Mặt khác, do đa phần các hệ khí đượcxét đến là các hệ cô lập tông số hạt của hệ là một hằng số nên hàm thé hóa họcđặc trưng cho sự thay đôi nhiệt lượng của hệ khi ta thay đôi số hạt bên
Thế hóa học của Fermion trong không gian 1 chiều
Từ phương trình (18), thay đ =1 ta được phương trình của thế hóa học rút gọn của Fermion trong không gian 1 chiều f 2 \
Biểu thức khai triển hàm thế hóa học của Fermion trong không gian 1 chiều được trình bay như (42) khi thay a =l vào (60) ae Low-temp
Dưới đây là đồ thị so sánh kết quả giải số từ phương trình (94) và kết quả của biểu thức giải tích từ (95)
Hình 1 minh họa sự phụ thuộc của khí Fermi ly trrởng trong không gian một chiều vào nhiệt độ rút gọn Ở bên trái, hình ảnh cho thấy mối quan hệ này, trong khi bên phải thể hiện sai số tương đối giữa kết quả giải số chính xác và kết quả giải tích gần đúng Đường màu đen nét liền đại diện cho kết quả giải số chính xác, trong khi đường họa tiết ô vuông màu đỏ thể hiện kết quả gần đúng ở vùng nhiệt độ cao, và đường họa tiết tròn màu xanh thể hiện kết quả ở vùng nhiệt độ thấp.
Kết quả cho thấy hàm giải tích phù hợp với kết quả giải số chính xác, cho phép áp dụng trong các khoảng nhiệt độ khác nhau Cụ thể, hàm giải tích cho vùng nhiệt độ thấp có thể sử dụng trong khoảng (7 < 0.4), trong khi hàm cho vùng nhiệt độ cao áp dụng từ z = 0.5 trở đi Đặc biệt, trong khoảng nhiệt độ (0.4 < 7 < 0.5), cả hai hàm giải tích đều cho sai số dưới 10%, cho thấy tính chấp nhận được Điều này chứng tỏ rằng công thức giải tích có khả năng tính gần đúng cho toàn bộ vùng nhiệt độ liên quan đến thế hóa học của khí Fermi lý tưởng trong không gian.
Thế hóa học của Fermion trong không gian 2 chiều
Từ phương trình (18), thay đ =2 ta được phương trình của thé hóa học rút gọn của Fermion trong không gian 2 chiều
Biéu thức khai triển hàm thé hóa học của Fermion trong không gian 2 chiều được trình bày như (43) khi thay a =1 vào (68)
=| aC me tac id te si +.) High-temp
Dưới day là đô thị so sánh kết quả giải số từ phương trình (96) và kết qua của biéu thức giải tích từ (97)
Hình 2 trình bày sự phụ thuộc hóa học của khí Fermi I trong không gian 2 chiều vào nhiệt độ rút gọn Bên trái thể hiện mối quan hệ này, trong khi bên phải mô tả sai số tương đối giữa kết quả giải số chính xác và kết quả giải tích gần đúng Đường màu đen nét liền biểu thị kết quả giải số chính xác, đường họa tiết ô vuông màu đỏ thể hiện kết quả gần đúng ở vùng nhiệt độ cao, và đường họa tiết tròn màu xanh thể hiện kết quả ở vùng nhiệt độ thấp.
Kết quả cho thấy ở vùng nhiệt độ thấp (z < 0.5), hàm giải tích hoàn toàn khớp với kết quả giải số chính xác, điều này được dự đoán nhờ vào tính chất của hàm PolyLog với d = 2 Trong khi đó, ở vùng nhiệt độ cao, hàm giải tích cho sai số chấp nhận được và khớp tốt khi nhiệt độ rất lớn, nhưng vẫn tồn tại sai số lớn trong vùng xung quanh r = 1.5.
