + Ucout.exe (2.16)

— AU cow air = Are” p, (2.17)

3\ 13 ,

cau exc, = —” (>) Prte (2.18)

Trong biểu thức trên, thành phan trực tiếp được tinh bang cach sử dung

phương trình xuyên tâm Poisson thay vì sử dụng tích phân Thành phần

phụ thuộc mật đô can có sự góp mặt của năng lượng tái sắp xếp(9}

1/3 oo

Bouis.=e() 4Í dept At? 2.19 Coul.,re 4\3 a 5 rp Ppro (2 )

2.1.5 Năng lượng tương tác kết cặp

Hiệu ứng tương tác kết cặp được biểu dién thông qua hàm năng lượng

có dang tương ứng như sau(9Ì:

Epair = “LG » ¿a{ q —wz)| - (2.20)

Beg

Với các phan tử ma trận tương tac kết cặp G, là 1 hằng số, j €

{pro.,neu.} Phương trình BCS cho khối lượng cặp wy được tính toán

thông qua biến đổi ham năng lượng 2.1 theo wy Lúc này ta thu được

phưng trình mô tả khối lượng chiếm đóng|[0Ì:

l — €Fa

we=-ll1- 2.21-_ ( (fea = + ưng) (843)

2 thông số còn lại của phương trình, khoảng cách kết cặp A, và mứcnăng lượng Fermi er„ được tinh bằng cách giải hệ 2 phương trình: phương

trình khoảng cách cặp và phương trình điều kiện số hat{9):

2 =3;V42(=4z) (2.22)

74 cự

A, = 2 ws (2.23)

Seq

Tuy nhiên, trong giới hạn của khóa luân này, chúng tôi không xét đến

sự ảnh hưởng của năng lượng tương tác kết cặp này

2.1.6 Hiệu chỉnh năng lượng khối tam

x'Đối với hạt nhân ở trạng thái cơ bản, tổng động lượng của hệ sẽ có giá trị bằng 0 Tuy nhiên, đối với hạt nhân định xứ trong trường trung bình lại không tuân theo điều này, mà khối tâm của hệ sẽ đao động trong

trường trung bình Nhằm giữ cho trạng thái cơ bản của hạt nhân có động

lượng bằng 0 người ta đã hiệu chỉnh một lượng năng lượng của khối tâm,

lượng đó được biểu diễn thông qua công thức sau{9]:

Pay, = đem) (2.24)

trong đó, Pom = 52) p; là tổng toán tử động lượng, A là số nucleon và m.

là khối lượng trung bình của nueleon{9].

Ta có thể dùng một tính toán khác đơn giản hơn để hiệu chỉnh năng

lượng của khối tam, đó là việc biến doi khối tam theo khối lượng nucleon.

= > cs (: _ 4) : (2.26)

2m ÿ A

2.2 Phương trình Skyrme Hartree-Fock

cho tan xa

2.2.1 Phương trình Hartree-Fock mô ta trang thai

lién két trong hat nhan

Phương trình HF có thể được giải bằng phương pháp giải so.

Thế HF như một tổng của thế hướng tâm và thé spìn-quỹ đạo:

U;(r) = Ua(r) + TU cou.(r) + Uy(r) - ø) (2.28)

1 Bat dau với một tập hợp các hàm sóng thử {u„, œ = 1,2, ,N} cho

các trạng thái chiếm đóng (trong trường hợp này là các hàm riêng củathế Woods-Saxon) GO day, z = 0 cho neutron và 7 = 1 cho proton

2 Xây dung thé U;(r) và khối lượng hiệu dụng zn}(r)

3 Giải phương trình HF (2.27) dé tìm một bộ các hàm riêng mới của

{ưa;œ = 1,2, , N}

4 Lap lại bước 2 va 3 cho đến khi các giá trị U(r) và rn}(r) hội tu

5 Tính toán với Ư; đã hôi tu, khối lượng hiệu dung và các hàm sóng

{tt,,@ = 1,2, ,N} của các trạng thái chưa chiếm đóng