Thế hóa học của Fermion trong không gian 3 chiều
Từ phương trình (18), thay đ =3 ta được phương trình của thé hóa học rút gọn của Fermion trong không gian 3 chiêu
Biéu thức khai triển hàm thé hóa học của Fermion trong không gian 3 chiều được trình bay như (44) khi thay a =l vào (61) id al arr + Low-temp 2 4
Dưới day là đô thị so sánh kết quả giải số từ phương trình (98) và kết qua của biểu thức giải tích từ (99)
Hình 3 mô tả sự phụ thuộc của khí Fermi lý tưởng trong không gian ba chiều vào nhiệt độ rút gọn, với hình bên trái thể hiện mối quan hệ này Hình bên phải chỉ ra sai số tương đối giữa kết quả giải số chính xác và kết quả giải tích gần đúng Đường màu đen nét liền đại diện cho kết quả giải số chính xác, trong khi đường họa tiết ô vuông màu đỏ thể hiện kết quả gần đúng ở vùng nhiệt độ cao, và đường họa tiết tròn màu xanh thể hiện kết quả ở vùng nhiệt độ thấp.
Hàm giải tích trên cả hai miền nhiệt độ cho kết quả trùng khớp tốt với kết quả giải số chính xác, với sai số toàn vùng không gian dưới 8% Điều này chứng tỏ rằng công thức giải tích có khả năng tính gần đúng cho thế hóa học của khí Fermi lý tưởng trong không gian ba chiều với độ chính xác cao.
Thế hóa học của Boson trong không gian 1 chiều
Từ phương trình (18), thay đ =1 ta được phương trình của thế hóa học rút gọn của Boson trong không gian 1 chiều
Biêu thức khai triển hàm thế hóa học của Boson trong không gian | chiêu được trình bày như (42) khi thay a =—1 vào (79)
Dưới day là đô thị so sánh kết quả giải số từ phương trình (100) và kết quả của biểu thức giải tích tử (101)
Hình 4 trình bày sự phụ thuộc hóa học của khí Bose trong không gian một chiều đối với nhiệt độ rút gọn Bên trái là biểu đồ thể hiện mối quan hệ này, trong khi bên phải cho thấy sai số tương đối giữa kết quả giải số chính xác và kết quả giải tích gần đúng Đường màu đen nét liền đại diện cho kết quả giải số chính xác, đường họa tiết ô vuông màu thể hiện kết quả gần đúng ở vùng nhiệt độ cao, và đường họa tiết tròn màu xanh biểu thị kết quả ở vùng nhiệt độ thấp.
Kết quả cho thấy hàm giá trị tích ở vùng nhiệt độ cao có sự trùng khớp (sai số dưới 10%) với kết quả giải số chính xác từ z > 0.7 trở đi Tuy nhiên, phương pháp giải tích phân Bose – Einstein để tính toán thé hóa học ở vùng nhiệt độ thấp chưa đạt được độ chính xác cao, dẫn đến sai số lớn trong vùng này Do đó, biểu thức giải tích cho thé hóa học của khí Bose lý tưởng cần được xem xét.
Chúng tôi đã nghiên cứu 36 không gian và chiều có thể sử dụng trong vùng nhiệt độ cao, đồng thời cải thiện phương pháp hiện tại để giải quyết vấn đề sai số lớn ở vùng nhiệt độ thấp.
Thế hóa học của Boson trong không gian 2 chiều
Từ phương trình (18) thay đ =2 ta được phương trình của thé hóa học rút gọn của Boson trong không gian 2 chiều
Biểu thức khai triển hàm thé hóa hoc của Boson trong không gian 2 chiều được trình bày như (43) khi thay a =—1 vào (70)
He, *(t)= = (aa tie tem ca + ] Low-temp
Dưới đây là đồ thị so sánh kết quả giải số từ phương trình (102) và kết quả của biéu thức giải tích từ (103)
Hình 5 minh họa sự phụ thuộc hóa học của khí Bose lý tưởng trong không gian 2 chiều vào nhiệt độ rút gọn Bên trái là biểu đồ thể hiện mối quan hệ này, trong khi bên phải cho thấy sai số giữa kết quả giải số chính xác và kết quả giải tích gần đúng Đường màu đen nét liền biểu diễn kết quả giải số chính xác, còn đường họa tiết 6 vuông màu đỏ thể hiện kết quả gần đúng.
37 đúng ở vùng nhiệt độ cao Đường họa tiết tròn màu xanh thé hiện kết qua ở vùng nhiệt độ thấp.
Hàm giải tích ở vùng nhiệt độ thấp khớp tốt với kết quả giải số chính xác nhờ vào tính chất hàm PolyLog khi đ = 2, chỉ cần khai triển một lần Ở nhiệt độ cao, hàm giải tích cho sai số dưới 6% khi z > 0.6 Do đó, biểu thức giải tích thế hóa học của khí Bose lý tưởng trong không gian 2 chiều có thể được sử dụng để xác định hàm trong toàn miền nhiệt độ.
Thế hóa học của Boson trong không gian 3 chiễều .s s- 38
Từ phương trình (18), thay đ =3 ta được phương trình của thế hóa học rút gọn của Boson trong không gian 3 chiều
Biêu thức khai triển ham thé hóa học của Boson trong không gian 3 chiều được trình bày như (44) khi thay a = —=l vào (92)
-dˆ————tr + > te High-temp §lz 243"?
Dưới đây là đô thị so sánh kết quả giải số từ phương trình (104) và kết quả của biéu thức giải tích từ (105)
Hình 6 minh họa sự phụ thuộc hóa học của khí Bose lý tưởng trong không gian ba chiều vào nhiệt độ rút gọn Bên trái, đồ thị thể hiện mối quan hệ giữa nhiệt độ và các đặc tính của khí, trong khi bên phải cho thấy sai số tương đối giữa kết quả giải số chính xác và giải tích gần đúng Đường màu đen nét liên thể hiện kết quả giải số chính xác, đường họa tiết ô vuông màu đỏ đại diện cho kết quả gần đúng ở vùng nhiệt độ cao, và đường họa tiết tròn màu xanh thể hiện kết quả ở vùng nhiệt độ thấp.
Kết quả cho thấy hàm giải tích ở vùng nhiệt độ thập (z > z„ ~0.44) khớp tốt với kết quả giải số chính xác, tuy nhiên sai số giữa hai kết quả ở hình bên phải cho thấy sai số năm cao nhất Điều này có thể được giải thích theo công thức tính sai số, do kết quả giải số chính xác gần bằng không, dẫn đến sai số lớn nhất Ở vùng nhiệt độ cao (z > 0.5), hàm giải tích cho kết quả sai số thấp và tiệm cận về 0 khi nhiệt độ tăng Vì vậy, chúng tôi kết luận rằng biểu thức giải tích cho khí Bose lý tưởng trong không gian ba chiều có thể tính gần đúng trên toàn bộ vùng nhiệt độ với độ chính xác cao.
KẾT LUẬN VA HƯỚNG PHAT TRIEN
Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã đạt được một số kết quả quan trọng Đầu tiên, chúng tôi đã phát triển công thức giải tích gần đúng mô tả sự phụ thuộc của thế hóa học của khí lượng tử lý tưởng trong các không gian một chiều, hai chiều và ba chiều theo nhiệt độ tuyệt đối Thứ hai, chúng tôi đã đánh giá phạm vi áp dụng của các công thức này thông qua việc so sánh với kết quả giải số.
Các kết quả giải tích mô tả sự phụ thuộc của thế hóa học vào nhiệt độ tuyệt đối trong các miễn không gian, nhưng ở vùng nhiệt độ thấp của hệ khí Boson, kết quả vẫn chưa đạt yêu cầu do phương pháp giải quyết tích phân Bose-Einstein chưa phù hợp Chúng tôi sẽ khắc phục hạn chế này trong các công trình sắp tới Các tính toán trong báo cáo này đã tạo cơ sở cho việc mở rộng nghiên cứu về các hàm nhiệt động lực học khác của hệ khí lượng tử lý tưởng, bao gồm hàm tông năng lượng, hàm entropy và nhiệt dung riêng Điều này không chỉ góp phần vào nghiên cứu các hệ nguyên tử siêu lạnh mà còn cung cấp nguồn tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Vật Lý trong việc tìm hiểu tính chất của các hệ khí ở nhiệt độ thấp và sự biến đổi của các hàm nhiệt động lực học.